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title: "复算宇宙弦背景的辐射期平台"
description: "重跑一个固定的Nambu–Goto弦环模型，与已发表的平台公式对照，看哪一步出错时哪项检查会失败。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/recompute-the-radiation-plateau/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-strings/recompute-the-radiation-plateau/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙弦与引力波背景](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/)

# 复算宇宙弦背景的辐射期平台

Sandbox Physics · 2026-11-12

这份指南用一个固定的Nambu–Goto弦环模型，复算一个已发表的数和一个已发表的公式。这个数是Auclair等人式5.2里的系数8.04，即以 $\Omega_{\mathrm r}\sqrt{G\mu/\Gamma}$ 为单位的辐射期平台高度；这个公式是他们的式6.1，给出平台随弦环大小的变化。两者的复算结果都在百分之一以内吻合。过程中还记录了同一模型复现不出的两个印刷数值，以及四种会算错的做法。

请先读[从弦环族群到背景频谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/)，这里用到的每个公式都在那里推导过。论文是[Auclair等，2020，arXiv第1版](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)，正式发表于JCAP 04 (2020) 034。

## 取得材料并运行

下载[脚本、输入和保存的输出](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/materials/cosmic-string-background.zip)并解压。压缩包里有六个Python文件、三个保存好的JSON文件和一份简短的README。脚本只用Python标准库。保存的那次运行使用Python 3.9.6，耗时37.4秒。

```
cd cosmic-string-background/scripts
python3 reproduce_benchmarks.py ../my-run
```

运行会在指定文件夹里写出inputs.json、outputs.json和failure-cases.json。把它们与压缩包benchmarks文件夹里保存的副本对比；同样的文件也可以直接打开：[输入](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/materials/inputs.json)、[输出](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/materials/outputs.json)和[失败案例](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/materials/failure-cases.json)。请在scripts文件夹里运行命令，主脚本要从那里导入另外五个文件。

## 固定输入与单位

时间和长度都以 $1/H_0$ 为单位，取 $c=1$；频率用赫兹；密度报告为 $h^2\Omega_{\mathrm{gw}}$。固定的输入如下：

**表 5.1** 保存那次运行的固定输入。

| 量 | 取值 | 来源 |
| --- | --- | --- |
| 哈勃参数 $h$ | 0.678 | Auclair式2.7 |
| $\Omega_{\mathrm m}$ 与 $\Omega_{\mathrm r}$ | 0.308 与 $9.1476\times10^{-5}$ | Auclair式2.7 |
| 粒子种类数的变化 | 不考虑，因子取1 | 教学取舍 |
| 弦环辐射功率 $\Gamma$ | 50 | Auclair第4.1节 |
| $A_{\mathrm r}$ 与 $A_{\mathrm m}$ | 0.54 与 0.039 | Auclair式3.16与3.17 |
| $\xi_{\mathrm r}$ 与 $\xi_{\mathrm m}$ | 0.271 与 0.625 | Auclair式3.11 |
| 最早红移 | $10^{26}$ | 教学取舍 |
| 最高谐波阶数 | $10^{5}$ | 与NANOGrav第5.4节相同 |

模型按 $\rho_{\mathrm r}/(\rho_{\mathrm r}+\rho_{\mathrm m})$ 对辐射期和物质期的弦环振幅与诞生尺寸做线性混合。这是教学取舍。论文则在转变期间求解单尺度方程，所以凡是依赖这段转变的结果，都只是这个模型自己的性质。[NANOGrav合作组，2023，第5.4节](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)描述了同一类模型I，取 $\alpha_{\mathrm L}\simeq0.37$、$F=0.1$。

## 通往同一频谱的两条独立路线

第一条路线是式4.4和4.5的红移积分。它在 $u=\ln(1+z)$ 上用辛普森法则、分800段计算 $C_1$，从今天一直积到能在该频率辐射的弦环的诞生边界。这条路线用到弦环密度 $\mathsf n(\ell,t)$ 及其雅可比因子。

第二条路线从不构造弦环密度。它从诞生起跟踪一批批弦环，让每个弦环以 $\Gamma G\mu$ 的速率缩短，把它在基频上辐射的能量红移后存进对数频率格子，最后除以今天的临界密度。第一条路线里雅可比因子或 $(1+z)$ 幂次的错误，不会出现在第二条路线里。

```
from loop_population import LoopPopulation
from background_by_redshift_integral import fundamental_only_density
import string_cosmology as cosmology

table = cosmology.CosmicTimeTable()
loops = LoopPopulation(table, 1e-10, 0.1)
print(fundamental_only_density(loops, 1e4))
```

输出约为 $4.537\times10^{-10}$，即 $G\mu=10^{-10}$、$\alpha=0.1$ 时的基频平台。

## 复算得到了什么

对基于模拟的弦环密度（式3.18与3.19）做纯辐射期积分，得到平台系数8.0425；论文式5.2印的是8.04。同一积分的解析计算也给出8.0425。

在 $10^4\,\mathrm{Hz}$ 处，式6.1与数值基频平台的差别，在25个情形中的24个里不超过 $0.06\,\%$。这些情形覆盖 $G\mu=10^{-8}$ 到 $10^{-17}$，弦环大小从 $0.1$ 一直到 $10^{-3}\,\Gamma G\mu$。唯一的例外是 $G\mu=10^{-17}$、$\alpha=5\times10^{-19}$，低了 $4.6\,\%$。这时在 $10^4\,\mathrm{Hz}$ 处听到的弦环，只能在 $1+z$ 小于约 $6\times10^4$ 时辐射，已接近物质辐射相等时刻 $z\approx3366$，所以这个频率还没有深入辐射期平台。

在 $G\mu=10^{-10}$ 和 $10^{-17}$ 两种情形下，从 $1.1\times10^{-12}$ 到 $4\times10^{3}\,\mathrm{Hz}$ 的27个频率上，分批跟踪的直方图与红移积分相差不超过 $0.9\,\%$。不经过频谱、直接累加每批弦环辐射的全部能量，与频谱对频率的积分相差 $0.3\,\%$，两种张力都是如此。

张力趋于零时，从 $G\mu=10^{-12}$ 到 $10^{-16}$，平台除以 $\sqrt{G\mu}$ 一直是 $4.537\times10^{-5}$。到 $10^{-18}$ 和 $10^{-20}$，这个比值升到 $4.549\times10^{-5}$ 和 $5.16\times10^{-5}$：张力越低，频谱进入平台的频率越高，$10^4\,\mathrm{Hz}$ 已不在平台上。每年一周处，小张力下背景按 $(G\mu)^2$ 下降，$G\mu=10^{-20}$ 时为 $8.0\times10^{-27}$。背景随张力一起趋于零，理应如此。

## 模型复现不出的两个印刷数值

式6.1和式6.2把前置系数 $(128\pi/9)A_{\mathrm r}\Omega_{\mathrm r}h^2$ 印成约 $1.02\times10^{-2}$。用论文自己的输入，它是 $1.0146\times10^{-3}$，小了 $10.05$ 倍。式6.5也有同样的十倍之差。符号表达式与式5.2以及两条数值路线都一致，所以脚本用符号表达式。脚本不修改论文；这处出入作为未解决问题记在outputs.json的printedPlateauCoefficient下。

第6.1节在图8之后的正文里，给出 $G\mu=10^{-17}$ 时的平台约为 $h^2\Omega\approx6.04\times10^{-14}$。粒子种类数不变时，式5.2给出 $1.51\times10^{-13}$，引用值只是它的0.40倍。论文图4显示，标准模型里粒子种类数的变化会改变频谱的高频部分，这也许能解释部分差别。在算出这个效应之前，这条陈述记为未解决，也不作修正。

## 四种会算错的做法

保存的failure-cases.json记录了四种错误及其大小。

1. 漏掉雅可比因子：在 $\alpha=\Gamma G\mu$ 时用 $1/\alpha$ 代替 $\mathrm dt_{\mathrm i}/\mathrm d\ell$，平台翻倍，比值为2.000。
2. 在 $G\mu=10^{-10}$、每年一周处套用平台公式，会把基频背景低估2.43倍。
3. 只加 $10^5$ 阶尖点谐波，却假定 $\sum P_n=\Gamma$，会漏掉 $1.79\,\%$ 的功率。
4. 让网络从 $z=10^{10}$ 而不是 $10^{26}$ 开始，会去掉高频平台：在 $1\,\mathrm{Hz}$ 处，结果从 $4.54\times10^{-10}$ 降到 $2.6\times10^{-14}$。

## 这次复算能说明什么，不能说明什么

复算说明一个模型前后自洽：它的弦环密度、频谱和能量收支彼此吻合，也与两个已发表的解析式吻合。它不检验宇宙弦是否存在、模型I是否描述得了它们，也不检验粒子种类数不变是否是好的近似。它没有拟合任何数据。要与脉冲星计时结果比较，需要[读懂脉冲星计时与LISA对宇宙弦的结论](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/reading-pta-and-lisa-string-limits/)里介绍的完整似然分析。

## [在宇宙弦Lab里试一试](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-string-loops/)

把五个预设的读数与保存的参考值对照。

## 来源

1. [Auclair等，2020，arXiv第1版](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)
2. [NANOGrav合作组，2023，第5.4节](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

## 继续阅读

宇宙弦与引力波背景 · 阅读路径

### 从一个缩小的弦环到一条背景频谱

1. [文章 **一条极细的时空缺陷，为什么可能影响整片引力波频谱？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/thin-strings-whole-spectrum/)
2. [文章 **宇宙弦的张力衡量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/)
3. [文章 **弦环怎样辐射并缩小**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/)
4. [文章 **从弦环族群到背景频谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/)
5. [当前页面 **复算宇宙弦背景的辐射期平台**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/recompute-the-radiation-plateau/)
6. [文章 **读懂脉冲星计时与LISA对宇宙弦的结论**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/reading-pta-and-lisa-string-limits/)