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title: "晶界靠曲率移动，圆形晶粒因此匀速缩小"
description: "弯曲的晶界朝曲率中心移动，所以圆形晶粒的面积以恒定速率减小。从相场推出这个规律，再检验它。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/crystal-defects-microstructure/grain-boundaries-move-by-curvature/"
last_modified: "2026-10-30"
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[晶体缺陷与显微组织](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/)

L2 · 第 4 章

# 晶界靠曲率移动，圆形晶粒因此匀速缩小

Sandbox Physics · 2026-10-30

把由许多小晶体组成的金属加热，晶体会长大：小的消失，晶界变直。没有外力推晶界。晶界之所以移动，是因为晶界长度要付出能量，弯曲的晶界朝曲率中心移动就能降低能量。对圆形晶粒，结果出人意料：不管多大，它的面积都以恒定速率 $2\pi M\gamma$ 减小。本章从本实验运行的相场模型推出这个规律，再测量本实验的网格离它有多近。

## 开始前需要什么

第 2 章：一列同号位错构成了最简单的晶界。圆的曲率等于半径的倒数。偏导数、拉普拉斯算子，以及沿负梯度走、函数值随之下降的想法。

- 从“晶界速度正比于曲率”推出圆形晶粒缩小时的面积变化率。
- 证明多序参量相场中晶界的速度由迁移率与梯度系数之积决定。
- 从孤立晶粒基准读出本实验网格的误差，并说明它怎样随分辨率减小。

## 晶界要付出能量，曲率驱动它移动

两个取向不同的晶体相接处，原子哪个晶格都坐不进去，所以晶界带有能量，在二维中是单位长度 $\gamma$。晶界变短，能量就降低。直的晶界怎么移动都不会变短，弯的可以：朝曲率中心移动就会变短。

最简单的动力学规律让速度正比于驱动力；对能量为 $\gamma$、曲率为 $\kappa$ 的晶界，单位面积上的驱动力是 $\gamma\kappa$。迁移率为 $M$ 时，速度就是 $M\gamma\kappa$。半径为 $R$ 的圆形晶粒曲率为 $1/R$，越小半径缩得越快。面积却以恒定速率减小，因为更快的运动只作用在更短的周长上。

$$
v=M\gamma\,\kappa\quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{dt}=-\frac{M\gamma}{R},\qquad \frac{dA}{dt}=2\pi R\,\frac{dR}{dt}=-2\pi M\gamma
$$

曲率驱动的运动，以及它对面积 $A=\pi R^2$ 的圆形晶粒意味着什么。

来源：J. K. Mason · A. Kazaryan

## 每个晶粒一个序参量

Kazaryan、Wang、Dregia 和 Patton 用每个取向一个场 $\eta_i$ 来描述多晶。在晶粒 $i$ 内部 $\eta_i=1$，其余为零；穿过晶界时，一个场下降，另一个场上升。每个场沿自由能的梯度弛豫，即式 (1)。自由能式 (2) 在体自由能密度 $f$ 上加了系数为 $k$ 的梯度项，$f$ 在每个纯晶粒处都有极小值。

他们的式 (5) 取 $a_1=a_2=1$、$a_3=2$，体自由能密度写在下面。交叉项惩罚同一点上两个场都很大的情形，所以晶粒不会重叠。本实验给每个晶粒一个独立的场，两个晶粒不会因为共用编号而合并；每个格点只存最大的四个场。

$$
\frac{\partial\eta_i}{\partial t}=-L\,\frac{\delta F}{\delta\eta_i},\qquad F=\int\Bigl[f(\eta_1,\dots,\eta_p)+\frac{k}{2}\sum_i(\nabla\eta_i)^2\Bigr]d^2r
$$

每个序参量以迁移率 $L$ 做 Allen–Cahn 弛豫（Kazaryan 等，式 1—2）。

$$
f=\sum_i\Bigl(-\frac{\eta_i^2}{2}+\frac{\eta_i^4}{4}\Bigr)+\sum_i\sum_{j>i}\eta_i^2\eta_j^2
$$

本实验使用的体自由能密度，即 Kazaryan 等的式 (5)，参数取他们的值。

来源：A. Kazaryan

## 从相场到曲率驱动的运动

在平缓弯曲的晶界附近，用沿法向的坐标 $n$ 写拉普拉斯算子，它分成穿过晶界的二阶导数和一个曲率项。平直的平衡剖面已经让体自由能的力与二阶导数项相互抵消，只剩下曲率项。

剩下的这一项等于 $Lk\kappa$ 乘以剖面的斜率。一个以速度 $v$ 沿法向滑动的剖面，变化率正好是 $v$ 乘以斜率，所以晶界以 $v=Lk\kappa$ 移动，体自由能密度不出现在结果里。与尖锐界面的规律对比，得到 $M\gamma=Lk$；孤立晶粒按 $dA/dt=-2\pi Lk$ 缩小，这就是 Kazaryan 等对各向同性晶界写出的式 (6)。

$$
\nabla^2\eta=\partial_n^2\eta+\kappa\,\partial_n\eta\quad\Longrightarrow\quad \partial_t\eta=Lk\kappa\,\partial_n\eta\quad\Longrightarrow\quad v=Lk\,\kappa,\qquad M\gamma=Lk
$$

弯曲晶界附近剩下的曲率项，可以读成一个移动的剖面。

来源：A. Kazaryan

## 网格离这个规律有多近？

路线基准在 $128$ 乘 $128$ 的网格上、取 $L=k=1$，让圆形晶粒缩小，并在面积从起始值的 $0.9$ 降到 $0.25$ 期间做直线拟合。速率除以 $2\pi Lk$，起始半径为 $20$、$30$、$40$ 时分别是 $0.956$、$0.953$、$0.952$。速率与大小无关，和规律一致，但慢了约 $5\%$。

增大 $k$ 会让晶界变宽，跨过更多格点。半径按同样的倍数放大后，这些运行相当于同一个问题换了更细的网格。比值在 $k=2$ 时升到 $0.978$，在 $k=4$ 时升到 $0.990$。$k$ 每翻一倍，差距减半；晶界宽度按 $\sqrt k$ 增长时，二阶精度的离散正该如此。这个差距是网格误差，晶界分辨得越细，它越小。

来源：A. Kazaryan

## 完整例题：本实验里的孤立晶粒能撑多久？

题目。本实验的孤立晶粒预设放入半径 $40$ 格的圆形晶粒，$L=k=1$。按尖锐界面的规律，它什么时候消失？在本实验的网格上呢？

按规律。面积为 $\pi\times40^2=5027$ 格，每单位时间减少 $2\pi=6.283$ 格，所以能撑 $R_0^2/(2Lk)=1600/2=800$ 个时间单位。

本实验网格。测得的速率是规律值的 $0.952$ 倍，所以能撑 $800/0.952=840$ 个时间单位。

检验。寿命过半时半径是 $R_0/\sqrt2=28.3$ 格，而不是 $20$ 格；面积匀速减小，意味着半径开始缩得慢，最后缩得快。

结论。按规律 $800$ 个时间单位，在本实验网格上约 $840$。

来源：A. Kazaryan

## 到实验里试一试

### [给缩小的圆形晶粒计时](https://sandboxphysics.com/zh/labs/curvature-grain-growth/)

1. 选“圆形晶粒匀速缩小”。预测孤立晶粒的面积是沿直线下降还是沿曲线下降，以及它能撑多久。
2. 重置，把晶界迁移率加倍到 2。预测新的寿命，再观察。
3. 选“大晶粒吞并邻居”。解释为什么单独的圆形晶粒总在缩小，而被小晶粒包围的大晶粒却能长大。

## 练习与解答

1. 取 $L=1$、$k=2$，起始半径为 $30$ 的圆形晶粒按规律能撑多久？在网格上呢？

   展开解答

   按规律 $R_0^2/(2Lk)=900/4=225$ 个时间单位。$k=2$ 时基准比值为 $0.978$，所以网格上约 $230$。

2. 本实验用显式欧拉法推进场。九点拉普拉斯算子最负的本征值为 $-16/3$，体自由能项再加上最多 $2$ 的曲率，所以只有 $L\Delta t\,(16k/3+2)<2$ 时才稳定。默认的 $\Delta t=0.1$ 在 $L=k=2$ 时稳定吗？

   展开解答

   上限是 $\Delta t<2/[2\times(32/3+2)]=0.079$，所以 $0.1$ 不稳定。默认步长超过上限时，本实验取上限的 $0.8$ 倍，即 $\Delta t=0.063$。

3. 两个大晶粒之间的平直晶界，不管两侧取向差多大，在这个模型里都不动。为什么？

   展开解答

   它的曲率为零，所以 $v=Lk\kappa=0$。在各向同性模型里，驱动力只来自曲率；两侧晶粒的储存能之差本可以推动平直晶界，但模型没有包含它。

[上一章：位错偶极子与把它拉开的应力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/dislocation-dipoles-and-passing-stress/) [下一章：冯·诺依曼–马林斯定律说，少于六条边的晶粒会缩小](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/von-neumann-mullins-and-coarsening/)

## 来源与复算范围

1. [A. Kazaryan, Y. Wang, S. A. Dregia and B. R. Patton, Generalized phase field model for computer simulation of grain growth in anisotropic systems, arXiv:cond-mat/9912044v1 (1999)](https://arxiv.org/abs/cond-mat/9912044v1)

   第 1 版，全文。式 (1)：每个序参量一条 Allen–Cahn 方程。式 (2)：带梯度项的自由能。式 (5)：体自由能密度，取 $a_1=a_2=1$、$a_3=2$。式 (6) 与图 3：孤立晶粒的面积以恒定速率减小。结尾几段与图 5：平均晶粒面积随时间线性增长。本课程只用各向同性的情形。

2. [J. K. Mason, E. A. Lazar, R. D. MacPherson and D. J. Srolovitz, Geometric and topological properties of the canonical grain growth microstructure, arXiv:1507.03379v1 (2015)](https://arxiv.org/abs/1507.03379v1)

   第 1 版。第 II 节式 (1)：冯·诺依曼–马林斯关系 $dA/dt=-2\pi M\gamma(1-n/6)$，对各向同性的二维晶粒长大严格成立。第 III A 1 节与图 4(a)：每个晶粒边数的分布，以及欧拉定理把平均边数固定为六。