---
title: "早期宇宙的声音为什么留下峰"
description: "从紧耦合流体的恢复力推到声视界，算清重子怎样改变振荡，再解释声学峰为何近似等间隔。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/acoustic-oscillations/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmology/acoustic-oscillations/"
last_modified: "2026-10-28"
---

[从宇宙膨胀走到天空推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/)

L2 · 第 3 章

# 早期宇宙的声音为什么留下峰

Sandbox Physics · 2026-10-28

复合以前，光子把重子推回较稀的地方，引力又把它们拉进势井。一次次压缩与反弹形成声波。不同波长在末次散射时走到不同阶段，接近压缩或稀疏极值的模式，在天空功率谱中留下峰。

## 开始前需要什么

先读第二章的压强与引力。需要正弦、余弦和二阶导数；先把重子负载与引力势看成常量，随后再恢复真实宇宙中的变化。

[回看上一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/linear-perturbations/)

- 解释光子压强与重子惯性各做什么。
- 推导一个有引力偏移的声学振子。
- 区分声学尺度与第一温度峰的位置。

## 光子推，重子增加惯性

电子频繁散射光子，电子与原子核又靠电相互作用保持联系。在紧耦合近似下，光子和重子几乎共同运动。光子压强提供恢复力；重子质量让流体更难加速。用重子与光子密度的比值 $R=3\rho_b/(4\rho_\gamma)$ 量化这份额外惯性。两种密度都用能量除以物理体积表示。

声速为 $c_s=c/\sqrt{3(1+R)}$。重子越多，声速越低。真实宇宙里重子密度与光子密度的稀释速度不同，$R$ 随膨胀增大，因而声音每个时期走过的距离都不同。

$$
r_s(z_*)=\int_0^{\eta_*}c_s(\eta)\,d\eta
$$

声视界是末次散射前声音累计走过的共动距离。这里共形时间保留时间单位，声速保留长度除时间的单位。

对应阅读：Hu & Sugiyama

## 完整算例：势井中的一个振子

令光子温度单极扰动为 $\Theta_0=\delta T/T$，取第二章的时间势 $\Psi$。在光速为一、势不随时间变、重子负载固定且忽略流体摩擦项的近似下，压缩模式满足下面的受迫振子方程。撇号表示对共形时间求导。

观测温度还包括从势井爬出来的引力红移，先定义 $X=\Theta_0+\Psi$。把势能造成的常量偏移移到左侧，方程就变成绕新平衡点振荡的普通余弦；初始速度取零。

$$
\Theta_0''+k^2c_s^2\Theta_0=-\frac{k^2}{3}\Psi,\qquad X''+k^2c_s^2(X+R\Psi)=0
$$

此处声速以光速为单位。常势、常负载是为了单独读出平衡点的移动。

$$
X(\eta)+R\Psi=[X(0)+R\Psi]\cos(k r_s)
$$

初始导数为零时的解。重子把有效温度的平衡点移到负的重子负载乘时间势处。

对应阅读：Hu & Sugiyama

## 算一对压缩与稀疏的极值

取一个固定势井，令 $\Psi=-10^{-5}$、$R=1/2$，指定初始有效温度 $X(0)=\Psi/3$，初始速度为零。势井中的时间势为负，而重子让平衡点移到正的有效温度。把这些数代入余弦解，得到下面的无量纲表达式。

声波走过半个周期、$kr_s=\pi$ 时，$X=(4/3)\times10^{-5}$；再过半个周期，$X=-(1/3)\times10^{-5}$。两个极值的绝对值相差四倍，显示平衡点偏移怎样改变两端振幅。真实温度峰还要合并速度、引力驱动与投影，下一节再把它们放回来。

$$
\frac{X}{10^{-5}}=\frac12-\frac56\cos(kr_s)
$$

这组给定初值的限定振子算例，把平衡点移动与振幅改变分别算清。

## 重子让压缩和稀疏不再对称

没有重子负载时，$X$ 绕零振荡，压缩与稀疏两端对称。加上重子，振荡中心移开零点，势井中的压缩更深。在通常的绝热初始条件下，这会提高温度谱中压缩峰相对于稀疏峰的高度，常说的奇偶峰差异由此而来。

完整温度谱还含速度造成的 Doppler 项、势的时间演化和光子扩散。提高重子密度也会改变复合、声速与声视界。实际参数比较因此要用完整计算，不能只按余弦峰高缩放一张图。固定 CAMB 网格保留了这些同时发生的变化。

对应阅读：CAMB source and documentation · Hu & Sugiyama

## 用声视界估算峰间距

到末次散射时，一组模式满足 $k r_s\simeq n\pi$，刚好走到振荡极值。投到天空以后，它们大致对应 $\ell\simeq kD_M$。把两步合起来，得到相邻声学峰的近似间距。

用教学算例 $r_s=144\;\mathrm{Mpc}$、$D_M=14000\;\mathrm{Mpc}$，张角约为 $0.0103\;\mathrm{rad}$，声学多极尺度约为 $\ell_A=305$。这估计的是峰间距的主要尺度。第一温度峰的位置则要把引力驱动、相位移动与投影一起算进去。

$$
\theta_* = \frac{r_s}{D_M},\qquad \ell_A=\frac{\pi}{\theta_*},\qquad \Delta\ell\approx\ell_A
$$

两个长度都用共动量。下一章从三维波数到球面角谱的积分，说明近似在哪里变得粗糙。

观测者 相同的共动声视界

到尺子的共动距离向右增加 →

$$
\theta_* = r_s(z_*) / D_M(z_*)
$$

几何示意，两个长度均为共动长度。温度峰还带有相位移动与投影效应。

## 动手检验预测

### [把压缩图景与 Boltzmann 谱放在一起](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cmb-acoustic-peaks/)

1. 先看参考预设，找出前三个峰，预测增加重子密度后哪一类峰相对增强。
2. 改变重子密度并比较固定参考谱。
3. 再改晚期膨胀参数，区分峰高的改变与峰列整体移动。

## 练习与解释性答案

1. 声视界保持不变，而到末次散射的横向共动距离增加一成，声学角尺度与多极尺度怎样变化？

   展开解释

   张角缩为原来的十一分之十，多极尺度增加一成。相同物理模式显得更小，落到更高的多极。

2. 为什么只知道峰的位置，还不足以唯一确定重子密度和晚期膨胀？

   展开解释

   峰位置主要给出声视界与横向距离的比。多种参数组合能保持这个比接近；还需要相对峰高、阻尼、偏振、透镜或外部距离信息。

[上一章：微小起伏怎样长成结构](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/linear-perturbations/) [下一章：三维声波怎样变成天空的角谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/transfer-and-degeneracy/)

## 来源与计算范围

1. [Hu & Sugiyama, Small-Scale Cosmological Perturbations: An Analytic Approach, arXiv:astro-ph/9510117v2 (1996)](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9510117v2)

   紧耦合声学过程与重子负载的解析来源。第三章的常势、常重子负载振子只是限定解析算例；交互谱使用冻结的 CAMB 计算。

2. [CAMB source and documentation](https://github.com/cmbant/CAMB/tree/1.6.6)

   声学网格脚本固定 CAMB 1.6.6，保存宇宙学设置，并在网格外节点检查插值。浏览器读取固定网格，不现场求解 Boltzmann 层级。