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title: "光走过膨胀的宇宙，距离该怎么算"
description: "从红移推到距离积分，分清光度距离、角直径距离与视界，并用解析宇宙检验计算。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmology/expansion-distances/"
last_modified: "2026-10-28"
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[从宇宙膨胀走到天空推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/)

L1 · 第 1 章

# 光走过膨胀的宇宙，距离该怎么算

Sandbox Physics · 2026-10-28

宇宙膨胀时，光的波长也随之拉长。红移告诉我们发光时的尺度；要知道光源离我们多远，还得知道光在怎样的膨胀历史中走到这里。把这两件事分开，距离公式就有了来由。

## 开始前需要什么

会读函数图像，知道速度乘时间得到距离即可。积分表示把很多小段路程相加；导数表示某一刻的变化率。这里先假设空间平直，并略去星系自身运动。

- 从尺度因子理解红移。
- 区分两种常用距离与共动距离。
- 用一个能手算的背景检验数值积分。

## 先给随膨胀漂走的位置编号

把跟随平均膨胀的星系标在固定坐标上，坐标之间的间距叫共动距离。实际距离还要乘尺度因子 $a(t)$。约定今天的尺度因子为一；过去的尺度因子较小，同样一段共动距离当时占据的实际长度也较短。

光的相邻波峰也被拉开。若发出时波长为 $\lambda_{\rm em}$，接收时为 $\lambda_{\rm obs}$，红移就是波长增加的相对量。看到红移为一的光，表示宇宙在它发出后把长度尺度放大了两倍。

$$
1+z=\frac{\lambda_{\rm obs}}{\lambda_{\rm em}}=\frac{1}{a_{\rm em}},\qquad H=\frac{\dot a}{a}
$$

红移与尺度因子无量纲。Hubble 参数表示每单位长度的膨胀速率，量纲为时间的倒数。

对应阅读：David Tong · Pantheon+ public data release

## 一小段光路怎样累加成距离

光每走过一小段时间，实际路程增加光速乘这段时间。换成共动长度，要再除以当时的尺度因子。由红移与尺度因子的关系，可把时间积分改写成红移积分。平直宇宙的径向共动距离记为 $\chi$，横向共动距离 $D_M$ 在这里与它相同。

观测亮度时，膨胀又做了两件事：每个光子能量降低，光子到达的间隔也拉长。把这些影响连同球面扩散吸收入距离，就得到光度距离。观测角大小时，我们需要光发出那一刻的实际横向长度，于是得到角直径距离。

$$
\chi(z)=c\int_0^z\frac{dz'}{H(z')},\quad D_L=(1+z)\chi,\quad D_A=\frac{\chi}{1+z}
$$

距离均可用百万秒差距表示。关系 $D_L=(1+z)^2D_A$ 假设光沿度规的零测地线传播，且光子数守恒。弯曲空间需要另算横向共动距离。

观测者 光源

光从右侧光源走到左侧；膨胀史决定这段共动距离。

$$
D_L=(1+z)\chi,\quad D_A=\chi/(1+z)
$$

平直空间示意。光度距离描述亮度，角直径距离描述视大小。

对应阅读：David Tong · Pantheon+ public data release

## 宇宙成分怎样进入膨胀史

物质被稀释到三维体积中，密度随尺度因子的三次方下降。辐射除了被稀释，每个光子的能量也随膨胀降低，因此多一个因子。宇宙学常数的能量密度保持不变。把这些分量放进 Friedmann 方程，就能计算光路积分。

用 $\Omega_i$ 表示各分量今天的密度与临界密度之比。在平直、含物质、辐射及常状态方程暗能量的背景中，暗能量的压强与能量密度之比记为 $w$。宇宙学常数对应 $w=-1$。这里的公式只算均匀背景；暗能量的扰动还需要另给模型。

$$
\frac{H^2(z)}{H_0^2}=\Omega_r(1+z)^4+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_{\rm de}(1+z)^{3(1+w)}
$$

平直条件给出 $\Omega_r+\Omega_m+\Omega_{\rm de}=1$。微波背景时代的积分必须保留辐射；低红移超新星算例可以采用忽略辐射的近似。

对应阅读：David Tong · Pantheon+ public data release

## 完整算例：纯物质宇宙

先用一个理想背景检验计算。取平直、纯无压物质宇宙，今天 $H_0=70\;\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$。此时膨胀函数只剩红移加一的三次方开根号。它的倒数可以直接积分，省去了数值方法。

对红移为一的光源，共动距离约为 $2509\;\mathrm{Mpc}$，光度距离约为 $5018\;\mathrm{Mpc}$，角直径距离约为 $1254\;\mathrm{Mpc}$。三个数描述同一个光源，各自回答不同的观测问题。若程序把它们算成同一个值，距离定义就用错了。

$$
\chi(z)=\frac{2c}{H_0}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right]
$$

把纯物质背景代入距离积分即可得到这个解析式。它也是已有超新星距离模型的独立检验。

## 视界是光来得及走过的范围

到某个红移的距离只积到那个光源发出时。粒子视界则从宇宙早期一直积到今天，问的是信号最多来得及跨过多少共动距离：$\chi_{\rm hor}=c\int_0^{t_0}dt/a(t)$。上限和下限改变了，问题也改变了。

声音在早期光子与重子组成的流体中传播得更慢。把光速换成随时间改变的声速，并把积分停在末次散射，就得到声视界。下一步会用这把早期尺子测天空中的角度。

## 动手检验预测

### [在真实超新星中看距离曲线](https://sandboxphysics.com/zh/labs/supernova-distance-expansion/)

1. 先切换到“膨胀形状”，再比较高红移与低红移观测，预测哪一端更容易区分膨胀史。
2. 改变物质密度，观察距离曲线与残差，再启用拟合。
3. 注意自由亮度零点如何吸收绝对标定；这组子样本给出相对距离信息。

## 练习与解释性答案

1. 红移为二时，发光时尺度因子是多少？光度距离是角直径距离的几倍？

   展开解释

   尺度因子为三分之一。距离之比为 $(1+z)^2=9$，因为亮度与角大小包含不同的红移因子。

2. 只把 Hubble 常数增大一成，固定其余密度比例与红移，距离怎样改变？

   展开解释

   整个膨胀函数同比例放大，距离积分缩为原来的十一分之十，约缩短百分之九点一。若超新星绝对亮度零点自由，这个整体缩放会被零点吸收。

[下一章：微小起伏怎样长成结构](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/linear-perturbations/)

## 来源与计算范围

1. [David Tong, Cosmology, Chapter 1](https://davidtong.org/teaching/cosmology/cosmohtml/S1)

   第 1.1.3—1.1.5 节与第 1.2—1.3 节讨论红移、距离、视界与流体背景。课程例题明确采用平直模型；超新星的低红移模型忽略辐射。

2. [Pantheon+ public data release](https://github.com/PantheonPlusSH0ES/DataRelease)

   已有距离实验采用四十颗 Pantheon+ 超新星及相应统计与系统误差协方差子矩阵。自由亮度零点吸收绝对距离标定，这组数据不测量 Hubble 常数。