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title: "热化、化学势畸变与康普顿畸变"
description: "推导温度、化学势和康普顿三种频谱形状，算出各自携带的能量，以及能量释放在何时留下哪一种。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-transparency/thermalization-mu-and-y/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙怎样变透明](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/)

# 热化、化学势畸变与康普顿畸变

Sandbox Physics · 2026-11-12

向背景光注入的能量会留下三种形状之一，取决于它什么时候到达。红移约两百万以前，碰撞会重建一条黑体谱，只是温度更高。从那时到红移几万，光子能在频率之间调配，却不能新产生，于是留下化学势形状：低频端缺光子。再往后，热电子把光子往高频方向散射，却来不及让它们安顿下来，留下康普顿形状。每种形状都带走固定比例的能量，所以测到的振幅可以换算成一次能量释放。

请先读[光学深度与可见度函数](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/optical-depth-and-the-visibility-function/)。本章要用到导数、分部积分和级数。目标是：从黑体谱的小改变推出三种形状，算出每种形状带走多少能量和多少光子，再把一次能量释放换算成实验室里显示的振幅。

## 占据数与温度形状

用 $x=h\nu/k_{\mathrm B}T$ 量度频率，$T$ 是同一时刻的光子温度。膨胀让 $\nu$ 和 $T$ 一起下降，所以同一个光子的 $x$ 不变。每个量子态上的光子数叫占据数 $n(x)$，黑体谱的占据数是

$$
n_{\mathrm{pl}}(x)=\frac{1}{\mathrm e^x-1}.
$$

今天的强度是 $I_\nu=I_0x^3n$。取 $T_0=2.7255\,\mathrm K$，$I_0=2(k_{\mathrm B}T_0)^3/(hc)^2=2.70\times10^{5}\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$。一千央斯基每球面度等于 $10^{-23}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$；今天 $x=1$ 对应 $56.8\,\mathrm{GHz}$。

温度稍高一点、为 $T(1+\Theta)$ 的黑体，占据数是 $n_{\mathrm{pl}}(x/(1+\Theta))$。保留到 $\Theta$ 的一阶，改变量是 $-\Theta x\,\mathrm dn_{\mathrm{pl}}/\mathrm dx$，于是

$$
\Delta I_\nu=I_0\,\Theta\,G(x),\qquad G(x)=\frac{x^4\mathrm e^x}{(\mathrm e^x-1)^2}.
$$

## 热电子留下的康普顿形状

电子比光子热得多时，散射会让光子的能量平均往上提一点，光子数却不变。黑体谱只受到少量这种散射时，康帕涅茨方程化为

$$
\Delta n=\frac{y}{x^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x^4\frac{\mathrm dn_{\mathrm{pl}}}{\mathrm dx}\right).
$$

无量纲的 $y$ 是以电子静能为单位的电子温度乘以散射速率，再对时间累加。把导数算出来，得到 $\Delta I_\nu=I_0\,y\,Y(x)$，其中

$$
Y(x)=G(x)\left(x\coth\frac{x}{2}-4\right).
$$

$Y$ 在 $x=3.830$ 以下为负、以上为正，所以频谱在 $217.5\,\mathrm{GHz}$ 以下变暗、以上变亮。保存的[核函数检验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/materials/kernel-checks.json)对普朗克函数做有限差分，计算康帕涅茨算符中的括号，结果与这个闭合式相差不到峰值的 $1.7\times10^{-7}$。

## 化学势形状

光子能充分交换能量、个数却不能变时，它们会落到玻色–爱因斯坦分布 $n=1/(\mathrm e^{x+\mu}-1)$ 上。化学势 $\mu$ 衡量光子缺了多少。保留到一阶，

$$
\Delta n=-\mu\frac{\mathrm e^x}{(\mathrm e^x-1)^2}=-\frac{\mu}{x}\,\frac{G(x)}{x^3}.
$$

单是这一项就会改变光子数。真实的频谱多了能量，光子数却和原来一样，所以温度也略有升高。选取 $\Theta$ 让总光子数的改变为零。利用 $\int x^n/(\mathrm e^x-1)\,\mathrm dx$ 这类积分，得到 $\Theta=\mu/\beta$，其中 $\beta=3\zeta(3)/\zeta(2)=2.1923$，$\zeta$ 是黎曼 $\zeta$ 函数。结果是

$$
\Delta I_\nu=I_0\,\mu\,M(x),\qquad M(x)=G(x)\left(\frac{1}{\beta}-\frac{1}{x}\right).
$$

$M$ 在 $x=\beta$ 处变号，对应 $124.5\,\mathrm{GHz}$。核函数检验还对完整的玻色–爱因斯坦分布做数值微扰，温度由光子数守恒确定，结果与 $M$ 相差不到峰值的 $6.6\times10^{-5}$。

## 每种形状带走多少能量

光子数正比于 $\int x^2n\,\mathrm dx$，能量正比于 $\int x^3n\,\mathrm dx$。把改变量的这两个矩分别除以黑体谱的同名矩。下表是核函数检验里用辛普森法则算出的值。

**Table 4.1** 每种单位形状携带的相对能量和相对光子数。

| 形状 | 能量与黑体能量之比 | 光子数与黑体光子数之比 |
| --- | --- | --- |
| $G$ | $4.0000$ | $3.0000$ |
| $Y$ | $4.0000$ | $4\times10^{-9}$ |
| $M$ | $0.71395$ | $4\times10^{-5}$ |

于是温度移动对应 $\Delta\rho/\rho_\gamma=4\Theta$，康普顿形状对应 $4y$，化学势形状对应 $0.714\mu$。把最后一个倒过来，得到 $\mu=1.4007\,\Delta\rho/\rho_\gamma$，正是文献里常用的系数 $1.401$，这里是从形状本身算出来的，而不是事先假定的。[Chluba，2013，第2节](https://arxiv.org/abs/1304.6120v2) $Y$ 和 $M$ 的光子数一栏本应为零，剩下的是积分误差。

## 每种形状何时形成

三个过程在竞争：双康普顿散射和轫致辐射产生光子，主要在低频；康普顿散射在频率之间搬运光子；膨胀决定留给它们的时间。早期三者都跟得上，黑体谱得以恢复。在红移 $z$ 释放的畸变能留存下来的比例是

$$
\mathcal J(z)=\exp\!\left[-\left(\frac{z}{z_{\mathrm{th}}}\right)^{5/2}\right],
$$

对这个背景宇宙，$z_{\mathrm{th}}=1.97\times10^{6}$，用的是CLASS v3.3.4里写下的标度关系。[CLASS v3.3.4源码](https://github.com/lesgourg/class_public/tree/v3.3.4) 模型再用Chluba对完整计算做的最小二乘拟合来分配留存下来的能量，$\mathcal J_\mu=1-\exp[-((1+z)/5.8\times10^{4})^{1.88}]$，$\mathcal J_y=[1+((1+z)/6\times10^{4})^{2.58}]^{-1}$：

$$
\mu\simeq1.401\int\mathcal J\mathcal J_\mu\frac{\mathrm d(\Delta\rho/\rho_\gamma)}{\mathrm dz}\mathrm dz,\qquad y\simeq\frac14\int\mathcal J_y\frac{\mathrm d(\Delta\rho/\rho_\gamma)}{\mathrm dz}\mathrm dz.
$$

剩下的 $1-\mathcal J$ 变成温度移动，$\Theta=\frac14\int(1-\mathcal J)\,\mathrm d(\Delta\rho/\rho_\gamma)$。Chluba说这种拆分的精度约为10%到30%。[Chluba，2013，式5和式6](https://arxiv.org/abs/1304.6120v2) 还有一处要留意。论文说这个近似里的能量不超过释放的能量，至多16%落进残余项；可按印出的拟合式，$\mathcal J_\mu+\mathcal J_y$ 在 $z=5\times10^{4}$ 附近达到 $1.15$。这一点我们还没有弄清。实验室用的是印出的拟合式，所以在这个红移附近，它的 $\mu$ 和 $y$ 合起来可能把畸变能量高估多达15%。方法教程[对照萨哈、三能级原子与冻结的CLASS参考输出](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/compare-recombination-codes/)把它们与CLASS附带的格林函数做了对比。

## 例题：红移二十万处的一次释放

在 $z=2\times10^{5}$ 附近释放 $\Delta\rho/\rho_\gamma=3\times10^{-5}$，在这个背景下约为宇宙诞生后19年。那里 $\mathcal J=0.9967$，$\mathcal J_\mu=1.0000$，$\mathcal J_y=0.043$。如果释放是瞬时的，

$$
\mu\simeq1.401\times3\times10^{-5}\times0.9967=4.19\times10^{-5},\qquad y\simeq\frac{3\times10^{-5}\times0.043}{4}=3.2\times10^{-7}.
$$

模型把释放在 $\ln(1+z)$ 上铺开 $0.15$ 的宽度，给出 $\mu=4.19\times10^{-5}$、$y=3.43\times10^{-7}$。强度改变是 $I_0\mu M$：在 $60\,\mathrm{GHz}$ 为 $-5.6\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$，在 $300\,\mathrm{GHz}$ 为 $+12.1\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$，而背景本身约为 $2\times10^{5}\,\mathrm{kJy\,sr^{-1}}$。这个 $\mu$ 低于FIRAS的95%上限 $9\times10^{-5}$。[Fixsen等，1996，摘要](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9605054)

**Table 4.2** 保存的模型算例，在 $\ln(1+z)$ 上的宽度都是 $0.15$。

| 中心红移 | 释放量 | $\mu$ | $y$ | $\Theta$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3\times10^{6}$ | $1\times10^{-5}$ | $1.08\times10^{-6}$ | $1.1\times10^{-10}$ | $2.31\times10^{-6}$ |
| $2\times10^{5}$ | $3\times10^{-5}$ | $4.19\times10^{-5}$ | $3.43\times10^{-7}$ | $2.63\times10^{-8}$ |
| $1.5\times10^{4}$ | $2\times10^{-5}$ | $2.20\times10^{-6}$ | $4.85\times10^{-6}$ | $2.7\times10^{-11}$ |

## 实验室任务

打开[复合实验室](https://sandboxphysics.com/zh/labs/recombination-spectral-distortions/)。频谱图显示的是重新拟合温度以后剩下的残差。

1. 从“玻色–爱因斯坦畸变”预设出发，把释放时刻往更早拖。先预测残差在哪个红移降到一半高度，再与练习4核对。
2. 把释放拖到红移15000。看零点怎样从 $124.5$ 移向 $217.5\,\mathrm{GHz}$，并解释原因。
3. 在红移50000处，从读数栏读出 $\mu$ 和 $y$，用表4.1把两者都换回能量。它们加起来会超过释放量吗？用上一节的内容解释。

## 练习

1. 用分部积分证明 $\int x^3\,\Theta x(-\mathrm dn_{\mathrm{pl}}/\mathrm dx)\,\mathrm dx=4\Theta\int x^3n_{\mathrm{pl}}\,\mathrm dx$。
2. 利用康帕涅茨形式的 $\Delta n$，证明康普顿形状保持光子数不变，并增加黑体能量的 $4y$ 倍。
3. 证明 $M$ 在 $x=\beta$ 处为零，并换算成今天的频率。
4. $\mathcal J$ 在什么红移降到一半？

答案

1. 分部积分，$-\int x^4\,\mathrm dn_{\mathrm{pl}}=-[x^4n_{\mathrm{pl}}]_0^\infty+4\int x^3n_{\mathrm{pl}}\,\mathrm dx$。边界项在两端都为零，剩下黑体能量的 $4\Theta$ 倍。对 $x^2$ 做同样的步骤，得到光子数的 $3\Theta$。
2. 光子数的改变是 $y\int\mathrm d(x^4n_{\mathrm{pl}}')$，只剩边界项，等于零。能量的改变是 $y\int x\,\mathrm d(x^4n_{\mathrm{pl}}')=-y\int x^4n_{\mathrm{pl}}'\,\mathrm dx=4y\int x^3n_{\mathrm{pl}}\,\mathrm dx$，最后一步用到练习1。
3. 括号 $1/\beta-1/x$ 在 $x=\beta=2.1923$ 处为零，乘以 $56.79\,\mathrm{GHz}$ 得 $124.5\,\mathrm{GHz}$。
4. 令 $(z/z_{\mathrm{th}})^{5/2}=\ln2$，得 $z=z_{\mathrm{th}}(\ln2)^{2/5}=0.864z_{\mathrm{th}}\simeq1.70\times10^{6}$。

## 来源

1. [Chluba，2013，第2节](https://arxiv.org/abs/1304.6120v2)
2. [CLASS v3.3.4源码](https://github.com/lesgourg/class_public/tree/v3.3.4)
3. [Fixsen等，1996，摘要](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9605054)

## 继续阅读

宇宙怎样变透明 · 阅读路径

### 从黑体走到隐藏能量的上限

1. [文章 **背景光几乎是黑体，微小偏离还能留下哪些历史？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/a-nearly-perfect-blackbody/)
2. [文章 **萨哈平衡与复合瓶颈**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/saha-and-the-recombination-bottleneck/)
3. [文章 **光学深度与可见度函数**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/optical-depth-and-the-visibility-function/)
4. [当前页面 **热化、化学势畸变与康普顿畸变**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/thermalization-mu-and-y/)
5. [文章 **对照萨哈、三能级原子与冻结的CLASS参考输出**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/compare-recombination-codes/)
6. [文章 **读懂Lucca等人给出的衰变暗物质上限**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/reading-energy-injection-limits/)