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title: "宇宙太小，天空为什么会出现成对的圆"
description: "最后散射球的两个副本相交成圆。推出圆的角半径和个数，以及盒子超过视界后圆为什么消失。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/why-a-small-universe-draws-circles/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-topology/why-a-small-universe-draws-circles/"
last_modified: "2026-11-12"
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[空间的整体形状](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/)

# 宇宙太小，天空为什么会出现成对的圆

Sandbox Physics · 2026-11-12

如果三维环面比微波背景射来的那个球面还小，这个球面就会和自己的副本相交。每处相交是一个圆，圆上每一点都会被看到两次，出现在天空两侧的两个方向上。圆的角半径由一行几何给出，$\cos\alpha = |\mathbf{g}|/2\chi_{\mathrm{rec}}$；只要所有副本都在两倍球半径以外，圆就消失。这一章推出这个结果，数清圆的个数，再说明没有圆时还剩下什么。

本章接着[三维环面那一章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/flat-but-finite-three-torus/)：观测者的像位于 $\mathbf{g} = L\mathbf{n}$。

## 我们看到的那个球面

宇宙微波背景的光，是早期宇宙的热气体变透明时发出的。这些光走过的共动距离都相同。共动距离是在随宇宙一起膨胀的网格上量的距离，膨胀不会改变它。把这个距离记为 $\chi_{\mathrm{rec}}$。发出这些光的点组成以我们为中心、半径为 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 的球面，叫最后散射面。

下面所有长度都以 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 为单位，球半径就是 1。作为参照，Planck 给出 $\chi_{\mathrm{rec}} \simeq 3.1\,H_0^{-1}$，其中 $H_0^{-1}$ 是哈勃长度，即光速除以今天的膨胀率。

## 球面和它的副本在哪里相交

在覆盖空间里，位于 $\mathbf{g}$ 的那个像也有自己的最后散射球面，半径同样是 1。点 $\mathbf{x}$ 同时落在两个球面上，要求

$$
|\mathbf{x}| = 1, \qquad |\mathbf{x} - \mathbf{g}| = 1 .
$$

两个条件各自平方后相减，$|\mathbf{x}|^2$ 抵消，剩下一个线性关系：

$$
2\,\mathbf{x}\cdot\mathbf{g} = |\mathbf{g}|^2 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{x}\cdot\hat{\mathbf{g}} = \frac{|\mathbf{g}|}{2} .
$$

公共点都落在一个垂直于 $\mathbf{g}$、位于去往副本半路上的平面里。平面切球得到圆。从球心看，这个圆绕方向 $\hat{\mathbf{g}}$ 张开的角半径 $\alpha$ 满足

$$
\cos\alpha = \frac{|\mathbf{g}|}{2\chi_{\mathrm{rec}}} .
$$

这是 Cornish、Spergel 和 Starkman 论文的第 8 式。右边小于 1 时圆才存在，也就是副本离我们不到两倍球半径。$|\mathbf{g}| = 2$ 时两个球面只在一点相切。

## 同一个圆，出现在两处

圆上一点 $\mathbf{x}$ 发出的光，沿方向 $\hat{\mathbf{x}}$ 的直线到达我们。同一个物理点在我们自己这块砖里是 $\mathbf{x} - \mathbf{g}$，两者只差一个格点步长。从那里出发的光沿 $\mathbf{x} - \mathbf{g}$ 的方向到达我们。$\mathbf{x}$ 绕 $\hat{\mathbf{g}}$ 走一圈时，伙伴点 $\mathbf{x} - \mathbf{g}$ 绕 $-\hat{\mathbf{g}}$ 走出一个同样大小的圆。

于是天空上有两个圆心方向相反的圆，带着同一串温度。搜索文献把它们叫做背对背圆对。如果用同一对互相垂直的方向给两个圆标角度，匹配点的角度相同；如果按观测者朝各自圆心望去时看到的顺序排列，其中一串是倒着走的。Planck 把这种排列叫做反相，并指出可定向的拓扑给出的都是反相匹配；可定向是说，把左手沿空间绕一圈带回来，它仍是左手。

## 数一数有几个圆

每对离我们不到 2 的像 $\pm\mathbf{g}$ 给出一对圆。Cornish、Spergel 和 Starkman 算过立方情形 $L = \chi_{\mathrm{rec}}$：最近的三个壳层 $|\mathbf{g}| = 1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 给出

$$
\alpha = 60^\circ,\ 45^\circ,\ 30^\circ ,
$$

分别有 3、6、4 对。另有 3 对 $|\mathbf{g}| = 2$ 的副本只与球面相切，$\alpha = 0^\circ$。

例题。$L = 1.2$ 时，第一壳层给出 $\cos\alpha = 0.6$，$\alpha = 53.13^\circ$，三对圆，圆心沿三个面的法向。第二壳层给出 $\cos\alpha = 1.2\sqrt{2}/2 \approx 0.849$，$\alpha \approx 31.95^\circ$，六对。第三壳层在 $2.08$，够不着。天空上共有 9 对。

例题。$L = 1.93$ 时只有第一壳层够得着：$\cos\alpha = 0.965$，$\alpha \approx 15.2^\circ$。剩下三对小圆，沿盒子的三条棱方向各一对。这已经接近 Planck 能探测的最小圆，论文导读里会细说。

## 盒子比视野大的时候

观测者的每个像至少离我们 $L$。$L$ 超过 2 时，最后散射球面的任何副本都碰不到我们的球面，天空上一个匹配圆也没有。每一片微波天空都来自不同的地方，和无限平直空间里一样。

这时圆检验回到不可辨识的极限：比视野大的有限盒子和无限平直空间，对这个检验给出同样的答案，没有圆对。别的统计量能否仍然找出这样的盒子，是另一个研究问题；COMPACT 预印本提出，对圆搜索检验不到的形状，可以看不同球谐系数之间的关联。

还有一个限度值得说一次。普通的立方三维环面里每一点都等价，观测者在哪里都一样；如果盒子的面带着旋转粘合，到最近副本的距离就随位置而变。COMPACT 预印本表明，这时绕空间一圈的最短路线可以绕开我们。我们的立方盒子只是最简单的教学情形，不代表真实宇宙的形状。

## 实验任务

1. 先预测 $L = 1.6$ 时最大圆的角半径，再把盒子边长设为 $1.6$，读出最大圆的角半径。
2. 把盒子角从 $1.9$ 拖到 $2.1$，看天图上的圆怎样缩小直到消失，记下最后一对圆消失时的边长。
3. 对比数据行里的圆上温度曲线：盒轴圆对的两条线应当重合，无关圆对则不会。
4. 解释为什么这些圆的圆心总在天空上相对的两点，而不是任意间隔。

## 练习

1. 证明角半径为 $\alpha$ 的圆，实际半径是 $\sin\alpha$（以 $\chi_{\mathrm{rec}}$ 为单位），并算出 $L = 1.2$ 第一壳层的值。
2. 立方环面在 $L$ 取什么范围时恰好有三对圆？
3. 一次圆搜索没有找到半径大于 $25^\circ$ 的圆对。假设宇宙是立方三维环面，这意味着 $L$ 至少是多少个 $\chi_{\mathrm{rec}}$？
4. 为什么推导结果与观测者在哪块砖里无关？

答案

1. 圆位于单位球面上的平面 $\mathbf{x}\cdot\hat{\mathbf{g}} = \cos\alpha$ 内，半径为 $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sin\alpha$。$L = 1.2$ 时 $\cos\alpha = 0.6$，半径为 $0.8$。
2. 三对意味着第一壳层够得着、第二壳层够不着：$L$ 小于 2，且 $L\sqrt{2}$ 不小于 2，即 $\sqrt{2} \le L$ 且 $L$ 小于 2，大约从 $1.414$ 到 $2$。
3. 最大的圆来自第一壳层：$\cos\alpha = L/2$。没有大于 $25^\circ$ 的圆，意味着 $L/2 \ge \cos 25^\circ \approx 0.906$，即 $L \ge 1.81$。单凭这次搜索，更小的圆仍然允许。
4. 从任何一块砖看，格点阵列都一样，因为任意两个像之间都差一个格点步长。进入公式的只有差值 $\mathbf{g}$。

第一个任务的答案：$\cos\alpha = 0.8$，$\alpha \approx 36.9^\circ$。

来源：[Cornish、Spergel 与 Starkman 1998，第 8 式与立方情形的圆对数](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9801212v1)，[Planck 2015 结果第十八篇第 4.2 节：背对背圆与反相](https://arxiv.org/abs/1502.01593v2)，[COMPACT 合作组预印本：观测者位置与带旋转的环面](https://arxiv.org/abs/2211.02603v4)。

[先预测边长 1.6 时圆的角半径，再到实验里核对。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/flat-torus-matched-circles/)

## 来源

1. [Cornish、Spergel 与 Starkman 1998，第 8 式与立方情形的圆对数](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9801212v1)
2. [Planck 2015 结果第十八篇第 4.2 节：背对背圆与反相](https://arxiv.org/abs/1502.01593v2)
3. [COMPACT 合作组预印本：观测者位置与带旋转的环面](https://arxiv.org/abs/2211.02603v4)

## 继续阅读

空间的整体形状 · 阅读路径

### 从平直的盒子到匹配圆与 Planck 限制

1. [文章 **平直的宇宙会是有限的吗**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/can-a-flat-universe-be-finite/)
2. [文章 **三维环面怎样让平直空间变得有限**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/flat-but-finite-three-torus/)
3. [当前页面 **宇宙太小，天空为什么会出现成对的圆**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/why-a-small-universe-draws-circles/)
4. [文章 **怎样分辨真正的匹配圆与碰巧的相似**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/telling-a-real-circle-match-from-a-lucky-one/)
5. [文章 **在玩具三维环面里复算匹配圆**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/recompute-matched-circles-in-a-toy-torus/)
6. [文章 **怎样读 Planck 的宇宙拓扑限制**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/reading-planck-topology-limits/)