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title: "光学深度与可见度函数"
description: "把光子撞上自由电子的次数加起来，就知道背景光最后在哪里散射：本模型中是红移1081附近、宽约200的一层壳。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-transparency/optical-depth-and-the-visibility-function/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙怎样变透明](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/)

# 光学深度与可见度函数

Sandbox Physics · 2026-11-12

可见度函数给出的是：今天收到的一个背景光子，最后一次散射发生在各个红移上的概率。它来自把光子在来路上撞到自由电子的次数一路加起来。用上一章的三能级复合历史，它在红移1081处达到峰值，半高全宽约200，所以微波天空是一层厚壳，而不是一张薄薄的面。复合期间释放一小份能量，会让更多电子保持自由，把整层壳推向更晚的时刻。

请先读[萨哈平衡与复合瓶颈](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/saha-and-the-recombination-bottleneck/)。你需要自由电子比例 $x(z)$、指数函数，以及把积分理解为许多小步的求和。目标是：从散射速率构造光学深度，把它变成概率，再检验一次能量释放会怎样改变它。

## 光子撞上自由电子

在这些能量下，光子被自由电子散射的截面是汤姆孙截面 $\sigma_{\mathrm T}=6.65\times10^{-29}\,\mathrm{m^2}$，与频率无关。中性氢在这些光子能量下的散射弱得多，所以只算自由电子。一个光子撞上电子的速率是

$$
\Gamma=c\,\sigma_{\mathrm T}\,n_{\mathrm e},\qquad n_{\mathrm e}=x\,n_{\mathrm H}.
$$

在 $z=1100$，$x=0.142$，$n_{\mathrm H}=2.54\times10^{8}\,\mathrm{m^{-3}}$，电子密度是 $3.61\times10^{7}\,\mathrm{m^{-3}}$，于是 $\Gamma=7.20\times10^{-13}\,\mathrm{s^{-1}}$。那时的膨胀率是 $H=5.13\times10^{-14}\,\mathrm{s^{-1}}$。比值 $\Gamma/H=14.0$ 表示宇宙每胀大 $\mathrm e$ 倍，光子要散射14次。换个说法：平均自由程 $c/\Gamma$ 约为13500秒差距，而光在一个膨胀时间里走过的距离 $c/H$ 约为190000秒差距。

## 把光学深度加起来

跟着一个光子从红移 $z$ 一路走到今天。在 $s=\ln(1+z)$ 上走一小步 $\mathrm ds$，它花的时间是 $\mathrm ds/H$，这一步里预期的散射次数就是 $\Gamma\,\mathrm ds/H$。全部加起来就是光学深度：

$$
\tau(z)=\int_0^{\ln(1+z)}\frac{c\,\sigma_{\mathrm T}\,n_{\mathrm e}}{H}\,\mathrm ds'.
$$

各次散射彼此独立时，整趟旅程一次都不散射的概率是 $\mathrm e^{-\tau}$，和放射性核“存活”的规律一样。模型在 $z=1100$ 给出 $\tau=1.10$，那时出发的光子只有三分之一能不被散射地到达；到了 $z=1300$，$\tau=7.3$，几乎一个也到不了。

模型在红移50以下把自由电子比例固定在最后求得的值，并且没有包括第一代恒星造成的再电离。普朗克测得这部分晚期贡献是 $\tau=0.054\pm0.007$。[Planck合作组，2018，摘要](https://arxiv.org/abs/1807.06209v4) 它让再电离之前所有红移的 $\mathrm e^{-\tau}$ 都乘上同一个因子，所以只改变下面结果的归一化，不改变峰的位置。

## 可见度函数

最后一次散射落在 $z$ 到 $z+\mathrm dz$ 之间的概率，等于在这一段里散射的概率，乘以此后一路不再散射的概率：

$$
g(z)=\mathrm e^{-\tau(z)}\frac{\mathrm d\tau}{\mathrm dz}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\mathrm e^{-\tau(z)}.
$$

第二种写法让我们不用任何新物理就能做两项检验。第一，两个红移之间的积分就是两个存活概率之差：

$$
\int_{z_1}^{z_2}g\,\mathrm dz=\mathrm e^{-\tau(z_1)}-\mathrm e^{-\tau(z_2)}.
$$

从 $z=50$ 到 $1800$，$\tau$ 从 $1.93\times10^{-4}$ 增长到 $53.6$，这个式子预言积分为 $0.999807$；对表格里的 $g$ 做梯形求和，得到 $0.999804$。第二，令 $\mathrm dg/\mathrm dz=0$，得到峰值条件 $\mathrm d^2\tau/\mathrm dz^2=(\mathrm d\tau/\mathrm dz)^2$。峰值因此不一定在 $\tau=1$ 处。这个模型里峰值在 $z=1081$，那里 $\tau=0.88$；$\tau=1$ 则落在 $z=1092$。

**Table 3.1** 取自保存的[复合计算输出](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/materials/recombination-output.json)的可见度概况。

| 复合历史 | 峰值红移 | 光学深度达到1的红移 | 半高全宽 |
| --- | --- | --- | --- |
| 三能级原子 | $1081.0$ | $1092.0$ | $203$ |
| HyRec-2文件，红移1600以下 | $1080$ | $1089.8$ | $204$ |
| “推迟的最后散射”预设 | $1037.0$ | $1051.9$ | $223$ |

普朗克给出 $z_\ast=1089.92\pm0.25$。[Planck合作组，2018，表2](https://arxiv.org/abs/1807.06209v4) 我们没有在那篇论文里核实它的 $z_\ast$ 恰好按“光学深度等于1”定义，所以与HyRec-2一行的吻合只能算量级检验，不算精密检验。三能级原子比它高两个单位。

## 复合期间释放的能量

现在加入能量，总量是光子能量的 $\Delta\rho/\rho_\gamma$。在 $z=1100$，光子平均每个氢核携带 $1.51\times10^{9}\,\mathrm{eV}$，所以哪怕 $\Delta\rho/\rho_\gamma=5\times10^{-9}$，也相当于每个氢核 $7.6\,\mathrm{eV}$，与维系一个原子的能量相当。

Chen和Kamionkowski把沉积的能量分成电离、激发和加热三份，比例分别是 $(1-x)/3$、$(1-x)/3$ 和 $(1+2x)/3$。[Chen和Kamionkowski，2004，式14](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0310473v4) 电离那份每 $13.6\,\mathrm{eV}$ 释放一个电子；激发那份每 $10.2\,\mathrm{eV}$ 把一个原子抬到 $n=2$，这个原子随后以概率 $1-C$ 被电离。$z=1100$ 时 $C=0.019$，几乎每次激发最后都变成一次电离。假如这 $7.6\,\mathrm{eV}$ 全在 $x=0.142$ 时到达，每个氢核会得到约 $0.16$ 次直接电离和 $0.21$ 次经激发的电离。大部分电子会再复合，但净的自由电子比例保持在更高的水平。

他们式21里莱曼 $\alpha$ 一项印成因子 $C-1$，按式15照原样读，它会降低电离度。上面的概率论证给出的是 $1-C$，模型用的就是它。推导写在[材料说明](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/materials/README.md)里。

“推迟的最后散射”预设在红移1100附近释放 $\Delta\rho/\rho_\gamma=5\times10^{-9}$。表3.1列出结果：峰值从1081移到1037，宽度增加20。频谱几乎不变，$y$ 只有 $6.4\times10^{-10}$。这类能量释放因此要靠微波天空的图像来检验。

## 实验室任务

打开[复合实验室](https://sandboxphysics.com/zh/labs/recombination-spectral-distortions/)。舞台上的雾显示当地的散射速率，竖线标出可见度峰值。

1. 振幅不变，把释放时刻从红移1100拖到1500。先预测峰值往哪边移，再去核对，并用红移1500时的自由电子比例解释结果。
2. 在“推迟的最后散射”预设下，把振幅调大十倍。峰值会多移十倍吗？用复合项里的 $x^2$ 解释你看到的现象。
3. 对比青色和绿色两条可见度曲线。高红移一侧和低红移一侧，哪边变化更大？为什么？

## 练习

1. 证明当高红移处 $\tau$ 无限增长时，$\int_0^\infty g\,\mathrm dz=1$。
2. 推导峰值条件 $\mathrm d^2\tau/\mathrm dz^2=(\mathrm d\tau/\mathrm dz)^2$。
3. 模型在 $z=1000$ 给出 $x=0.0472$。用 $H\propto(1+z)^{3/2}$ 从 $z=1100$ 粗略外推，估计那里的 $\Gamma/H$。
4. 再电离让红移十以外每个光子的光学深度增加 $0.054$。它让红移1081附近 $g$ 的高度降低多少？

答案

1. 由 $g$ 的第二种写法，积分等于 $\mathrm e^{-\tau(0)}-\lim\mathrm e^{-\tau}=1-0=1$。我们收到的每个光子，都在某处有过最后一次散射。
2. 对 $g=\mathrm e^{-\tau}\tau'$ 求导，得 $\mathrm e^{-\tau}(\tau''-\tau'^2)$，撇号表示对 $z$ 求导。令它为零即得条件。
3. $n_{\mathrm H}$ 按 $(1+z)^3$ 变化，所以 $\Gamma/H$ 按 $x(1+z)^{3/2}$ 变化。从 $z=1100$ 出发：$14.0\times(0.0472/0.142)\times(1001/1101)^{3/2}\simeq4.0$。模型给出 $4.08$；小小的差别来自辐射，它让 $H$ 比这个标度下降得稍快。
4. 降低为原来的 $\mathrm e^{-0.054}\simeq0.947$ 倍，约百分之五，形状不变。

## 来源

1. [Planck合作组，2018，摘要](https://arxiv.org/abs/1807.06209v4)
2. [Chen和Kamionkowski，2004，式14](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0310473v4)

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宇宙怎样变透明 · 阅读路径

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1. [文章 **背景光几乎是黑体，微小偏离还能留下哪些历史？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/a-nearly-perfect-blackbody/)
2. [文章 **萨哈平衡与复合瓶颈**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/saha-and-the-recombination-bottleneck/)
3. [当前页面 **光学深度与可见度函数**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-transparency/optical-depth-and-the-visibility-function/)
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