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title: "宇宙弦的张力衡量什么"
description: "算出宇宙弦每米有多重，看一个无量纲数怎样决定它的引力，再看标度演化的网络怎样不断产生弦环。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙弦与引力波背景](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/)

# 宇宙弦的张力衡量什么

Sandbox Physics · 2026-11-12

宇宙弦的张力就是它单位长度的能量；对最简单的宇宙弦，它等于单位长度的质量乘以光速的平方。再乘上牛顿引力常数，就得到一个无量纲数 $G\mu/c^2$。宇宙弦的一切引力效应都由它决定：弦环辐射有多强、能活多久，所有弦环叠出的背景有多响。这一章先把这个数换算成每米多少千克，再把它和宇宙弦形成时的能量尺度联系起来，最后看弦网络怎样靠切出弦环，在宇宙总能量里保持固定的份额。

阅读这一章，需要会用十的幂次，知道密度的意思，也知道哈勃参数 $H$ 表示宇宙膨胀的相对速率。从下一节起取 $c=1$，这个数就简写为 $G\mu$。

## 单位长度的质量与张力

Nambu–Goto弦是一种理想化：弦细到只剩长度有意义。在 $c=1$ 的单位里，它单位长度的能量 $\mu$ 与张力相等。如果宇宙弦来自场论，$\mu$ 约为 $\eta^2$，$\eta$ 是产生它的那次相变的能量尺度；弦的粗细约为 $1/\eta$，比这里关心的任何尺度都小得多。[Auclair等，2020，第1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

要恢复单位，把这个无量纲数除以 $G/c^2$：

$$
\mu=G\mu\,\frac{c^2}{G},\qquad \frac{c^2}{G}=\frac{(2.998\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}})^2}{6.674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}}=1.347\times10^{27}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}.
$$

例题：张力为十的负十次方的弦有多重

代入 $G\mu=10^{-10}$，得 $\mu=1.35\times10^{17}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$。地球质量是 $5.97\times10^{24}\,\mathrm{kg}$，只够填满这种弦的 $4.4\times10^{7}\,\mathrm m$，也就是约四万四千千米，比赤道略长。

## 为什么一个无量纲数就管住了引力

宇宙弦的每一种引力效应，都同时含有牛顿常数和 $\mu$，能出现在无量纲结果里的组合只有 $G\mu$。一个弦环辐射引力波的功率是 $\Gamma G\mu^2$，纯数 $\Gamma$ 取决于弦环形状，对真实的弦环约为50。再除以弦环的静能 $\mu\ell$，相对损失率就正比于 $G\mu$。[Auclair等，2020，第3节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

它与粒子物理的联系是

$$
G\mu\sim10^{-6}\left(\frac{\eta}{10^{16}\,\mathrm{GeV}}\right)^2 .
$$

如果宇宙弦来自大统一能标，也就是 $10^{16}\,\mathrm{GeV}$ 附近，$G\mu$ 就在 $10^{-6}$ 上下。宇宙微波背景的测量已经要求几种宇宙弦的 $G\mu$ 低于约 $10^{-7}$。[Auclair等，2020，式1.1与第1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

例题：多高的能量尺度给出十的负十次方的张力

从上式解出 $\eta$：$\eta\sim10^{16}\,\mathrm{GeV}\times\sqrt{10^{-10}/10^{-6}}=10^{14}\,\mathrm{GeV}$。$G\mu$ 每差一百倍，能量尺度差十倍。这个关系只是数量级估计，结果保留一位有效数字就够了。

## 保持能量份额的弦网络

长弦横贯可见宇宙，彼此相隔一个典型距离 $L$，定义为 $\rho_\infty=\mu/L^2$，$\rho_\infty$ 是长弦的能量密度。数值模拟和速度相关单尺度模型都表明，$L$ 与宇宙年龄成正比增长。记 $L=\xi t$：辐射期 $\xi_{\mathrm r}=0.271$，弦运动速度的均方根为 $0.662$；物质期 $\xi_{\mathrm m}=0.625$。这种行为叫标度演化。[Auclair等，2020，第3.1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

标度演化意味着宇宙弦永远不会主导宇宙。辐射期 $H=1/(2t)$，临界密度 $\rho_{\mathrm c}=3H^2/(8\pi G)=3/(32\pi Gt^2)$。长弦所占的份额是

$$
\frac{\rho_\infty}{\rho_{\mathrm c}}=\frac{\mu}{\xi_{\mathrm r}^2t^2}\cdot\frac{32\pi Gt^2}{3}=\frac{32\pi}{3}\,\frac{G\mu}{\xi_{\mathrm r}^2},
$$

式子里已经没有时间了。

例题：弦网络的能量份额

取 $G\mu=10^{-10}$、$\xi_{\mathrm r}=0.271$，份额为 $33.5\times10^{-10}/0.0734=4.6\times10^{-8}$。宇宙一秒大时是这个数，一万岁时还是这个数：网络随宇宙一起长大，却不会占据宇宙。

如果只是被拉伸，弦会越来越长，份额也越来越大。网络之所以保持标度演化，是因为它不停地把弦切成弦环。在单尺度模型里，单位体积、单位时间进入弦环的能量是 $\tilde c\,\bar v\,\rho_\infty/L$，切割效率 $\tilde c=0.23$ 取自数值模拟。

## 新的弦环从哪里来

最简单的模型，即Auclair等人的模型I，假定每个弦环诞生时的长度都是长弦间距的同一个比例，$\ell=\alpha_{\mathrm L}L$。以宇宙年龄为单位，诞生尺寸就是 $\alpha=\alpha_{\mathrm L}\xi$。NANOGrav取 $\alpha_{\mathrm L}\simeq0.37$、$\xi_{\mathrm r}\simeq0.27$，在辐射期深处得到 $\alpha\simeq0.10$。[NANOGrav合作组，2023，第5.4节，式43至45](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

此后弦环以恒定速率 $\mathrm d\ell/\mathrm dt=-\Gamma G\mu$ 缩短。在 $t_{\mathrm i}$ 时刻诞生、长度为 $\alpha t_{\mathrm i}$ 的弦环，经过

$$
\tau=\frac{\alpha t_{\mathrm i}}{\Gamma G\mu}
$$

后消失。网络处于标度演化，单位体积、单位长度的弦环数可以写成 $n(\ell,t)=t^{-4}\,n(x)$，其中 $x=\ell/t$。在同一个时期里，只用比值 $x$ 的一个函数，就能描述任何时刻的弦环。[Auclair等，2020，式3.1](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

## Lab任务

打开宇宙弦Lab，弦环大小保持默认值。把张力从 $10^{-10}$ 拖到 $10^{-17}$，边拖边读寿命；再把张力设为 $10^{-12}$，用 $\tau$ 的公式核对读数。

## 练习

1. 求 $G\mu=10^{-12}$ 的弦单位长度的质量。
2. $G\mu=10^{-12}$ 的弦环以 $\alpha=0.1$ 诞生，它能活多少倍于诞生时刻的时间？
3. 辐射期，$G\mu=10^{-17}$ 的长弦占临界密度的多少？
4. 在单尺度模型里，辐射期经过一个宇宙年龄 $t$ 的时间，长弦能量有多大比例进入弦环？

答案

1. $\mu=10^{-12}\times1.347\times10^{27}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}=1.35\times10^{15}\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$，比例题轻一百倍。
2. $\tau/t_{\mathrm i}=0.1/(50\times10^{-12})=2\times10^{9}$，与Lab在这个张力下的读数相同。
3. 份额与 $G\mu$ 成正比：$4.6\times10^{-8}\times10^{-7}=4.6\times10^{-15}$。
4. 损失率除以 $\rho_\infty$ 得 $\tilde c\,\bar v/(\xi_{\mathrm r}t)=0.23\times0.662/(0.271\,t)=0.56/t$。在一段 $t$ 的时间里，网络大约有一半能量变成弦环，所以靠产生弦环就能维持标度演化。这个估计把损失率在这段时间里当作常数。

## [在宇宙弦Lab里试一试](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-string-loops/)

拖动张力滑块，读出弦环寿命怎样变化。

## 来源

1. [Auclair等，2020，第1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)
2. [NANOGrav合作组，2023，第5.4节，式43至45](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

## 继续阅读

宇宙弦与引力波背景 · 阅读路径

### 从一个缩小的弦环到一条背景频谱

1. [文章 **一条极细的时空缺陷，为什么可能影响整片引力波频谱？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/thin-strings-whole-spectrum/)
2. [当前页面 **宇宙弦的张力衡量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/)
3. [文章 **弦环怎样辐射并缩小**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/)
4. [文章 **从弦环族群到背景频谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/)
5. [文章 **复算宇宙弦背景的辐射期平台**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/recompute-the-radiation-plateau/)
6. [文章 **读懂脉冲星计时与LISA对宇宙弦的结论**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/reading-pta-and-lisa-string-limits/)