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title: "三维环面怎样让平直空间变得有限"
description: "把立方体相对的面粘起来，直线仍遵守欧几里得几何，体积却有限，每个物体都有一整套格点副本。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/flat-but-finite-three-torus/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-topology/flat-but-finite-three-torus/"
last_modified: "2026-11-12"
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[空间的整体形状](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/)

# 三维环面怎样让平直空间变得有限

Sandbox Physics · 2026-11-12

三维环面就是一个立方体，规定相对的两个面是同一个地方。在它里面，直线、距离和角度都服从普通的欧几里得几何，所以空间是平直的；它的体积就是一个立方体的体积，所以空间是有限的；每个面都接着对面，所以没有边。这一章用坐标把这个空间搭起来，在里面量距离，再找出粘合规则给观测者造出的副本。

需要的准备：三维坐标、距离公式，以及把向量看成可以相加的箭头。[第一篇文章](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/can-a-flat-universe-be-finite/)不用方程讲了整体图像。

## 先看边缘相接的正方形

在平面上取边长为 $L$ 的正方形，坐标 $x$、$y$ 都从 $0$ 走到 $L$。规定右边就是左边，上边就是下边。写成符号：点 $(x, y)$、$(x + L, y)$ 和 $(x, y + L)$ 是同一个点。一个人越过直线 $x = L$，就在 $x = 0$ 处重新出现，$y$ 不变，前进方向也不变。

这里没有任何东西被弯曲。在任何一小块区域里量三角形，内角和都是 180 度，平行线也一直平行。变了的是整体连接方式：沿 $x$ 方向直走一段距离 $L$，就回到起点。

手里的甜甜圈表面也是环面，但它是弯的：外圈比内圈长。平直环面只由粘合规则定义，不需要把纸弯起来。

## 搬到三维

现在取边长为 $L$ 的立方体，坐标 $\mathbf{x} = (x, y, z)$。粘合规则是：对任意由整数组成的向量 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$，$\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{x} + L\mathbf{n}$ 是同一点：

$$
\mathbf{x} \sim \mathbf{x} + L\mathbf{n}, \qquad \mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3 .
$$

这就是三维环面，体积为 $L^3$。一束光从 $x = L$ 的面出去，从 $x = 0$ 的面进来，方向不变，所以直线仍是直线。

同一个空间还有第二种画法，后面整门课都用它。用完全相同的立方体把普通空间铺满，像一面无限延伸的砖墙。立方体里的每个物体在每块砖里都有一个像，位置是 $\mathbf{x} + L\mathbf{n}$。这种铺满的图像叫覆盖空间。这些像就是同一个物体，只是沿着绕过盒子的不同直线路径被看到。

选立方体只是为了方便。同一个空间也可以切成别的形状的砖块，所以立方体只是记账用的选择。物理内容都在粘合规则里，它规定哪些点是同一点。

## 会绕回来的空间里怎样量距离

三维环面里两点之间有很多条直线路径，第二个点的每个像对应一条。距离取最短的那条：

$$
d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \min_{\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^3} \left| \mathbf{x} - \mathbf{y} - L\mathbf{n} \right| .
$$

例题。取 $L = 1.2$，$\mathbf{x} = (0.1, 0, 0)$，$\mathbf{y} = (1.1, 0, 0)$。直接走的路径长 $1.0$；穿过侧面的路径对应 $\mathbf{n} = (-1, 0, 0)$，差为 $0.1 - 1.1 + 1.2 = 0.2$。两点相距 $0.2$，尽管坐标差了 $1.0$。在会绕回来的空间里，单看坐标说明不了两样东西离得多近。

## 局部测量为什么看不出绕回

边长远小于 $L$ 的三角形整个落在一块砖里，内角和是 180 度，和无限平直空间里完全一样。在三维环面和无限平直空间里做任何局部的曲率测量，答案都相同。要分辨两者，需要一条长到能绕一圈的路径，问题因此变成：我们能看到的最远的光，能不能绕过去。

联系邻近两点的规则叫度规，两种空间里它一样；联系遥远区域的规则叫拓扑，两种空间里它不同。广义相对论把物质和局部曲率联系起来，所以它定下了前者，后者仍然敞开。

## 观测者的副本

把观测者放在原点。粘合规则在格点上造出它的像：

$$
\mathbf{g} = L\mathbf{n}, \qquad |\mathbf{g}| = L\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2} .
$$

按 $n^2 = n_x^2 + n_y^2 + n_z^2$ 把像分成壳层。第一壳层 $n^2 = 1$ 有 6 个像，隔着立方体的面；第二壳层 $n^2 = 2$ 有 12 个，隔着棱；第三壳层 $n^2 = 3$ 有 8 个，隔着顶点。

例题。$L = 1.2$ 时，哪些像离原点不到 2 个单位？第一壳层在 $1.2$，第二壳层在 $1.2\sqrt{2} \approx 1.70$，第三壳层在 $1.2\sqrt{3} \approx 2.08$。前两层符合，共 $6 + 12 = 18$ 个像。它们组成 9 对 $\pm\mathbf{g}$，因为一侧的像在对侧总有一个伙伴。下一章会说明 2 这个数为什么要紧：以最远可见光的距离为单位，离我们不到 2 的像，正是会在天空上画出圆的那些。

## 实验任务

1. 先预测 $L = 0.8$ 时有多少个像离原点不到 2 个单位。数到 $n^2 = 6$ 为止。
2. 在实验里把盒子边长设为 $0.8$，读出匹配圆的对数。
3. 把盒子角从 $1.2$ 慢慢拖到 $1.5$，看哪一圈副本最先离开可及范围。
4. 解释为什么边长从 $1.2$ 变到 $1.5$ 时，读数从 9 对降到 3 对。

## 练习

1. 在边长 $L = 1$ 的二维平直环面里，求 $(0.05, 0.9)$ 与 $(0.95, 0.1)$ 的距离。
2. $n^2 = 4$ 的像有几个？离原点多远？
3. 在边长 $L = 1$ 的三维环面里画一个边长 $0.01$ 的三角形，内角和是多少？
4. 为什么 $L = 2.2$ 时没有离原点不到 2 个单位的像？

答案

1. 用第一个点减第二个点，取 $\mathbf{n} = (-1, 1)$：两个分量变成 $0.05 - 0.95 + 1 = 0.1$ 和 $0.9 - 0.1 - 1 = -0.2$。距离是 $\sqrt{0.1^2 + 0.2^2} \approx 0.22$，远比直接相连的 $\sqrt{0.9^2 + 0.8^2} \approx 1.20$ 短。
2. $n^2 = 4$ 要求一个分量为 $\pm 2$、其余为零，所以有 6 个像，距离 $2L$。
3. 180 度。三角形落在一块砖里，那里的几何是欧几里得几何。
4. 最近的像是第一壳层，距离 $L = 2.2$，已经超过 2；其他壳层更远。

关于 $L = 0.8$ 的任务：壳层 $n^2 = 1$ 到 $6$ 分别在 $0.8$、$1.13$、$1.39$、$1.6$、$1.79$ 和 $1.96$，都小于 2。它们共有 $6 + 12 + 8 + 6 + 24 + 24 = 80$ 个像，组成 40 对。

来源：[Cornish 等 2004，局部几何与拓扑](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0310233v1)，[COMPACT 合作组预印本第 2 节：副本、砖块与基本域](https://arxiv.org/abs/2211.02603v4)，[Cornish、Spergel 与 Starkman 1998](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9801212v1)。

[把盒子边长设为 1.2，数一数截面里有几个副本的球面和你的相交。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/flat-torus-matched-circles/)

## 来源

1. [Cornish 等 2004，局部几何与拓扑](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0310233v1)
2. [COMPACT 合作组预印本第 2 节：副本、砖块与基本域](https://arxiv.org/abs/2211.02603v4)
3. [Cornish、Spergel 与 Starkman 1998](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9801212v1)

## 继续阅读

空间的整体形状 · 阅读路径

### 从平直的盒子到匹配圆与 Planck 限制

1. [文章 **平直的宇宙会是有限的吗**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/can-a-flat-universe-be-finite/)
2. [当前页面 **三维环面怎样让平直空间变得有限**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/flat-but-finite-three-torus/)
3. [文章 **宇宙太小，天空为什么会出现成对的圆**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/why-a-small-universe-draws-circles/)
4. [文章 **怎样分辨真正的匹配圆与碰巧的相似**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/telling-a-real-circle-match-from-a-lucky-one/)
5. [文章 **在玩具三维环面里复算匹配圆**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/recompute-matched-circles-in-a-toy-torus/)
6. [文章 **怎样读 Planck 的宇宙拓扑限制**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-topology/reading-planck-topology-limits/)