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title: "沿着公开透镜数据读懂似然"
description: "从 ACT DR6 带功率推导条件振幅拟合，分清后验误差、响应不确定度和依赖先验的模型证据。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/lensing-likelihood/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmology/lensing-likelihood/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从宇宙膨胀走到天空推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/)

L3 · 第 7 章

# 沿着公开透镜数据读懂似然

Sandbox Physics · 2026-10-28

功率谱上的观测点，要配上理论和误差模型，才能变成参数测量。打开 Qu 等人的 arXiv:2304.05202v3，第九节第一小节的式四十五，再看 ACT DR6 透镜 v1.2 公开产品。沿着一个振幅算下去，就能看清每一步添了什么假设。其余宇宙学参数在这里保持固定。

## 开始前需要什么

角功率谱、协方差矩阵，以及概率密度和概率积分的区别。前面的章节已经逐步引入这些工具。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/observing-and-likelihood/)

- 从公开产品中找到观测向量、窗口矩阵和协方差。
- 保留观测箱之间的相关性，推导条件振幅拟合。
- 用归一化先验，分开讨论参数误差和模型证据。

## 先认出哪些数是观测

微波背景光子经过引力场，方向会有微小偏折。这些偏折在相邻方向上彼此相关，可以用来重建会聚场。会聚描述附近光线朝一起靠拢的程度，是无量纲量。ACT DR6 把它的功率谱按多极矩分箱，也公开了各箱误差之间的协方差。

在 NASA LAMBDA 的 ACT\_dr6\_likelihood\_v1.2.tgz 中，clkk\_bandpowers\_act.txt 存放带功率。从零开始编号，取第二行到第十一行；covmat\_act\_cmbmarg.txt 取相同的行和列。binning\_matrix\_act.txt 中对应的十个窗口覆盖四十至七百六十三阶多极矩。每个窗口把一段多极矩加权平均，图上的箱中心只是画点的位置。

这里选的是 ACT 单独测量、已对主微波背景不确定度做边缘化的协方差。遮罩、波束、滤波和重建偏置已经进入公开产品。浏览器直接拟合这些数。要查它们怎样得到，先看论文第五节第十一小节的协方差模拟，再看第九节第一小节的似然。

对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA

## 先选定谱形，再谈振幅

参考谱采用产品附带的 cosmo2017\_10K\_acc3\_lenspotentialCls.dat。第六列存放经过尺度化的透镜势功率谱，按公开软件的约定，乘以二倍圆周率再除以四，就得到会聚功率。接着用窗口矩阵分箱，得到十个参考值。算到这一步，功率均为无量纲量，不再另乘多极矩或角面积因子。

$t_b=\sum_LW_{bL}C_{L,\mathrm{fid}}^{\kappa\kappa}$ 是分箱后的参考谱；模型预测 $m_b=A_\kappa t_b$。这里的 $A_\kappa$ 只缩放固定会聚谱的功率。它和温度谱中改变峰平滑程度的现象学参数不同，也没有单独改变物质密度或暗能量状态方程。

论文图二十五以 Planck 2018 最佳拟合模型作参考，给出的振幅为一点零一三，误差为零点零二三。这里用了附带的 cosmo2017 参考谱，还固定了重建响应的宇宙学依赖。下面的数字回答的是这个条件问题。拿两者比较时，最该带上的信息就是参考谱和似然设置。

对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA · Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters

## 相关的误差要一起算

似然回答：如果振幅取这个值，眼前这组观测有多容易出现？式四十五把带功率误差近似成高斯分布。相邻箱一起偏高，可能本来就是一种常见的相关起伏；完整协方差决定它该算多大的意外。

把十个观测记作 $d$，公开协方差记作 $C$，修正后的精度矩阵写成 $P=hC^{-1}$。论文用七百九十二次模拟估计协方差，保留十个箱时，Hartlap 因子为 $h=780/791$。它修正有限模拟次数带来的逆协方差偏差。将振幅的二次式配方，就能直接读出最佳拟合与条件误差。

把冻结数组代入，振幅为零点九八四八四三，标准差为零点零二四九零四九，最小卡方为十三点六八六五。固定这个谱形，只拟合一个振幅，十个箱留下九个残差维度。Cholesky 求解和独立 NumPy 求解得到相同结果。若只保留协方差对角元，同一批偏差会被重新分配权重，拟合也随之改变。

$$
-2\log\mathcal L=(d-A_\kappa t)^\mathsf TP(d-A_\kappa t)+\mathrm{constant},\qquad h=\frac{N_s-n_b-2}{N_s-1}=\frac{780}{791}
$$

模拟次数为七百九十二，保留箱数为十；常数项不随振幅变化。

$$
\widehat A_\kappa=\frac{t^\mathsf TPd}{t^\mathsf TPt},\qquad\sigma_A^2=\frac1{t^\mathsf TPt}
$$

完整矩阵同时给观测和参考谱加权。这个误差以谱形和重建响应固定为条件。

对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA

## 把响应的不确定度积分掉

假设响应还有一个额外偏移，改变预测的方式恰好与信号振幅相同。给它一个均值为零的高斯分布，再把可能的偏移积分掉，这就叫边缘化。现在数据中的一部分起伏，也可能来自响应。

模型写成 $d=(A_\kappa+g)t+\epsilon$，其中 $g\sim\mathcal N(0,s_g^2)$，$\epsilon\sim\mathcal N(0,C/h)$，两者独立。积分后，有效协方差是 $\Sigma=C/h+s_g^2tt^\mathsf T$。新增项沿着振幅所改变的同一个方向，因此拟合中心不动，振幅方差增加 $s_g^2$。

例如，把额外响应标准差设成零点零八，振幅误差就从约零点零二四九增至零点零八三八。这个额外响应是教学假设，默认取零。ACT 已发表的不确定度已经在原协方差中；这里新增一项，是为了看清完全退化的干扰参数怎样拓宽误差。

对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA

## 参数估计和模型证据为什么分开变化

均匀先验在选定区间内给相同的概率密度，区间外取零。它乘上似然，再归一化，就得到后验。如果先验远比似然峰宽，继续放宽时，后验中心和区间几乎不动。证据却会变，因为它要在整个归一化先验上平均似然。

比较振幅自由的模型与振幅固定为一的模型。把先验半宽从零点二五放到零点八，对数证据比约下降一点一六，后验几乎原样保留。新纳入的振幅多数拟合较差，拉低了平均值。若把窄先验放在似然峰旁边，后验还会被先验边缘截住；那条区间就同时反映了观测与所选假设。

下次读另一份数据，先记下谱的定义、保留窗口、完整协方差、模拟修正和固定理论，再写清归一化先验与比较的两个模型。这几项齐全，别人才能重算那个振幅。天空重映射示意图用合成场解释偏折，ACT 实测点则单独留在数据图中。

$$
\pi(A_\kappa)=\frac1{2\Delta A}\;\text{inside the prior},\qquad Z_{\mathrm{free}}=\frac1{2\Delta A}\int_{a-\Delta A}^{a+\Delta A}\mathcal L(A_\kappa)\,dA_\kappa,\qquad B=\frac{Z_{\mathrm{free}}}{\mathcal L(1)}
$$

先验中心为 $a$，半宽为 $\Delta A$；两种模型使用相同的响应不确定度先验和协方差。

对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA

## 动手检验预测

### [让观测谱保持不动](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmology-likelihood-priors/)

1. 比较“数据决定宽度”和“先验放得更宽”，一起看后验区间与对数证据比。
2. 选“响应也不确定”，展开模型说明，增大额外振幅不确定度，和方差相加的例题比较。
3. 导出计算，先找出观测、参考谱、协方差、先验和来源校验值，再改动设置。

## 练习与解释性答案

1. 振幅的条件误差为零点零二四九，再加入标准差零点零八、与振幅完全退化的独立高斯响应偏移，误差变成多少？

   展开解释

   方差相加，得到 $\sqrt{0.0249^2+0.08^2}\simeq0.0838$。偏移均值为零，改变数据的方向又与振幅相同，拟合中心保持原值。

2. 宽均匀先验的半宽从零点二五增至零点八，两个区间都装得下几乎全部似然。对数证据怎样变？

   展开解释

   似然积分几乎不变，先验密度变成原来的三点二分之一，对数证据下降 $\log(3.2)\simeq1.16$。后验重新归一化后，形状几乎照旧。

3. 为什么不能把这里的零点九八四八四三，标成对论文图二十五 Planck 参考结果的数值复现？

   展开解释

   这里采用产品附带的 cosmo2017 参考谱，并固定重建响应。图二十五的 Planck 参考结果采用另一条固定谱和合作组的分析设置。振幅要连着参考谱和似然条件一起读。

[上一章：望远镜给天空添了什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/observing-and-likelihood/) [下一章：从天空图案推断暗成分，需要哪些条件](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/dark-components-and-models/)

## 来源与计算范围

1. [Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters, arXiv:1807.06209v4 (2021)](https://arxiv.org/html/1807.06209v4)

   第 2.2—2.3 节说明数据似然，第 3.1 节解释声学尺度；第 6.2 节与第 7.3—7.5 节分别讨论透镜平滑、曲率、暗能量和相对论粒子。论文发表于 A&A 641, A6（2020），这里固定带勘误的 v4。本课程不复现完整 Planck 似然或参数链。

2. [Qu et al., The Atacama Cosmology Telescope: A Measurement of the DR6 CMB Lensing Power Spectrum and Its Implications for Structure Growth, arXiv:2304.05202v3](https://arxiv.org/html/2304.05202v3)

   第 VIII.2 节与图 25 讨论固定模板的透镜振幅；第 IX.1 节式 (45) 给出高斯带功率似然。实验取公开带功率与协方差计算固定模板振幅切片，模板与省略项在模型文档中逐项说明。

3. [NASA LAMBDA, ACT DR6 lensing likelihood data](https://lambda.gsfc.nasa.gov/product/act/actadv_dr6_lensing_lh_info.html)

   冻结的 ACT DR6 公开透镜产品。数据清单记录版本、原文件名、分箱、模板、协方差、校验值与引用要求。实验额外加入的定标不确定度是明确选择的教学扩展。