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title: "三维声波怎样变成天空的角谱"
description: "从初始曲率谱、转移函数走到角功率谱，再用冻结的 CAMB 网格理解背景距离与参数退化。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/transfer-and-degeneracy/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmology/transfer-and-degeneracy/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从宇宙膨胀走到天空推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/)

L2 · 第 4 章

# 三维声波怎样变成天空的角谱

Sandbox Physics · 2026-10-28

同一条角功率谱，合并了初始起伏、流体演化和沿视线的投影。不同参数若在这些环节中相互补偿，就可能留下很接近的峰。转移函数把每个环节接起来，也告诉我们该用哪些观测打破补偿。

## 开始前需要什么

读过前三章。波数是单位长度上的相位变化率，波长缩短一半，波数就加倍。本章的积分把不同波长的贡献相加。球谐系数的具体统计在下一章说明。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/acoustic-oscillations/)

- 区分初始谱和演化后的角谱。
- 说明转移函数包含哪些物理。
- 把几何退化与插值误差分开。

## 先说清谱的单位

原初曲率扰动记为 $\mathcal R$。其无量纲功率 $\mathcal P_{\mathcal R}(k)$ 表示每单位对数波数的方差贡献。温度相对起伏 $\Theta=\delta T/T_0$ 的角谱 $C_\ell^{\Theta\Theta}$ 也是无量纲。只有乘回平均温度的平方，才得到温度平方单位。

温度谱常画成 $D_\ell$，再把温度改用微开尔文。这个重标度把每个对数角尺度附近的功率放到较直观的高度。读公开文件时，先确认它给的是角功率还是重标度后的谱，也要确认温度单位。

$$
D_\ell^{TT}=\frac{\ell(\ell+1)}{2\pi}\,T_0^2 C_\ell^{\Theta\Theta}
$$

若平均温度用微开尔文，右侧单位就是微开尔文平方。CAMB 网格保存的是这个温度谱。

## 转移函数把一个初始模式送到观测者

给定一个初始波数，转移函数 $\Delta_\ell^T(k)$ 计算它最终在天空的某个多极上留下多少温度信号。它包括引力驱动、光子与重子运动、复合和传播。视线积分中的球 Bessel 函数负责把三维波形投成球面图案。

在平直背景、光速为一的共形坐标中，源函数 $S_T$ 收集各时刻对温度的贡献。不同初始波数的功率再按转移函数平方相加，就得到理论角谱。这个过程已经对随机初始相位求了平均；它还不是我们恰好拥有的那一片天空。

下面的转移积分给出线性的未透镜温度谱。光经过后来的结构时，引力还会偏折方向，混合不同角尺度并抹平声学峰。CAMB 在未透镜谱之后另算这层重映射，网格保存的是有透镜平滑的温度谱。

$$
\Delta_\ell^T(k)=\int_0^{\eta_0}d\eta\,S_T(k,\eta)j_\ell[k(\eta_0-\eta)]
$$

源函数采用与转移函数一致的归一化；末次散射并非无限薄，晚期引力红移也贡献源项。

$$
C_\ell^{\Theta\Theta}=4\pi\int d\ln k\;\mathcal P_{\mathcal R}(k)\,|\Delta_\ell^T(k)|^2
$$

这是标量初始曲率扰动、统计各向同性条件下的温度角谱表达式。偏振与交叉谱需要相应的转移函数。

对应阅读：David Tong · CAMB source and documentation

## 距离变化能把峰列移到相近的位置

提高 Hubble 常数，同时改变常状态方程暗能量参数 $w$，可能让到末次散射的距离近似保持。若早期物理密度固定，声视界也变化较小，峰的角位置就接近。我们把这种不同参数给出相似预测的情况叫参数退化。

补偿只对部分观测有效。晚期势演化改变大角尺度温度，结构增长改变透镜，偏振和其他距离也提供不同方向的信息。比较两条温度峰列时，要看相对差异随多极如何变化，而不能只盯住第一峰。

固定空间平直、冷暗物质物理密度与其他初始参数，是这个实验的条件。若允许曲率、额外辐射或原初谱同时自由，退化方向会改变。声学峰给出很精确的角尺度，换成晚期成分时仍要带上这些条件。

对应阅读：Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters

## 算一对角尺度接近的背景

固定重子物理密度 $\omega_b=0.0224$ 及其他网格设置。参考背景取 $H_0=67.4\;\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$、$w=-1$；对照取 $H_0=73.5\;\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$、$w=-1.2$。第二组膨胀参数相当不同，末次散射声视界与横向距离之比却接近。

冻结网格给出的声学角尺度相差约百分之零点零零七二四，两条采样谱的第一峰都落在多极二百二十二。它们的宇宙年龄仍不同，约为 $13.79\;\mathrm{Gyr}$ 与 $13.69\;\mathrm{Gyr}$。相近的峰位置因此能容纳不同晚期膨胀史。

多极高于一百时，两谱的最大相对差约为百分之零点三五五，比下节测到的最大插值差还小。这个网格足以看出峰列近乎重合，却不足以把微小残差当成精密参数区分的证据。

## 实际计算与近似误差各占哪一层

交互实验冻结 CAMB 1.6.6 的七十五个节点。重子物理密度有三档，Hubble 常数与常状态方程参数各有五档；采用平直背景和 PPF 暗能量处理，其他设置写入生成脚本。浏览器在网格内插值有透镜的标量温度谱；它不向网格外外推。

六个内部留出点另用更高精度计算。多极不低于三十的检查中，逐点最大相对差约百分之零点八零四，最大均方根相对差约百分之零点三五五。这六个检查点不能给出整个区域的统一误差上界；数字衡量网格插值和数值设置的联合差异。

完整算例可以从一个网格节点开始：先复算该节点，确认读出的谱与保存值一致；再选相邻节点中点，与留出的高精度计算比较。前一步检查读取，后一步检验近似。若想用这种网格做精密似然，必须把插值误差与所需数据精度比较，必要时加密网格。

对应阅读：CAMB source and documentation

## 动手检验预测

### [找一对峰位置相近的宇宙](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cmb-acoustic-peaks/)

1. 固定重子密度，先单独改变 Hubble 常数，记下峰列的移动方向。
2. 同时改变暗能量状态方程，寻找角尺度接近参考的预设。
3. 比较整个谱的差异，说明哪些特征仍可区分这两组参数。

## 练习与解释性答案

1. 两条曲线第一峰相同，为什么还可能来自不同宇宙成分？

   展开解释

   第一峰给出的主要是一个长度比，还受相位和投影影响。峰高、后续峰、阻尼与透镜各保留额外信息，能把第一峰上的补偿拆开。

2. 把谱的纵轴从角功率换成重标度温度谱，能产生新的物理峰吗？

   展开解释

   这个变换只按已知多极权重重新显示同一组信息，会改变曲线极值的精确位置与视觉强调；它没有增加新的观测或声学模式。

[上一章：早期宇宙的声音为什么留下峰](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/acoustic-oscillations/) [下一章：宇宙只给一片天空，功率还能测多准](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/one-sky-statistics/)

## 来源与计算范围

1. [David Tong, Cosmology, Chapter 3](https://davidtong.org/teaching/cosmology/cosmohtml/S3)

   结构形成一章给出线性增长、压强支撑、转移函数与微波天空。本文无压增长的算例限于物质主导期、Hubble 尺度以内。

2. [CAMB source and documentation](https://github.com/cmbant/CAMB/tree/1.6.6)

   声学网格脚本固定 CAMB 1.6.6，保存宇宙学设置，并在网格外节点检查插值。浏览器读取固定网格，不现场求解 Boltzmann 层级。

3. [Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters, arXiv:1807.06209v4 (2021)](https://arxiv.org/html/1807.06209v4)

   第 2.2—2.3 节说明数据似然，第 3.1 节解释声学尺度；第 6.2 节与第 7.3—7.5 节分别讨论透镜平滑、曲率、暗能量和相对论粒子。论文发表于 A&A 641, A6（2020），这里固定带勘误的 v4。本课程不复现完整 Planck 似然或参数链。