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title: "同一位置，为什么会有几种速度"
description: "沿一张物质标签地图找到第一次折叠，算出密度怎样升高，再用正质量与速度分开穿越后的几股流。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-web/when-one-position-has-several-velocities/"
last_modified: "2026-11-12"
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[从小起伏到宇宙蛛网](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/)

从小起伏到宇宙蛛网 · L2

# 同一位置，为什么会有几种速度

Sandbox Physics · 2026-11-12

壳层穿越以后，不同物质标签可以来到同一位置，各自带着不同速度。位置到来源的对应不再唯一；继续数质量时，要把每股流的正贡献加起来。

## 开始前需要什么

先读《用一把随宇宙伸长的尺量运动》。需要知道函数与导数：导数在这里量一小段标签间隔被拉长或压短了多少。

## 画一张认得出物质的地图

先只沿一个方向压缩，另外两个方向保持均匀。用$q$标记均匀参考位置，用$y(q,a)$表示后来在共动盒里的位置。标签跟着物质走；实际起算时，位置已经是$q+a_i s(q)$，并不等于尚未位移的标签。

在平直纯物质背景里，Zel’dovich增长因子取$a$。选择一条正弦位移，把最强压缩放在盒心，振幅记作$A$。下面的正号包含了这项相位选择。

$$
y(q,a)=q+\frac{aA}{2\pi}\sin(2\pi q),\qquad 0\leq q<1
$$

位置和标签都按盒长归一化。相同标签在不同时刻仍代表同一份质量；这里只研究平面运动的那一个方向。

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 一小段标签，挤进多长的空间

取相邻两层，标签间隔为$dq$。后来它们的间隔约为$dy=J\,dq$，其中$J=\partial y/\partial q$。这个局部长度比例叫Jacobian；三维时，它推广成体积比例的行列式。

穿越前$J$处处为正。一小段参考质量不变，长度若只剩原来的四分之一，密度就是平均值的四倍。在平面模型里，横向体积比例不变，因此只需要这一项长度比例。

$$
J=1+aA\cos(2\pi q),\qquad\frac{\rho}{\bar\rho}=\frac1J\quad\text{before crossing}
$$

平均密度已经包含整个宇宙的体积膨胀。这个比值量的是相对于同一时刻平均密度的额外压缩。

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations

## 完整算出第一次折叠

取$A=1.8$。盒心标签$q=0.5$处，余弦为负一，压缩比例是$J=1-aA$。在$a=0.4$时，$J=1-0.4\times1.8=0.28$，因此该位置的位移参考密度约为平均值的$3.57$倍。

第一次达到$J=0$的时刻是$a_c=1/A=5/9\simeq0.556$。标签地图在这里变平；再往后，它出现向后折的部分。图的左侧画的是这张位移参考地图，右侧另看自有无碰撞计算在穿越后的粒子速度。

连续、初始速度完全冷的理想模型在$J=0$处出现密度奇点。奇点表示局部体积比趋于零，并没有创造额外质量。有限的初始速度分散或有限体积平均，都能把这个峰展宽。

$$
\left.\frac{\rho}{\bar\rho}\right|_{q=1/2,a=0.4}=\frac1{1-1.8\times0.4}=\frac1{0.28}\simeq3.57
$$

这个数属于穿越前的解析位移参考。有限网格求出的峰值还受质量沉积和力分辨率影响。

![解析平面位移映射的折叠，以及独立片层与PM的相空间比较](https://sandboxphysics.com/_astro/fold.yzJsJpcs.svg)

左/上：$A=1.8$的解析ZA映射，三条线各有自己的时刻。右/下：第二阶段实际验收的PM与独立周期片层，同在$a=1$，纵轴为特殊速度。PM每轴$16$粒子与节点，力有有限截断；参考采用$128$张无穷薄平面片层。保留两者的力分辨率与采样差异。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/fold.yzJsJpcs.svg)

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 反查来源，开始有三个答案

把尺度因子继续增到$a=0.8$，仍用同一条参考地图。穿过盒心位置的一条水平线，可以和折叠曲线相交三次。于是同一个$y$对应三个不同的$q$。从标签算位置仍很明确，从位置反查标签却不再唯一。

这三层物质也不是同速的。靠左出发的一层可以向右走，靠右的一层向左走，中间的一层因对称而停在中心。只画位置会把它们重叠；位置—速度图会把三股流分开。

地图中间一段的$J$变成负数，只表示标签的空间次序反了。质量没有负号。把同一位置上的所有分支找出来，每股流都按其局部体积的绝对大小贡献密度。

$$
\frac{\rho(y)}{\bar\rho}=\sum_{q_s:\,y(q_s)=y}\frac1{|J(q_s)|}
$$

求和遍历到达此位置的全部流；均匀参考标签携带等质量。若只取某个负Jacobian的倒数，会把取向翻转误写成负密度。

对应阅读：Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 从折叠地图，走到穿越后的引力

地图继续折叠，仍能说明几股流怎样重叠。真正沿着后来运动走下去，引力还要回应新的密度：各股物质互相吸引，速度会继续改变。独立周期片层参考用排序后的质量直接求力，网格演化则把质量分配给有限节点。

图中穿越后的对照都取$a=1$、同一正弦初值，比较每轴$16$格的三维PM平面与$128$片无软化参考。把两组物质按累计质量从左到右对应，再平均其位置差，就得到这里的质量分位距离。粒子采样与网格一起细化到每轴$32$后，它从约$0.0176L$降到$0.00860L$；这是质量采样和力分辨率共同细化的结果。

这里最重要的变化，是一个位置再也不能只配一个速度。粒子标签和正质量让多股流可以继续被追踪；下一篇再看有限网格怎样从这些位置算出引力。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 练习与解释性答案

1. 把振幅从$A=1.8$改为$A=0.9$，这条位移参考的首穿越尺度因子怎样变？

   展开解释

   $a_c=1/A$，因此从$5/9$变为$10/9$，加倍。初始起伏较小，需要更大的增长因子才会挤到同样的折叠。

2. 穿越后，某一分支的$J=-0.4$。它对密度的贡献是多少？

   展开解释

   均匀参考标签下是$1/|J|=2.5$倍均密度的贡献。若还有其他分支，继续加上它们的正贡献；符号只记录该分支的取向。

3. 若首穿越附近满足$y-y_c\propto(q-q_c)^3$，密度随到中心的距离怎样变化？

   展开解释

   求导得$J\propto(q-q_c)^2$。又有$|q-q_c|\propto|y-y_c|^{1/3}$，代回倒数可得$\rho\propto|y-y_c|^{-2/3}$。这是给定的首穿越局部三次模型，不能把指数套到每一种后来形成的折叠。

## 动手检验预测

### [把重叠的位置按速度分开](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-web-shell-crossing/)

1. 选“一张片的折叠”，先用位移参考预测首折叠约在$a=0.556$，再检查PM金线的实际次序，记录它们是否落在同一帧。
2. 拖动到穿越以后，在外部的位置—速度图里找接近同一位置、速度却不同的点。
3. 转动盒子确认物质层的方向，再对照位移参考；说明物质穿越与穿过周期盒面有什么区别。

[上一篇：用一把随宇宙伸长的尺量运动](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/coordinates-that-expand-with-the-universe/) [下一篇：网格怎样跟着折叠的物质求引力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/how-mesh-gravity-follows-the-fold/)

## 来源与计算范围

1. [Zel’dovich (1970), Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations](https://www.giss.nasa.gov/staff/mway/cluster/zeldovich.pdf)

   核读原文全部六页，区分原记号的物理位移、现代共动增长与正则动量。使用首穿越前的映射；原文气体激波讨论没有套到无碰撞物质上。论文保留外链。

2. [Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0505010v1)

   定向核读第2.1节式1至3、第3.2及3.2.1节式20至23、第4.1节式26至31，查看原PDF第3和11页。用于宇宙学动量、PM窗口与积分方法背景。教学模型另行规定截断和有限梯度，没有短程树力。

3. [Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay](https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-web/materials/cosmic-web-replay-v1.zip)

   自有已验收核/线性、非线性及五预设双精度计算用于课程图与校准。公开小ZIP仅含一份精确小波当前状态、独立NumPy/SciPy轨迹复算及预期结果。示例由Node执行冻结模型和规范序列化函数产生，不冒充浏览器下载。大型原始预设另行留存，包内没有Engine或原论文。