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title: "微小起伏怎样长成结构"
description: "先定义密度扰动与坐标规范，再推导无压物质的增长方程，理解引力、膨胀与压强的竞争。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmology/linear-perturbations/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从宇宙膨胀走到天空推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/)

L2 · 第 2 章

# 微小起伏怎样长成结构

Sandbox Physics · 2026-10-28

稍密的区域吸引更多物质，起伏就会增长。宇宙膨胀拖慢流动，压强又能把聚集推回去。把平均膨胀先扣掉，只追踪微小偏离，就能看清这场竞争。

## 开始前需要什么

先读第一章。需要导数与简单正弦波；二阶导数表示变化率本身怎样变化。方程只保留扰动的一次项，适用于密度偏离远小于平均值时。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/expansion-distances/)

- 说明密度扰动为何要先指定时间切片。
- 从连续性、运动方程与引力得到增长方程。
- 用纯物质背景解出增长与衰减两种模式。

## 密度的起伏要相对于同一时刻来比

密度对比度 $\delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho$ 是局部密度超过平均值的比例。这里的“同一时刻”需要明确：不同坐标选择会把事件分到不同时间切片，而平均密度本身也随时间改变。大尺度的密度扰动因此带有规范依赖。

本课程讨论相对论扰动时采用共形 Newton 规范：用共形时间 $\eta$，令 $dt=a\,d\eta$；令光速为一。时间势 $\Psi$ 决定引力红移与加速度，空间势 $\Phi$ 描述空间几何的微扰。只有在可忽略各向异性应力时，两者才相等。

$$
ds^2=a^2(\eta)\left[-(1+2\Psi)d\eta^2+(1-2\Phi)d\mathbf{x}^2\right]
$$

背景是空间平直的 FLRW 时空。两个势无量纲；不要把一个规范下的密度数值直接与另一个规范的初值拼接。

对应阅读：Enrico Pajer · David Tong

## 从守恒走到增长方程

先缩小到 Hubble 尺度以内、速度较慢的无压物质。用宇宙时间 $t$ 和共动位置 $\mathbf{x}$，特殊速度 $\mathbf{v}=a\dot{\mathbf{x}}$ 表示相对于平均膨胀的运动。连续性方程说流入越多，密度越高；Euler 方程说引力加速物质，而膨胀削弱特殊速度。

这里假设引力势的起伏由物质密度提供，其他平滑成分只改变平均膨胀。平均物质质量密度记为 $\bar\rho_m$，单位为质量除以体积。记速度散度 $\theta=\nabla\cdot\mathbf v$；它描述流体在一点附近流出或汇入的快慢。梯度都对共动坐标求。

对连续性方程求导时，除速度散度外，分母的尺度因子也在变。于是得到 $\ddot\delta=-\dot\theta/a+H\theta/a$。Euler 方程又提供一个相同的膨胀项，合起来才有增长方程中的二倍 Hubble 阻尼。最后用 Poisson 方程把势换成密度起伏。

$$
\dot\delta=-\theta/a,\quad\dot\theta+H\theta=-\nabla^2\phi/a,\quad\nabla^2\phi=4\pi G a^2\bar\rho_m\delta
$$

这里 $\phi$ 是有速度平方单位的 Newton 势，满足 $\phi=c^2\Psi$ 的亚视界近似。

$$
\ddot\delta+2H\dot\delta-4\pi G\bar\rho_m\delta=0
$$

引力项促进增长，膨胀项抑制特殊运动。此式适用于亚视界的线性无压物质；辐射及其他显著聚集的成分需要同时求解。

## 完整算例：物质主导时增长有多快

取平直纯物质背景，此时 $a\propto t^{2/3}$、$H=2/(3t)$，Friedmann 方程给出 $4\pi G\bar\rho_m=2/(3t^2)$。试一个幂函数 $\delta\propto t^p$，每项都有相同时间幂，剩下关于指数的二次方程。

两个根分别是三分之二与负一。增长模随尺度因子增长，衰减模随时间倒数减小。在同一模型、纯增长模且始终线性的条件下，尺度因子加倍，原来千分之一的密度起伏变成千分之二。走到密度对比度接近一时，这套线性展开就需要更换。

$$
p(p-1)+\frac43p-\frac23=0\quad\Rightarrow\quad\delta_+\propto a,\quad\delta_-\propto t^{-1}
$$

把解析解代回原微分方程可逐项抵消。这提供了求解器应当满足的极限。

对应阅读：David Tong

## 有压强时，同一个波峰会反弹

把扰动拆成共动波数 $k$ 的正弦波，压强就给方程增加与 $c_s^2 k^2/a^2$ 成正比的恢复项。短波有更陡的压强梯度，容易振荡；长波更容易被引力拉大。这是 Jeans 判据的直观来源。

早期光子与重子紧密耦合，光子提供大部分压强，重子增加惯性。冷暗物质不承受这份光子压强，仍能形成引力势井。相同初始起伏，因成分不同而走出不同的演化；微波背景峰高因此能提供成分信息。下一章把这份恢复力写成一个振子。

对应阅读：David Tong · Hu & Sugiyama

## 动手检验预测

### [先用峰高识别压强与惯性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cmb-acoustic-peaks/)

1. 预测提高重子密度后，声速与相邻峰的相对高度会怎样改变。
2. 只改变重子密度，比较谱与固定参考。
3. 把谱的变化与光子压强、重子惯性联系起来；其他背景量也会随完整模型改变。

## 练习与解释性答案

1. 纯物质背景中，若含有增长模与衰减模，为什么很晚时通常只看见增长模？

   展开解释

   增长模随时间的三分之二次方增加，衰减模随时间倒数下降；只要增长模初始系数不为零，两者之比就持续增大。

2. 能否把亚视界无压增长方程直接用到辐射主导期的光子扰动？

   展开解释

   需要改用含压强、相对论引力和各成分耦合的扰动方程。光子的压强、引力势随时间的变化以及视界效应都可能改变结果。

[上一章：光走过膨胀的宇宙，距离该怎么算](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/expansion-distances/) [下一章：早期宇宙的声音为什么留下峰](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/acoustic-oscillations/)

## 来源与计算范围

1. [David Tong, Cosmology, Chapter 3](https://davidtong.org/teaching/cosmology/cosmohtml/S3)

   结构形成一章给出线性增长、压强支撑、转移函数与微波天空。本文无压增长的算例限于物质主导期、Hubble 尺度以内。

2. [Enrico Pajer, Cosmology, Part III course (2018–2019)](https://www.damtp.cam.ac.uk/user/ep551/cosmo.html)

   背景几何与宇宙学扰动的进阶课程入口。第二章另行定义本课程的 Newton 规范约定；此链接供继续学习，不表示完成该课程的数值复现。

3. [Hu & Sugiyama, Small-Scale Cosmological Perturbations: An Analytic Approach, arXiv:astro-ph/9510117v2 (1996)](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9510117v2)

   紧耦合声学过程与重子负载的解析来源。第三章的常势、常重子负载振子只是限定解析算例；交互谱使用冻结的 CAMB 计算。