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title: "望远镜给天空添了什么"
description: "算一次高斯波束的衰减，理解天空遮罩怎样混合角尺度，再把前景与仪器不确定度带进似然。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmology/observing-and-likelihood/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从宇宙膨胀走到天空推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/)

L3 · 第 6 章

# 望远镜给天空添了什么

Sandbox Physics · 2026-10-28

望远镜看到的是被抹平的天空，还混着噪声和前景辐射。要从这些记录推断宇宙，就要同时预测天体信号和测量过程。曲线看起来吻合以后，仍要把误差有多大、仪器参数知道多准一起算进去。

## 开始前需要什么

先读球谐天空与宇宙方差一章。需要理解高斯随机变量、方差和定积分。协方差矩阵把几个测量量各自的误差以及它们之间的相关放在一张表里。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/one-sky-statistics/)

- 算出圆对称波束怎样压低一个球谐模式。
- 解释为什么遮住银河会混合不同角尺度。
- 区分理想全天似然与含前景、仪器参数的实际推断。

## 先给测量写一个方程

用 $a_{\ell m}$ 表示真实温度天空的一个球谐系数，单位取微开尔文。若完整观察全天、波束又处处圆对称，记录到的系数 $b_{\ell m}$ 就等于经过波束衰减的天空，加上仪器噪声 $n_{\ell m}$ 和有效前景 $f_{\ell m}$。这里的前景已经包含该观测通道的响应。

高斯波束常用半高全宽 $\theta_{\mathrm{FWHM}}$ 描述：从波束一侧的半高点走到另一侧，夹角有多大。先把它换成弧度，再算标准差 $\sigma_b$。球谐振幅乘上 $B_\ell$，功率则乘它的平方。波束越宽，细小斑块越容易在平均中抵消，大斑块受影响较小。

$$
b_{\ell m}=B_\ell a_{\ell m}+n_{\ell m}+f_{\ell m},\qquad B_\ell=\exp\!\left[-\frac{\ell(\ell+1)\sigma_b^2}{2}\right]
$$

这种逐个球谐模式相乘的写法，要求各个方向使用相同的圆对称波束。波束不对称或处理随方向变化时，响应需要写得更一般。

$$
\sigma_b=\frac{\theta_{\mathrm{FWHM}}}{\sqrt{8\ln2}}
$$

这个因子来自高斯函数的半高点位置，把半高全宽换成标准差。

对应阅读：Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters

## 算一束十角分宽的波束

取一个教学例子：波束半高全宽为 $10\,\mathrm{arcmin}$，观察 $\ell=1000$ 的模式。角度换算得到 $\theta_{\mathrm{FWHM}}=10\pi/(180\times60)=0.00291\,\mathrm{rad}$；再除以高斯宽度因子，得到 $\sigma_b=0.00124\,\mathrm{rad}$。代入指数，振幅剩下 $B_{1000}=0.466$，功率剩下 $B_{1000}^2=0.217$，约为原来的两成二。

既然知道衰减，能不能把功率除以 $B_\ell^2$，全部补回来？信号的平均响应能补回，噪声功率也会一起放大。这个例子会把加性噪声功率放大 $1/B_{1000}^2=4.61$ 倍。分辨率损失有统计代价；波束宽度本身若不够确定，还要另算这份误差。

## 遮住银河，也会混合不同的角尺度

银河辐射太强时，分析往往给地图乘一个权重 $W(\hat{\boldsymbol n})$，把污染严重的方向压低或去掉。球谐函数原本靠完整球面上的积分彼此正交。天空被遮掉一部分，原先分开的系数就会混在一起。直接从加权地图算出的功率叫作伪功率谱。

它的平均值要经过一个由遮罩决定的耦合矩阵 $M_{\ell\ell'}$。仅仅知道还剩多少天空，不足以判断哪些模式混在一起。实际分析要按采用的遮罩、滤波和分箱计算响应，也计算误差之间怎样相关。

相邻带功率因此可能有相关误差。图上每个点各画一根竖误差棒，看起来很直观，却还没有交代拟合所需的全部统计信息。

$$
\left\langle\widetilde C_\ell\right\rangle=\sum_{\ell'}M_{\ell\ell'}B_{\ell'}^2C_{\ell'}+\left\langle\widetilde N_\ell\right\rangle
$$

这里写的是前景处理之后、统计各向同性信号的平均关系，遮罩已知。实际若还有滤波与像素响应，需要继续把相应因子放进来。

对应阅读：Hivon et al.

## 从随机分布走到参数推断

先退回一个能完整算清的例子：天空是高斯随机场，观测覆盖全天，噪声也是各向同性高斯噪声，前景已去除。把总观测功率记为 $S_\ell=B_\ell^2C_\ell+N_\ell$。估计量 $\widehat C^{\mathrm{obs}}_\ell$ 是一组高斯系数的平方和，因此适当缩放后服从卡方分布。低阶只有少数模式，分布会明显偏斜。

每个功率分箱容纳很多模式时，高斯近似可能好用。协方差仍要包含遮罩、噪声和处理过程的影响。Planck 的低阶与高阶数据采用不同的似然构造；理想全天公式适合帮助理解起点。

尘埃振幅、定标和波束参数会改变测量，但通常不是研究宇宙时最关心的量，统称干扰参数。把它们固定在一个值上，得到的是这个条件下的结果。边缘化则按先验 $\pi(\boldsymbol\eta)$，把允许的取值都积分进去。若前景变化能模仿宇宙学变化，把这份不确定度带进来，推断范围通常会变宽。对干扰参数取最大似然值称为轮廓化，运算又不同。

下一章用公开带功率做一个限定分析。模板与协方差固定下来，每一步就能复算，也能说清最后推断的究竟是哪一个量。

$$
\frac{(2\ell+1)\widehat C^{\mathrm{obs}}_\ell}{S_\ell}\sim\chi^2_{2\ell+1},\qquad -2\ln\mathcal L=\sum_\ell(2\ell+1)\left[\ln S_\ell+\frac{\widehat C^{\mathrm{obs}}_\ell}{S_\ell}\right]+\mathrm{const}
$$

这个精确似然限于完整球面上相互独立的高斯球谐模式。常数项与模型功率无关；对数中默认除以一个固定的功率单位。

$$
\mathcal L_{\mathrm{marg}}(\boldsymbol\vartheta)=\int\mathcal L(d\mid\boldsymbol\vartheta,\boldsymbol\eta)\,\pi(\boldsymbol\eta)\,d\boldsymbol\eta
$$

这里 d 表示数据，vartheta 表示宇宙学参数，eta 表示干扰参数。要形成后验，还要乘宇宙学参数自己的先验。

对应阅读：David Tong · Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters

## 动手检验预测

### [让前景辐射进入温度拟合](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cmb-spectrum-thermometer/)

1. 先预测：温暖尘埃混入后，只拟合黑体会让温度偏高还是偏低？
2. 比较只含黑体的拟合与同时包含尘埃的拟合。
3. 解释新增的频率信息怎样帮助分开两个成分。

### [让同一片天空经过不同波束](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cmb-sky-angular-spectrum/)

1. 先预测波束变宽时，哪种大小的斑块最先消失。
2. 只改变波束宽度，对照天空图与同一组球谐系数的功率。
3. 解释提高分辨率为什么能看清小尺度，却没有增加一片独立宇宙。

## 练习与解释性答案

1. 某模式的波束振幅响应为 $B_\ell=0.5$。信号功率剩多少？除去波束响应会把加性噪声功率放大多少？

   展开解释

   振幅剩一半，功率剩四分之一。把观测功率除以四分之一，加性噪声功率也会放大四倍。平均响应可以修正，统计信息的损失仍要付出代价。

2. 尘埃振幅只知道大致范围，而且它能模仿一部分宇宙学信号。为什么固定尘埃最佳拟合值，可能比边缘化给出更窄的结果？

   展开解释

   固定是在一个尘埃取值下做条件推断，没有带上尘埃本身的不确定度。边缘化会把其他允许尘埃取值对应的宇宙学解释也纳入；它们彼此重叠，就把误差传给了宇宙学参数。具体变化还取决于模型和先验。

[上一章：宇宙只给一片天空，功率还能测多准](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/one-sky-statistics/) [下一章：沿着公开透镜数据读懂似然](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/lensing-likelihood/)

## 来源与计算范围

1. [Hivon et al., MASTER of the CMB Anisotropy Power Spectrum, astro-ph/0105302v1 (2001)](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0105302v1)

   伪角功率估计与遮罩耦合的系综关系。全天教学实验没有对真实天空遮罩做反演。

2. [David Tong, Cosmology, Chapter 3](https://davidtong.org/teaching/cosmology/cosmohtml/S3)

   结构形成一章给出线性增长、压强支撑、转移函数与微波天空。本文无压增长的算例限于物质主导期、Hubble 尺度以内。

3. [Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters, arXiv:1807.06209v4 (2021)](https://arxiv.org/html/1807.06209v4)

   第 2.2—2.3 节说明数据似然，第 3.1 节解释声学尺度；第 6.2 节与第 7.3—7.5 节分别讨论透镜平滑、曲率、暗能量和相对论粒子。论文发表于 A&A 641, A6（2020），这里固定带勘误的 v4。本课程不复现完整 Planck 似然或参数链。