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title: "Peach–Koehler 力让同号位错排成墙"
description: "把应力换算成位错线上的力，让位错在彼此的场中滑移，看同号位错为什么上下叠起，异号位错为什么停在 45 度。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/crystal-defects-microstructure/peach-koehler-force-and-glide/"
last_modified: "2026-10-30"
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[晶体缺陷与显微组织](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/)

L2 · 第 2 章

# Peach–Koehler 力让同号位错排成墙

Sandbox Physics · 2026-10-30

只要周围的晶体受着应力，位错就受力；这应力可以来自试验机，也可以来自另一个位错。Peach 和 Koehler 给出的一个公式，用局部应力和伯格斯矢量算出这个力。把它用到平行滑移面上的两个位错，就能解释：同号位错为什么上下叠成一面墙，异号位错为什么停在 45 度，而不是相互湮灭。

## 开始前需要什么

第 1 章：伯格斯矢量，刃位错的剪应力，以及剪应力在哪里变号。叉乘；力做的功等于力乘位移。

- 从位错运动时外力做的功推出刃位错所受的滑移力，并说明本实验为什么只让位错滑移、不让它攀移。
- 找出平行滑移面上两个刃位错之间滑移力为零的位置，并判断哪些位置对同号、哪些对异号是稳定的。

## 由滑移做功得到的力

让单位长度的直刃位错滑移 $\delta x$。滑移面以上的晶体就在多出的面积 $\delta x$ 上滑过了 $b$。若该面上的剪应力为 $\tau$，应力做功 $\tau\,b\,\delta x$。功除以距离就是力，所以位错线单位长度受力 $b\tau$。KIT 讲义第 23 页给出了这个结论。

Peach 和 Koehler 写出的一般形式用到应力张量 $\boldsymbol\sigma$、伯格斯矢量 $\mathbf b$，以及沿位错线的单位矢量 $\boldsymbol\xi$。取刃位错的线沿 $z$、$\mathbf b$ 沿 $x$。这个力沿 $x$ 的分量是滑移力，由剪应力决定；沿 $y$ 的分量是攀移力，由 $\mathbf b$ 方向上的正应力决定。

$$
\mathbf f=(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf b)\times\boldsymbol\xi,\qquad f_{\mathrm g}=b\,\sigma_{xy},\qquad f_{\mathrm c}=-b\,\sigma_{xx}
$$

单位长度上的 Peach–Koehler 力，以及刃位错的滑移分量和攀移分量（Niu 等，式 2.1）。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

## 只滑移，不攀移

滑移时，位错只需要重排核心旁边的键。攀移则要让多出的半原子面变长或变短，这得靠空位或间隙原子扩散过来。温度低时，这通常比滑移慢得多，所以本实验冻结攀移，每个位错只能沿自己的滑移面运动。

本实验按 Niu 等人的式 (2.8) 把运动当作过阻尼的：速度与受力成正比，比例系数是迁移率 $M$。每个位错感受到的是外加剪应力，加上所有其他位错在它所在位置产生的剪应力。符号 $s_i=\pm1$ 记录伯格斯矢量的朝向，所以外加应力把异号位错推向相反方向。本实验以 $\mu$ 为应力单位、$b$ 为长度单位、$1/(\mu M)$ 为时间单位。

$$
\frac{dx_i}{dt}=M\,s_i\,b\Bigl[\tau+\sum_{j\ne i}\sigma_{xy}^{(j)}(x_i-x_j,\;y_i-y_j)\Bigr]
$$

位错 $i$ 在外加剪应力 $\tau$ 和其他位错的场中做过阻尼滑移。同一滑移面上相距不到 $b$ 的一对异号位错，本实验将其移除。

来源：X. Niu

## 平行滑移面上的两个位错

把一个位错放在原点，另一个放在高度为 $h$ 的平行滑移面上，横向错开 $x$。第二个位错受的滑移力，等于它的伯格斯矢量乘以第一个位错在该处的剪应力。因子 $x(x^2-h^2)$ 在三个位置为零：正上方 $x=0$，以及 45 度方向 $x=\pm h$。

同号时 $s_1s_2=1$，在 $0<x<h$ 力为负，在 $x>h$ 力为正。稍微偏离竖直方向的位错会被拉回 $x=0$；稍微越过 45 度的会被推开。同号位错上下叠放因此是稳定的，45 度是不稳定的。异号时所有的力都反向：竖直叠放变得不稳定，这一对停在 45 度。

两个位错受的力大小相等、方向相反，因为把这一对整体平移不会改变它们的相对位置。两者同时朝稳定排布滑去。

$$
f_x=s_1s_2\,\frac{\mu b^2}{2\pi(1-\nu)}\,\frac{x\,(x^2-h^2)}{(x^2+h^2)^2}
$$

相对另一个位错错开 $x$、高出 $h$ 的位错所受的滑移力；同号时 $s_1s_2=+1$，异号时为 $-1$。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

## 同号位错砌成一面墙

等间距滑移面上的若干同号位错会一直滑，直到一个叠在另一个正上方。每个位错带来一个多出的半原子面，于是这一列两侧的晶格相对倾转。滑移面相距 $h$ 时，倾角约为 $b/h$ 弧度。这就是小角倾转晶界，最简单的一种晶界；后面几章再讨论大角度的晶界。

路线基准在没有外加应力的条件下，让一批固定种子的位错对弛豫。同号对最后停在 $90.000^{\circ}$，异号对停在 $45.000^{\circ}$，标准误都在 $10^{-15}$ 度上下。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake

## 完整例题：每个位错往哪边走？

题目。两个同号刃位错位于相距 $4b$ 的滑移面上，上方的相对下方的错开 $2b$。取 $\nu=0.3$。求每个位错所受的滑移力和攀移力，并说明没有外加应力时这一对会怎样运动。

上方位错。第 1 章已经算出下方位错在 $(2b,4b)$ 处的剪应力：$\sigma_{xy}=-0.0136\,\mu$。滑移力 $f_{\mathrm g}=b\sigma_{xy}=-0.0136\,\mu b^2$，指向 $x$ 减小的方向，也就是朝竖直位置。

下方位错。从上方位错看，它位于 $(-2b,-4b)$。公式里两个含 $x$ 的因子同时变号，所以 $\sigma_{xy}=+0.0136\,\mu$，$f_{\mathrm g}=+0.0136\,\mu b^2$：大小相等、方向相反，同样朝竖直位置。

上方位错的攀移力。$\sigma_{xx}=-0.2274\,\mu b\,y(3x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2=-0.2274\times4\times28/400\,\mu=-0.0637\,\mu$，所以 $f_{\mathrm c}=+0.0637\,\mu b^2$。它差不多是滑移力的五倍，但攀移被冻结，本实验不考虑它。

结论。这一对一起滑动，直到上下对齐于 $x=0$，这是同号位错的稳定排布。起始错开量小于 $h$，这一对全程都待在 45 度以内的稳定一侧。

来源：X. Niu

## 到实验里试一试

### [看五个同号位错砌成一面墙](https://sandboxphysics.com/zh/labs/edge-dislocation-glide/)

1. 选“位错排成一面墙”。按播放之前，先预测位错对夹角的读数最后会停在多少度。
2. 让它运行，然后把排布换成“异号偶极子”，间距不变，把其中一个位错横向拖开。预测它会回到哪里。
3. 用剪应力四瓣的正负号解释这两种终态：同号为什么上下叠放，异号为什么停在 45 度。

## 练习与解答

1. 证明对两个同号位错，45 度位置 $x=h$ 是不稳定的；对两个异号位错，它是稳定的。

   展开解答

   记 $u=x/h$、$g(u)=u(u^2-1)/(u^2+1)^2$。在 $u=1$ 附近 $g\approx(u-1)/2$，穿过零点后增大。同号时力正比于 $+g$，稍微越过 $u=1$ 就被推得更远：不稳定。异号时力正比于 $-g$，会把它推回来：稳定。

2. 在本实验的单位下，孤立位错的滑移速度为 $dx/dt=s\,\tau$。在 $\tau=0.01\,\mu$ 下，它滑过 $20\,b$ 要多久？

   展开解答

   速度是每单位时间 $1/(\mu M)$ 走 $0.01\,b$，所以要 $2000/(\mu M)$，正好是默认加载周期的长度。本实验的模型没有晶格摩擦，任何非零应力都能推动孤立位错。

3. 对称倾转晶界由每隔 $h$ 叠放一个的同号刃位错组成。几何关系为 $b=2h\sin(\theta/2)$。分别求 $h=10\,b$ 和本实验中 $h=4\,b$ 的倾角，并与 $\theta\approx b/h$ 比较。

   展开解答

   $h=10\,b$ 时 $\theta=2\arcsin0.05=0.1000$ 弧度，即 $5.73^{\circ}$，与 $b/h$ 前四位相同。$h=4\,b$ 时 $\theta=2\arcsin0.125=0.2507$ 弧度，即 $14.4^{\circ}$，小角公式给出 $0.25$ 弧度。

[上一章：伯格斯矢量与刃位错的应力场](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/burgers-vector-and-edge-dislocation-field/) [下一章：位错偶极子与把它拉开的应力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/dislocation-dipoles-and-passing-stress/)

## 来源与复算范围

1. [A. Kauffmann and D. Schliephake, Plasticity, chapter 4c: Elastic theory of dislocations, lecture slides, Karlsruhe Institute of Technology, version 24-05-02 (2024)](https://www.iam.kit.edu/wk/downloads/PoMI/4c-Dislocations-Properties.pdf)

   24-05-02 版，全部幻灯片。第 9、10 页：线沿 $z$、伯格斯矢量沿 $x$ 的直刃位错的位移场和应力场，引自 Hirth 与 Lothe。第 11 页：各应力分量的分布图。第 13 页：相互作用由场的叠加得到。第 15 页：场在位错核附近截断，刃位错约在 $1.5\,b$ 处。第 23 页：单位长度上的滑移力为 $b\tau$。

2. [X. Niu, Y. Zhu, S. Dai and Y. Xiang, A continuum model for distributions of dislocations incorporating short-range interactions, arXiv:1707.05161v2 (2018)](https://arxiv.org/abs/1707.05161v2)

   第 2 版，第 2 节“离散位错模型”。式 (2.1)：Peach–Koehler 力 $\mathbf f=(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf b)\times\boldsymbol\tau$，滑移分量为 $b\sigma_{xy}$，攀移分量为 $-b\sigma_{xx}$。式 (2.2)—(2.3)：各向同性介质中刃位错的应力场。式 (2.4)—(2.7)：对所有其他位错求和，再加上外加应力。式 (2.8)：迁移率定律 $v_{\mathrm g}=m_{\mathrm g}f_{\mathrm g}$。第 4 节讨论偶极墙；本课程没有用到它的连续介质结果。