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title: "冯·诺依曼–马林斯定律说，少于六条边的晶粒会缩小"
description: "在二维多晶中，晶粒面积的变化率只取决于它有几条边。推导这条定律，用欧拉公式数边，再把两者都测一遍。"
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last_modified: "2026-10-30"
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[晶体缺陷与显微组织](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/)

L3 · 第 5 章

# 冯·诺依曼–马林斯定律说，少于六条边的晶粒会缩小

Sandbox Physics · 2026-10-30

在平面多晶里，一个晶粒长大还是缩小，与它的大小和形状无关，只看它有几个邻居。少于六条边的晶粒缩小，多于六条边的长大，六边形晶粒面积不变。这就是冯·诺依曼–马林斯定律。欧拉公式把平均边数固定为六，两者合在一起，解释了多晶为什么会粗化。本章推导这两个结论，再在固定种子的模拟中测量它们；其中一个数测出来偏了 $2\%$。

## 开始前需要什么

第 4 章：曲率驱动的运动，以及晶界速度等于迁移率乘梯度系数再乘曲率。沿一条封闭曲线走一圈，切线转过的总角度。用最小二乘法拟合直线。

- 从曲率驱动的运动和 120 度三叉晶界推出冯·诺依曼–马林斯定律。
- 用欧拉公式证明平均边数为六，并用它解释粗化。
- 比较测得的规律与预测，说明剩下的偏差能说明什么、不能说明什么。

## 数一数绕晶粒一圈转了多少

晶粒面积变化多快，取决于边界向内扫得多快，也就是法向速度沿边界积一圈。在曲率驱动下，这个积分等于 $-M\gamma$ 乘以边界的总曲率。

绕晶粒走一圈，你的方向一共转过 $2\pi$。一部分转角平滑地分布在各条边上，其余的发生在角上，也就是三叉晶界处。三条能量相同的晶界相交时，只有夹角都是 $120^{\circ}$，三个张力才平衡，所以每到一个角，方向就跳转 $\pi/3$。$n$ 边形晶粒在角上共转 $n\pi/3$，留给平滑部分的是 $2\pi-n\pi/3$。

结果就是 Mason、Lazar、MacPherson 和 Srolovitz 的式 (1)，对每个晶粒都成立，与大小和形状无关。六边形晶粒的边平均是直的，面积不变。用第 4 章的 $M\gamma=Lk$，面积变化率对 $n-6$ 的斜率以 $Lk$ 为单位是 $\pi/3=1.0472$。

$$
\frac{dA}{dt}=\oint v_n\,ds=-M\gamma\oint\kappa\,ds,\qquad \oint\kappa\,ds+n\,\frac{\pi}{3}=2\pi
$$

面积变化率写成总曲率，以及边界的转角在平滑的边和 $n$ 个角之间的分配。

$$
\frac{dA_n}{dt}=-2\pi M\gamma\Bigl(1-\frac n6\Bigr)=\frac{\pi}{3}\,M\gamma\,(n-6)
$$

各向同性二维多晶中 $n$ 边形晶粒的冯·诺依曼–马林斯定律。

来源：J. K. Mason

## 六既是分界线，也是平均值

周期方盒里的二维晶粒网络，是环面上的一张地图，有 $V$ 个角、$E$ 条边、$F$ 个晶粒，欧拉公式给出 $V-E+F=0$。每个角连三条边，每条边有两个端点，所以 $3V=2E$。每条边与两个晶粒相邻，所以各晶粒的边数之和为 $2E$。合起来，平均边数恰好是六，Mason 等的第 III A 1 节也指出了这一点。

这两个事实是相互配合的。把定律对所有晶粒求和，总速率正比于 $n-6$ 之和，它等于零，所以总面积守恒。边少的晶粒缩小、消失，它们的面积转给边多的晶粒。每消失一个，晶粒数就少一个，平均面积随之增大。Kazaryan 等报告：一旦组织在各个尺度上看起来都一样，平均面积就随时间线性增长。

$$
V-E+F=0,\quad 3V=2E\;\Longrightarrow\;F=\frac E3,\qquad \langle n\rangle=\frac{2E}{F}=6
$$

环面上每个角连三条边的网络所满足的欧拉公式。

来源：J. K. Mason · A. Kazaryan

## 在模拟的多晶中测量这条定律

路线基准在 $160$ 乘 $160$ 的网格上、取 $L=k=1$，让三个固定种子、各 $80$ 个晶粒的多晶长到时间 $1000$。它数出每个晶粒的邻居；在边数不变的时间窗内，记下每个晶粒面积变了多少；再把速率对 $n-6$ 做一条过原点的直线拟合。三个种子分别得到 $3620$、$3710$、$4000$ 个样本。

三个种子拟合出的斜率为 $1.0704\pm0.0007$（以 $Lk$ 为单位），预测值为 $\pi/3=1.0472$。图中能看出多出来的部分从哪里来。五边形晶粒以 $-1.045$ 缩小，落在规律上。七条边及以上的晶粒，长得比规律快 $3\%$ 到 $6\%$；六边形晶粒平均以 $+0.035$ 长大，而不是保持不动。平均边数为 $5.979\pm0.004$，不是恰好六。

后两个数指向一个可能的原因，我们还没有检验。两个晶粒至少共享两个格面才算邻居，所以很短的边可能被漏掉。七边形晶粒被数成六边形，就会抬高六边形的平均速率；边多的晶粒藏着短边的机会更多，偏差随 $n$ 增大，斜率因此变陡。直接数三叉晶界可以检验这个解释。在那之前，这 $2\%$ 的偏高只能算作测量中尚未解释的系统误差。

有 $n$ 条边的晶粒的平均面积变化率，单位为 $Lk$，汇总自三个固定种子的 $160$ 乘 $160$ 多晶（圆点，样本数从 $17$ 到 $3731$）。虚线是冯·诺依曼–马林斯定律 $(\pi/3)(n-6)$。五边形晶粒落在线上；六边形晶粒略有长大，边更多的晶粒比定律快 $3\%$ 到 $6\%$。

来源：J. K. Mason

## 完整例题：一小簇晶粒里谁能留下来？

题目。在 $L=k=1$ 的多晶中，一个面积 $60$ 格的四边形晶粒挨着一个面积 $400$ 格的八边形晶粒。假设两者的边数都不变，它们各自变化多快？小的什么时候消失？

速率。$n=4$ 时 $dA/dt=(\pi/3)(4-6)=-2.09$ 格每单位时间；$n=8$ 时为 $+2.09$。两者都与面积无关。

寿命。$60/2.09=29$ 个时间单位。它缩小时很可能失去边，那样会缩得更快，所以这是一个上限估计。

检验。基准汇总的速率：四边形为 $-2.12$，八边形为 $+2.16$，分别比规律快 $1\%$ 和 $3\%$。

结论。四边形晶粒每单位时间减少约 $2.1$ 格，最多约 $29$ 个时间单位就消失；八边形晶粒只要保持八条边，就以同样的速率长大。

来源：J. K. Mason

## 粗化运行没有说明什么

从 $t=333$ 到 $1000$ 拟合平均面积随时间的变化，指数为 $0.81\pm0.05$，不是线性增长的 $1$。到这段时间结束时，每个方盒里只剩 $18$ 到 $25$ 个晶粒（开始时为 $43$ 到 $55$ 个），太少，达不到线性规律所假设的自相似阶段，运行时间也短。这个基准因此没有检验线性粗化，需要更大的方盒和更长的运行。$150$ 次检查里，自由能每次都下降或持平。

来源：A. Kazaryan

## 到实验里试一试

### [看六条边怎样把晶粒分成两类](https://sandboxphysics.com/zh/labs/curvature-grain-growth/)

1. 选“蜂窝里的一个缺陷”，按边数给晶粒着色。预测哪些晶粒先改变面积，哪些保持原样。
2. 选“多晶粗化”，让它运行。预测测得的斜率读数应当趋近哪个值。
3. 同时看晶粒数和平均边数。解释为什么晶粒数在减少，平均边数却一直接近六。

## 练习与解答

1. 用这条定律证明周期多晶的总面积不变。

   展开解答

   对全部 $F$ 个晶粒求和，总速率为 $(\pi/3)M\gamma\sum_i(n_i-6)=(\pi/3)M\gamma F(\langle n\rangle-6)$，因为 $\langle n\rangle=6$，它等于零。

2. 如果三叉晶界的夹角是 $\theta$ 而不是 $120^{\circ}$，几条边的晶粒面积不变？

   展开解答

   每个角让边界转过 $\pi-\theta$，平滑部分转过 $2\pi-n(\pi-\theta)$。速率在 $n=2\pi/(\pi-\theta)$ 时为零，$\theta=2\pi/3$ 时就是六。三叉晶界的夹角由三个相等张力的平衡决定，所以这条定律要求各晶界能量相同。

3. 一个面积 $30$ 格的三边形晶粒在 $L=k=1$ 下缩小。估计它的寿命，并与基准汇总的三边形晶粒速率比较。

   展开解答

   定律给出 $dA/dt=-\pi=-3.14$，约 $9.5$ 个时间单位。基准汇总了 $30$ 个样本，平均速率为 $-3.18$，快 $1.3\%$。

4. 即使平均面积线性增长的规律是对的，在只剩二十个左右晶粒的短时间运行里拟合平均面积，为什么得到的指数会小于一？

   展开解答

   平均面积线性增长，要等晶粒组织在统计上各个尺度都相同才成立。从随机分布的晶核出发，边数和大小的分布需要时间才能到达那个状态；只剩二十个左右晶粒时，每消失一个，平均面积就跳一大步。少量晶粒、短时间窗测到的，是趋近标度状态的那一段过程。

[上一章：晶界靠曲率移动，圆形晶粒因此匀速缩小](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/grain-boundaries-move-by-curvature/) [下一章：合金相场模型中的溶质截留与反截留流](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/thin-interface-alloy-solidification-and-antitrapping/)

## 来源与复算范围

1. [A. Kazaryan, Y. Wang, S. A. Dregia and B. R. Patton, Generalized phase field model for computer simulation of grain growth in anisotropic systems, arXiv:cond-mat/9912044v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912044v1)

   第 1 版，全文。式 (1)：每个序参量一条 Allen–Cahn 方程。式 (2)：带梯度项的自由能。式 (5)：体自由能密度，取 $a_1=a_2=1$、$a_3=2$。式 (6) 与图 3：孤立晶粒的面积以恒定速率减小。结尾几段与图 5：平均晶粒面积随时间线性增长。本课程只用各向同性的情形。

2. [J. K. Mason, E. A. Lazar, R. D. MacPherson and D. J. Srolovitz, Geometric and topological properties of the canonical grain growth microstructure, arXiv:1507.03379v1 (2015)](https://arxiv.org/abs/1507.03379v1)

   第 1 版。第 II 节式 (1)：冯·诺依曼–马林斯关系 $dA/dt=-2\pi M\gamma(1-n/6)$，对各向同性的二维晶粒长大严格成立。第 III A 1 节与图 4(a)：每个晶粒边数的分布，以及欧拉定理把平均边数固定为六。