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title: "晶体缺陷与显微组织：位错、晶粒长大与枝晶"
description: "弄清金属为什么会屈服、粗化、凝固成树枝状：位错受力、曲率驱动的晶界和合金枝晶，每一步都用模拟检验。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/crystal-defects-microstructure/"
last_modified: "2026-10-31"
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[晶体缺陷与显微组织](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/)

FR39 · 连续互动课程

# 晶体缺陷与显微组织：位错、晶粒长大与枝晶

Sandbox Physics · 2026-10-30

金属能弯，是因为原子一排一排地滑移；退火时晶粒变粗，是因为晶界在变直；铸件凝固成树枝状，是因为溶质得先让开。本课程沿着这三个过程，从驱动它们的缺陷或界面出发，推到预测它们的方程，再拿你能亲手运行的模拟检验每一个方程。

[从伯格斯矢量开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/burgers-vector-and-edge-dislocation-field/) 先动手试试

有 $n$ 条边的晶粒的平均面积变化率，单位为 $Lk$，汇总自三个固定种子的 $160$ 乘 $160$ 多晶（圆点，样本数从 $17$ 到 $3731$）。虚线是冯·诺依曼–马林斯定律 $(\pi/3)(n-6)$。五边形晶粒落在线上；六边形晶粒略有长大，边更多的晶粒比定律快 $3\%$ 到 $6\%$。

## 从多出的半个原子面，到一篇已发表的相场模型

第一章用绕不回原点的回路定义位错，写出它的应力场。第二章把应力换算成力，说明同号位错为什么叠成墙。第三章求出把偶极子拉开的应力。第四章转向晶界，它朝曲率中心移动；第五章数晶粒的边，解释多晶为什么会粗化。第六章说明凝固合金的相场模型为什么会截留过多溶质，除非再加一股溶质流；最后一章读提出这股流的论文，并复现其中的图。

需要矢量和导数、应力与应变的概念，以及扩散方程。相场、欧拉公式和薄界面极限在第一次用到时再介绍。 [FR39](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/69)

1. 01 · L1

   ## [伯格斯矢量与刃位错的应力场](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/burgers-vector-and-edge-dislocation-field/)

   用绕不回原点的回路定义位错，写出它的弹性场，再用数值伯格斯回路检验公式。

2. 02 · L2

   ## [Peach–Koehler 力让同号位错排成墙](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/peach-koehler-force-and-glide/)

   把应力换算成位错线上的力，让位错在彼此的场中滑移，看同号位错为什么上下叠起，异号位错为什么停在 45 度。

3. 03 · L2

   ## [位错偶极子与把它拉开的应力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/dislocation-dipoles-and-passing-stress/)

   相邻滑移面上的一对异号位错能抵抗剪切，直到通过应力；通过应力与面间距成反比。推导它，再检验它。

4. 04 · L2

   ## [晶界靠曲率移动，圆形晶粒因此匀速缩小](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/grain-boundaries-move-by-curvature/)

   弯曲的晶界朝曲率中心移动，所以圆形晶粒的面积以恒定速率减小。从相场推出这个规律，再检验它。

5. 05 · L3

   ## [冯·诺依曼–马林斯定律说，少于六条边的晶粒会缩小](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/von-neumann-mullins-and-coarsening/)

   在二维多晶中，晶粒面积的变化率只取决于它有几条边。推导这条定律，用欧拉公式数边，再把两者都测一遍。

6. 06 · L3

   ## [合金相场模型中的溶质截留与反截留流](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/thin-interface-alloy-solidification-and-antitrapping/)

   长大的合金晶体必须排出溶质。为了算得动而取宽的弥散界面会截留过多溶质，加一股额外的流就能消除这个误差。

7. 07 · L4

   ## [读 Karma 2001 的合金相场论文，并复现其中的枝晶图](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/reading-karma-2001/)

   这篇四页短文提出了反截留流。本章带你读：结论在哪里，怎样检验收敛，以及我们复现了哪些图中的数值。

## 沿途的实验

[01 **剪切晶体，把偶极子拉开** 用循环剪切加载刃位错，看同号位错叠成一面墙，再找出把一对异号位错拉开的应力。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/edge-dislocation-glide/) [02 **给多晶退火** 让晶界在曲率驱动下移动，给缩小的圆形晶粒计时，再测量每个晶粒的面积变化率怎样取决于它的边数。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/curvature-grain-growth/) [03 **长出一棵合金枝晶** 在过饱和熔体中长出一个四臂晶体，再关掉反截留流，看固相多留下了多少溶质。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/alloy-dendrite-antitrapping/)

这些实验中的每个模型都对照了解析结果或已发表的图，路线基准记录了每一次对照。Volterra 场、通过应力和冯·诺依曼–马林斯定律作为单独的参照线画出；屏幕上没有一张是显微照片。

## 这些缺陷在哪里被测量

这些实验不属于本课程，它们展示真实样品怎样加载和成像；位错和晶界在实践中正是这样被看到的。

[**应力—应变材料试验机** 把一根棒拉到屈服。屈服之后，形变主要来自第 1 到第 3 章讲的位错滑移，而不再是弹性拉伸。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stress-strain-tester/) [**原位 TEM：驱动来自哪里？** 在电子显微镜里给样品加载、加热或加偏压，再追问响应有多少来自成像电子束。这个实验跟踪的是标记点，没有模拟位错。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/in-situ-tem/) [**电子全息** 恢复电子穿过样品时获得的相位，并分离出其中的磁贡献。它展示显微镜怎样测量样品内部的场，没有模拟缺陷。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-holography/)

## 来源与复算范围

1. [A. Kauffmann and D. Schliephake, Plasticity, chapter 4c: Elastic theory of dislocations, lecture slides, Karlsruhe Institute of Technology, version 24-05-02 (2024)](https://www.iam.kit.edu/wk/downloads/PoMI/4c-Dislocations-Properties.pdf)

   24-05-02 版，全部幻灯片。第 9、10 页：线沿 $z$、伯格斯矢量沿 $x$ 的直刃位错的位移场和应力场，引自 Hirth 与 Lothe。第 11 页：各应力分量的分布图。第 13 页：相互作用由场的叠加得到。第 15 页：场在位错核附近截断，刃位错约在 $1.5\,b$ 处。第 23 页：单位长度上的滑移力为 $b\tau$。

2. [X. Niu, Y. Zhu, S. Dai and Y. Xiang, A continuum model for distributions of dislocations incorporating short-range interactions, arXiv:1707.05161v2 (2018)](https://arxiv.org/abs/1707.05161v2)

   第 2 版，第 2 节“离散位错模型”。式 (2.1)：Peach–Koehler 力 $\mathbf f=(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf b)\times\boldsymbol\tau$，滑移分量为 $b\sigma_{xy}$，攀移分量为 $-b\sigma_{xx}$。式 (2.2)—(2.3)：各向同性介质中刃位错的应力场。式 (2.4)—(2.7)：对所有其他位错求和，再加上外加应力。式 (2.8)：迁移率定律 $v_{\mathrm g}=m_{\mathrm g}f_{\mathrm g}$。第 4 节讨论偶极墙；本课程没有用到它的连续介质结果。

3. [A. Kazaryan, Y. Wang, S. A. Dregia and B. R. Patton, Generalized phase field model for computer simulation of grain growth in anisotropic systems, arXiv:cond-mat/9912044v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912044v1)

   第 1 版，全文。式 (1)：每个序参量一条 Allen–Cahn 方程。式 (2)：带梯度项的自由能。式 (5)：体自由能密度，取 $a_1=a_2=1$、$a_3=2$。式 (6) 与图 3：孤立晶粒的面积以恒定速率减小。结尾几段与图 5：平均晶粒面积随时间线性增长。本课程只用各向同性的情形。

4. [J. K. Mason, E. A. Lazar, R. D. MacPherson and D. J. Srolovitz, Geometric and topological properties of the canonical grain growth microstructure, arXiv:1507.03379v1 (2015)](https://arxiv.org/abs/1507.03379v1)

   第 1 版。第 II 节式 (1)：冯·诺依曼–马林斯关系 $dA/dt=-2\pi M\gamma(1-n/6)$，对各向同性的二维晶粒长大严格成立。第 III A 1 节与图 4(a)：每个晶粒边数的分布，以及欧拉定理把平均边数固定为六。

5. [A. Karma, Phase-field formulation for quantitative modeling of alloy solidification, arXiv:cond-mat/0103289v1 (2001)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0103289v1)

   第 1 版，全文。式 (16)—(18) 与 (22)：含反截留流的等温稀合金模型。式 (19)—(20)：平衡剖面，以及消除表面扩散的 $q(\phi)$ 取法。参数段落：$\Delta x=0.4$、$\Delta t=0.008$、$k=0.15$、$\Omega=0.55$、$\epsilon_4=0.02$、$a_1=0.8839$、$a_2=0.6267$，晶核半径 $22\,d_0$。图 1：尖端速度随时间的变化。图 2：沿枝晶轴固相中的溶质。

6. [B. Echebarria, R. Folch, A. Karma and M. Plapp, Quantitative phase-field model of alloy solidification, arXiv:cond-mat/0404164v2 (2004)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0404164v2)

   第 2 版。第 I B 节，式 (2)：界面厚度取介观尺度时，溶质截留、表面扩散和界面拉伸都与 $W$ 成正比地放大。第 I D 节：把反截留流作为非变分的修正。第 I E 节，式 (7)—(13)：完整模型，式 (10) 的反截留流，系数 $a=1/(2\sqrt2)$，以及 $d_0=a_1W/\lambda$ 和式 (13) 的 $\beta$。第 II A 节，式 (17)—(21)：等温生长的尖锐界面问题，包括 Stefan 条件和 Gibbs–Thomson 关系。第 IV 节给出薄界面分析；本课程只略读，没有重新推导。