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title: "功率记住了增长，也丢掉了什么"
description: "从粒子相位求和算出长波功率，检验EdS增长，再看相同功率为什么能对应不同的空间图案。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/what-a-power-spectrum-remembers/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-web/what-a-power-spectrum-remembers/"
last_modified: "2026-11-12"
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[从小起伏到宇宙蛛网](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/)

从小起伏到宇宙蛛网 · L3

# 功率记住了增长，也丢掉了什么

Sandbox Physics · 2026-11-12

功率告诉我们某种尺度上的起伏有多强，却不保留各条波怎样对齐。它适合检验增长，也会把空间上不同的图案压成相同的数。

## 开始前需要什么

先读共动坐标和网格求力两章。需要正弦、余弦与平方；复数在这里用来同时保存一条波的两个相位分量。

## 把一颗粒子变成圆上的一个方向

想沿盒子的一条轴找最长的一条波。让每颗粒子的共动位置在单位圆上转一圈，再把所有方向平均。若粒子均匀铺满，各个方向会互相抵消；若偏向波的某些位置，便留下一个有长度、有方向的箭头。箭头的长度表示振幅，方向记录相位。

对三维整数波矢$\boldsymbol n$，用下面的复指数把两个分量写在一起。这里质量相等，因而每颗粒子权重相同。只取非零模式：平均密度已经是背景。

$$
\delta_{\boldsymbol n}=\frac{1}{N_p}\sum_{p=1}^{N_p}\exp(-2\pi i\boldsymbol n\cdot\boldsymbol y_p),\qquad \boldsymbol n\ne\boldsymbol0
$$

实部是余弦的平均，虚部是负正弦的平均。盒面相差一个整数周期，因此显示时绕回盒内不会改变这个量。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

## 平方以后，方向消失了

把箭头长度平方，再乘共动盒体积，就是本课程对单个离散模式定义的功率。它有体积单位。盒长用Mpc时，功率用$\mathrm{Mpc}^3$，而非物理体积随膨胀再乘一次尺度因子。

通常的宇宙学功率谱还会把波数大小接近、方向不同的许多模式平均，甚至讨论不同初始样本的统计期望。本Lab只追踪少数明确指定的模式，不能把它的一颗低波数读数当作精密测量的整条各向同性功率谱。

$$
P_{\boldsymbol n}=L^3|\delta_{\boldsymbol n}|^2,\qquad k_{\boldsymbol n}=\frac{2\pi|\boldsymbol n|}{L}
$$

下标标识一个周期模式。与文献比较前，先看体积归一化、长度单位及模式平均的定义。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

## 同样两份功率，可以长得不一样

在一维周期坐标中叠加两条小波：第一条绕盒一圈，第二条绕两圈。把第二条的正负翻转，等于只把它的相位挪半圈。每条波的振幅都没变，波峰之间怎样相遇却变了。

下图是自己构造的连续密度例子，不是某次PM输出。两幅密度都为正；它们的两个模式功率各为$20\,\mathrm{Mpc}^3$，空间图案却不同。只有这些功率，无法把原来的图像唯一拼回来。

$$
\delta_+(y)=0.1\cos(2\pi y)+0.1\cos(4\pi y),\qquad \delta_-(y)=0.1\cos(2\pi y)-0.1\cos(4\pi y)
$$

盒长取$20\,\mathrm{Mpc}$。两个正整数模式的复振幅模长都是$0.05$，所以各自的功率为$20^3(0.05)^2=20\,\mathrm{Mpc}^3$。

![两幅不同的正密度图案，各自两个Fourier模式却有相同功率](https://sandboxphysics.com/_astro/power.C53x2_P7.svg)

自有解析算例，只翻转第二条波的符号。密度曲线不同，$L=20\,\mathrm{Mpc}$时两个例子的$n=1$、$n=2$功率却都为$20\,\mathrm{Mpc}^3$。等功率标记在同一整数模式重叠；它不是PM输出或论文图数字化。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/power.C53x2_P7.svg)

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

## 在线性增长里，功率长得比振幅快

EdS背景中，足够小的纯增长密度扰动与尺度因子成正比。功率是振幅平方，因此增长比取尺度因子比的平方。密度已经严重非线性时，波与波之间会重新分配功率，这条简单规律便失去适用条件。

先算解析小波，而不是从动画估数。令平面波的初值参数$A=0.01$，从$a_i=0.05$走到$a_f=1$。一阶密度是$\delta\simeq aA\cos(2\pi y)$，所以最长模式的初、末功率分别约为$0.0005$与$0.2\,\mathrm{Mpc}^3$，增长比为$400$。

固定网格也会留下系统差异。已保存的独立校准采用每轴16格、256步；其实际功率增长比比EdS的$400$低约$0.2814\%$。增加时间步数不能自动消掉这个空间算子的偏差。每轴8格与32格的同类检查分别低约$4.115\%$和$0.02538\%$；这里粒子与网格一起细化，三组都使用同一个连续小波初值。

$$
\frac{P(a_f)}{P(a_i)}\simeq\left(\frac{a_f}{a_i}\right)^2
$$

这是小扰动、纯增长模的EdS参照。上述256步校准与Lab的1024步原生记录是不同的计算，下一篇将从实际导出时刻重算。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

## 安静的点阵，不是随机撒点

把四颗等质量粒子放在周期区间的四个四等分位置，最长模式的四个方向会精确抵消。它们很离散，功率却可以为零。离散不等于Poisson随机采样。

随机独立撒点时，平均会留下由有限样本造成的散粒噪声。TNG聚类论文在其统计测量中讨论相应扣除，也明确提醒冷而有序的粒子分布可能低于Poisson噪声。本课程的小波来自规则半格点阵，因此不机械扣掉体积除以粒子数；那样甚至会把本应为零的模式扣成负值。

同样要分清求力和测量。网格窗口参与求引力，功率读数则直接对粒子位置求和。把显示密度图再做FFT，会引入另一次窗口与混叠，得到的是另一种估计器。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2

## 练习与解释性答案

1. 在线性范围，把同一个初值的振幅增大两倍，给定时刻的功率怎样变？

   展开解释

   复振幅增大两倍，功率增大四倍。若已经进入非线性区，不能把这个推断直接延伸到所有后期模式。

2. 把所有粒子整体平移$L/4$，功率会改变吗？空间图案会改变吗？

   展开解释

   整体平移只转动各模式的复相位，模长不变，所以功率不变。图案在盒中的位置变了，各模式之间的相位关系仍按同一平移一致变化。

3. 若半格点阵某模式的原始功率为零，能否照搬$L^3/N_p$去扣噪声？

   展开解释

   不能。这个规则点阵没有满足独立随机采样假设。扣除会给出负数，暴露的是估计器假设不适用，而不是负的密度方差。

## 动手检验预测

### [用完整精度检验一条小波](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-web-shell-crossing/)

1. 选“一张片的折叠”，把振幅调到最小$A=0.02$。先预测早期最长模式的功率比。
2. 暂停在一个已保存的时刻，导出当前JSON，保留实际尺度因子。不要靠界面三位有效数字去估计千分量级差异。
3. 接着做下一篇的独立复算，比较相同初值、相同时刻的PM功率与EdS参照。

[上一篇：网格怎样跟着折叠的物质求引力](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/how-mesh-gravity-follows-the-fold/) [下一篇：把导出的初值，交给另一个积分器](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/rerun-an-export-and-measure-growth/)

## 来源与计算范围

1. [Springel et al., First results from IllustrisTNG: matter and galaxy clustering (2018), arXiv:1707.03397v2](https://arxiv.org/abs/1707.03397v2)

   固定v2，核读方法第2.1至2.2节与原图5至7。图6比较分辨率，图7比较全物理与DMO功率，响应坐标使用自然对数。第2.2节讨论有序粒子的散粒噪声限制。这里只读原方法与图，没有重跑TNG或下载快照。

2. [Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay](https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-web/materials/cosmic-web-replay-v1.zip)

   自有已验收核/线性、非线性及五预设双精度计算用于课程图与校准。公开小ZIP仅含一份精确小波当前状态、独立NumPy/SciPy轨迹复算及预期结果。示例由Node执行冻结模型和规范序列化函数产生，不冒充浏览器下载。大型原始预设另行留存，包内没有Engine或原论文。