---
title: "网格怎样跟着折叠的物质求引力"
description: "从质量分配走到Fourier求势和对称时间推进，逐步说明有限网格保留了哪些力、又平滑了哪些结构。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/how-mesh-gravity-follows-the-fold/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-web/how-mesh-gravity-follows-the-fold/"
last_modified: "2026-11-12"
---

[从小起伏到宇宙蛛网](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/)

从小起伏到宇宙蛛网 · L2

# 网格怎样跟着折叠的物质求引力

Sandbox Physics · 2026-11-12

粒子网格方法先把当前质量分配到节点，求出这份密度对应的引力，再把力取回粒子位置。每走一小段都重做一次，穿越后的新密度便能继续改变运动。

## 开始前需要什么

先读坐标与壳层穿越两章。需要正弦波、导数和求和；Fourier分解在这里指把周期分布拆成不同波长、方向和相位的波。

## 粒子在节点之间，也能分清质量

若只把质量塞给最近节点，粒子刚越过半格，节点里的质量就会突然跳变。CIC把一颗粒子的质量按距离分给相邻节点：在一维是两处，在三维是八个角点。粒子仍留在原位置，分配的是求场用的权重。

把相邻两节点之间的分数位置记为$f$，它从零到一。左、右权重分别是$1-f$和$f$。例如质量为一个单位、位置在四分之一路程处，两个节点分别获得$0.75$与$0.25$个质量单位。

$$
w_0=1-f,\qquad w_1=f,\qquad w_0+w_1=1
$$

权重非负且和为一。三维权重由三个方向的这类权重相乘，因此八个角点的和仍是一。

![粒子处在四分之一和五分之四格位置时的CIC质量权重](https://sandboxphysics.com/_astro/mesh.B9WW-ZDl.svg)

自绘分配示意。白点是一颗粒子，彩色圆为分到节点的质量；箭头表示求场权重，不表示粒子运动。分数位置分别为$0.25$与$0.8$，每组左右权重合计一。 [查看完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/mesh.B9WW-ZDl.svg)

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 先保住质量，再扣掉平均背景

设每轴有$N_g$个节点，盒内有$N_p$个等质量粒子。节点$g$分到的粒子权重记为$w_{gp}$。用一个网格体积来归一化，得到节点密度与同一时刻均密度之比。

把所有节点的质量加起来，应当恰好回到原来的总质量。先检查这一步，再定义密度对比度$\delta=\rho/\bar\rho-1$。若先把结果强行重新归一化，就会藏起周期面上漏分配的质量。

$$
\frac{\rho_g}{\bar\rho}=\frac{N_g^3}{N_p}\sum_p w_{gp},\qquad\sum_gw_{gp}=1
$$

物理网格体积和平均密度中都有相同的膨胀因子，取比以后抵消。盒内总质量不随尺度因子改变。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

## 每一条波，都有对应的势

周期密度可以拆成整数波矢$\boldsymbol n$的波。其无量纲波数是$\boldsymbol k_y=2\pi\boldsymbol n$；有长度单位的共动波数则是$\boldsymbol k=2\pi\boldsymbol n/L$。整盒恒定的分量是零模式，均匀背景已经决定整体膨胀。

坐标篇使用的缩放势$U$满足$\nabla_y^2U=3\delta/2$。对单个Fourier波，空间二阶导数给出负的波数平方，因此可以逐波解出势。实际沉积会平滑波形，CIC回收力又带来一次平滑；这里对这两次平均窗口作显式修正。

定义$\operatorname{sinc}x=\sin x/x$，零点取连续极限一。窗口$W_{\boldsymbol n}$和保留范围写在下式。FFT只是快速完成离散变换的方法；保留哪些波仍由网格和截断决定。

$$
W_{\boldsymbol n}=\prod_{j=1}^3\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi n_j}{N_g}\right),\qquad U_{\boldsymbol n}=-\frac{3\delta_{\boldsymbol n}}{2|\boldsymbol k_y|^2W_{\boldsymbol n}^2}
$$

此式用于非零且$|\boldsymbol n|\leq N_g/3$的模式；其他模式及零模式的势设为零。这个低通网格力仍有离散误差。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 把势的坡度取回粒子位置

变换回网格以后，力沿势下降的方向。这里对每条轴使用四点中心差分，网格间距$h=1/N_g$按无量纲坐标量；再用与沉积相同的CIC权重，把节点力取回当前粒子位置。

以$N_g=16$、$L=20\,\mathrm{Mpc}$为例，节点间距是$1.25\,\mathrm{Mpc}$共动长度，Fourier截断还会进一步限制短波。粒子可以挤到很小的间隔，求力却仍是这个较粗的模型。密集小点的内部细节因此需要另外的分辨率研究。

$$
(\partial_jU)_i\simeq\frac{8(U_{i+1}-U_{i-1})-(U_{i+2}-U_{i-2})}{12h}
$$

求势采用Fourier波数，求梯度采用这一离散差分；两者共同定义实际算子。这个受限PM没有叠加GADGET-2的短程树力。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 先推一下，再移动，再推一下

受力先改变动量，动量再推进位置。对称的kick–drift–kick方法在一步中先用旧位置的力更新一部分动量，再移动位置、重求引力，最后完成另一部分动量更新。

从$a_0$走到$a_1$，中点取$a_m=\sqrt{a_0a_1}$，与对数尺度因子的等间隔一致。由于背景是EdS，位置和动量方程中的尺度因子可以直接积分。把两个因子记作$\mathcal D$与$\mathcal K$，以免和密度增长因子混淆。

$$
\mathcal D(a_0,a_1)=2(a_0^{-1/2}-a_1^{-1/2}),\qquad\mathcal K(a_0,a_1)=2(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_0})
$$

它们分别来自对尺度因子积分位置方程与动量方程。两者都无量纲。

$$
\boldsymbol u_h=\boldsymbol u_0+\mathcal K(a_0,a_m)\boldsymbol F(\boldsymbol y_0),\qquad\boldsymbol y_1=\boldsymbol y_0+\mathcal D(a_0,a_1)\boldsymbol u_h
$$

新位置给出新力，再取$\boldsymbol u_1=\boldsymbol u_h+\mathcal K(a_m,a_1)\boldsymbol F(\boldsymbol y_1)$完成一步。

对应阅读：Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1 · Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay

## 步长细化，和网格细化分别检查

先做一个因子算例。区间$a_0=0.25$到$a_1=0.36$给出$\mathcal D=2(2-1/0.6)=2/3$，$\mathcal K=2(0.6-0.5)=0.2$。实际轨迹把整个区间分成许多小步，并在每一步重算密度和力。

保持网格不变，把步数加倍，检查同一算子的时间误差；保持连续初值不变，再细化粒子与网格，检查空间与采样误差。独立自适应积分也能检验前者。前面平面例子的首穿越和后面的线性增长，则给出解析或独立力参考。

质量应当守恒。膨胀背景下，动能加引力势能一般不会保持常数；一次对称推进本身也不是精确能量守恒的证明。要信任某个读数，仍需看它在相应细化和独立参考下怎样变化。

对应阅读：Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay · Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1

## 练习与解释性答案

1. 某一维分数位置为$f=0.8$。质量一个单位怎样分给左右节点？

   展开解释

   左边$0.2$、右边$0.8$，合计一。移动粒子会连续改变权重，而不是突然整份换一个节点。

2. 每轴$16$格、盒长$20\,\mathrm{Mpc}$时，只把保存帧从$129$改到$257$，会提高引力的空间分辨率吗？

   展开解释

   不会。输出更密只改变记录运动的频率。节点间距仍是$1.25\,\mathrm{Mpc}$，求力截断也相同；提高力分辨率需要相应细化网格并检验粒子采样。

3. 为什么应先检查原始沉积总质量，再减平均背景？

   展开解释

   前者能发现漏掉的周期权重或粒子。减背景是为了求相对均匀膨胀的引力；若先强行缩放密度，漏质量也可能被伪装成正确均值。

## 动手检验预测

### [把位移参考和更新引力放在同一时刻比较](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-web-shell-crossing/)

1. 选“斜织的蛛网”，先预测持续更新引力会怎样改变折叠附近的流动。
2. 叠加位移参考，在较晚时刻暂停。两者必须使用同一初值和尺度因子，再比较位置与下方的长波功率。
3. 导出完整原生记录，确认其中保存的各个尺度因子，并说明增加输出帧和减小积分步长的区别。

[上一篇：同一位置，为什么会有几种速度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/when-one-position-has-several-velocities/) [下一篇：功率记住了增长，也丢掉了什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-web/what-a-power-spectrum-remembers/)

## 来源与计算范围

1. [Springel (2005), The cosmological simulation code GADGET-2, astro-ph/0505010v1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0505010v1)

   定向核读第2.1节式1至3、第3.2及3.2.1节式20至23、第4.1节式26至31，查看原PDF第3和11页。用于宇宙学动量、PM窗口与积分方法背景。教学模型另行规定截断和有限梯度，没有短程树力。

2. [Original finite-mesh calculations and independent small-wave Python replay](https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-web/materials/cosmic-web-replay-v1.zip)

   自有已验收核/线性、非线性及五预设双精度计算用于课程图与校准。公开小ZIP仅含一份精确小波当前状态、独立NumPy/SciPy轨迹复算及预期结果。示例由Node执行冻结模型和规范序列化函数产生，不冒充浏览器下载。大型原始预设另行留存，包内没有Engine或原论文。