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title: "弦环怎样辐射并缩小"
description: "跟着一个Nambu–Goto弦环：它的周期、发出定向爆发的尖点、辐射的谐波，以及让它最终消失的匀速缩短。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙弦与引力波背景](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/)

# 弦环怎样辐射并缩小

Sandbox Physics · 2026-11-12

长度为 $\ell$ 的弦环每隔 $\ell/2$ 重复一次运动，所以它在谐波 $f_n=2n/\ell$ 上辐射引力波。尖点（瞬间达到光速的点）和折角（急弯）让高次谐波一直保持可观：第 $n$ 阶谐波的功率只按 $n^{-4/3}$ 或 $n^{-5/3}$ 衰减。总功率 $\Gamma G\mu^2$ 与弦环大小无关，于是弦环以恒定速率 $\Gamma G\mu$ 缩短，直到全部静能都变成引力波。

这一章接着上一章[宇宙弦的张力衡量什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/)。需要用到矢量、导数和几何级数。取 $c=1$，并把弦环放在平直时空里；只要弦环比宇宙诞生以来光走过的距离小得多，这就是好的近似。

## 弦环是球面上的两条曲线

选取合适的规范后，平直时空中Nambu–Goto方程的通解是一个左行波与一个右行波之和：

$$
\boldsymbol X(\sigma,t)=\frac12\left[\boldsymbol X_-(\sigma_-)+\boldsymbol X_+(\sigma_+)\right],\qquad \sigma_\pm=t\pm\sigma,\qquad |\boldsymbol X_\pm'|=1 .
$$

对不变长度为 $\ell$ 的弦环，两个函数都以 $\ell$ 为周期。它们的导数是单位矢量，$\sigma_\pm$ 走完一个周期，导数就在单位球面上画出一条闭合曲线。弦环质心静止，所以每条曲线的平均值为零。[Auclair等，2020，附录A.1](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

求导得到弦的速度和切向：

$$
\partial_t\boldsymbol X=\frac12\left(\boldsymbol X_-'+\boldsymbol X_+'\right),\qquad \partial_\sigma\boldsymbol X=\frac12\left(\boldsymbol X_+'-\boldsymbol X_-'\right).
$$

固定 $\sigma$，经过 $\ell/2$ 的时间，$\sigma_-$ 和 $\sigma_+$ 各移动 $\ell/2$，两者合起来让弦环回到原样。所以周期 $T=\ell/2$，辐射的谐波是

$$
f_n=\frac{n}{T}=\frac{2n}{\ell},\qquad n=1,2,3,\ldots
$$

## 尖点：两条曲线的交点

球面上两条平均值都为零的闭合曲线，一般会相交。交点处 $\boldsymbol X_-'=\boldsymbol X_+'$，切向 $\partial_\sigma\boldsymbol X$ 为零，速度 $|\partial_t\boldsymbol X|$ 等于一：弦在这里折回自身，以光速运动。这就是尖点。折角则是两个导数之一的跳变，是弦重联时留下的。

例题：Lab里画的弦环

Lab画的是Kibble–Turok弦环，取 $\boldsymbol X_-'(u)=(\cos u,\sin u,0)$、$\boldsymbol X_+'(v)=(\cos v,\cos\psi\sin v,\sin\psi\sin v)$，其中 $\psi=1.05$。两条曲线都是大圆：第一条在水平面内，第二条所在平面绕第一根坐标轴倾斜了 $\psi$，所以它们交于 $\pm(1,0,0)$。每个交点每个周期出现一次，于是每次振荡有两个尖点，沿这根轴朝相反方向运动。在这组单位里 $\ell=2\pi$、$T=\pi$。在交点处直接数值计算 $|\partial_t\boldsymbol X|$，得到1.0000。

尖点的辐射是定向的。第 $n$ 阶谐波的爆发集中在尖点运动方向周围、张角约为 $\theta_{\mathrm b}\approx[2/(\sqrt3\,n)]^{1/3}$ 的锥里。[Auclair等，2020，附录A.2](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

## 功率怎样分到各阶谐波

对网络里的弦环取平均后，第 $n$ 阶谐波分到的功率用幂律来描述：

$$
P_n=\frac{\Gamma}{\zeta(q)}\,n^{-q},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}P_n=\Gamma,
$$

尖点取 $q=4/3$，折角取 $5/3$，折角相撞取 $2$。黎曼zeta函数 $\zeta(q)$ 保证各份加起来等于 $\Gamma$。对真实弦环的模拟发现，总功率高度集中在 $\Gamma\approx50$ 附近。[Auclair等，2020，第4.1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

例题：低次谐波分到多少功率

$\zeta(4/3)=3.601$，$\zeta(5/3)=2.124$。基频分到 $1/\zeta(q)$：尖点是 $27.8\,\%$，折角是 $47.1\,\%$。级数前十项加起来，尖点是 $62.0\,\%$，折角是 $85.3\,\%$。带折角的弦环把更多能量放在最低的几个音上。

计算机求和总要在某处停下。尖点谐波加到第 $10^5$ 阶，保留 $98.2\,\%$ 的功率，漏掉 $1.8\,\%$；折角的前 $10^5$ 项保留 $99.967\,\%$。NANOGrav的分析同样只加到第 $10^5$ 阶。[NANOGrav合作组，2023，第5.4节](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

## 匀速缩短，寿命有限

功率 $\Gamma G\mu^2$ 里没有长度。由能量守恒 $\mathrm d(\mu\ell)/\mathrm dt=-\Gamma G\mu^2$ 得到

$$
\frac{\mathrm d\ell}{\mathrm dt}=-\Gamma G\mu,\qquad \ell(t)=\ell_{\mathrm i}-\Gamma G\mu\,(t-t_{\mathrm i}),\qquad \tau=\frac{\ell_{\mathrm i}}{\Gamma G\mu}.
$$

把功率对寿命积分，得到 $\Gamma G\mu^2\tau=\mu\ell_{\mathrm i}$：全部静能都以引力波的形式离开。弦环缩小时，各阶谐波的频率升高，小弦环越唱越高，直到消失。

例题：宇宙诞生一秒时出生的弦环

取 $\alpha=0.1$，弦环诞生时长 $0.1$ 光秒，即 $3.0\times10^{7}\,\mathrm m$，发射时的基频为 $2c/\ell=20\,\mathrm{Hz}$。在本课程使用的平直、粒子种类数不变的模型里，宇宙一秒大时对应 $1+z=4.88\times10^{9}$。这列波今天到达时的频率是 $20\,\mathrm{Hz}/4.88\times10^{9}=4.1\times10^{-9}\,\mathrm{Hz}$，正落在脉冲星计时的频段里。若 $G\mu=10^{-10}$，弦环能活 $2\times10^{7}\,\mathrm s$，约八个月，所以它几乎是在诞生时的红移上完成辐射的。

## Lab任务

在宇宙弦Lab里保持默认状态，看每个周期两个尖点朝相反方向闪亮。然后勾选“用折角代替尖点”。高频平台的读数几乎不变，因为平台只取决于总功率 $\Gamma$，与功率怎样分配无关；每年一周处的读数会变，因为那里大弦环的低次谐波起作用。

## 练习

1. 求一光年长的弦环发射时的基频。
2. 第 $n=10^{5}$ 阶谐波的尖点定向张角是多少？
3. 证明：在 $t_{\mathrm i}$ 时刻以 $\ell_{\mathrm i}=\alpha t_{\mathrm i}$ 诞生的弦环，寿命是诞生时刻的 $\alpha/(\Gamma G\mu)$ 倍。
4. 把基频分到的功率加倍，为什么弦环辐射的总能量不变？

答案

1. $f_1=2c/\ell=2/(1\,\mathrm{yr})=6.3\times10^{-8}\,\mathrm{Hz}$。
2. $\theta_{\mathrm b}\approx[2/(1.732\times10^{5})]^{1/3}=0.0226\,\mathrm{rad}$，约 $1.3^\circ$。$n=10^3$ 时锥宽约 $6^\circ$，谐波越高，定向越集中。
3. $\tau/t_{\mathrm i}=\ell_{\mathrm i}/(\Gamma G\mu\,t_{\mathrm i})=\alpha/(\Gamma G\mu)$。取 $\alpha=0.1$、$\Gamma=50$，结果是 $0.002/G\mu$。
4. 总功率固定为 $\Gamma G\mu^2$，寿命固定为 $\mu\ell_{\mathrm i}/(\Gamma G\mu^2)$，辐射的总能量始终是 $\mu\ell_{\mathrm i}$。改变 $q$ 只是在各阶谐波之间挪动这份能量。

## [在宇宙弦Lab里试一试](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-string-loops/)

看尖点闪亮，再换成折角，比较发出的波纹。

## 来源

1. [Auclair等，2020，附录A.1](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)
2. [NANOGrav合作组，2023，第5.4节](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

## 继续阅读

宇宙弦与引力波背景 · 阅读路径

### 从一个缩小的弦环到一条背景频谱

1. [文章 **一条极细的时空缺陷，为什么可能影响整片引力波频谱？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/thin-strings-whole-spectrum/)
2. [文章 **宇宙弦的张力衡量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/)
3. [当前页面 **弦环怎样辐射并缩小**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/)
4. [文章 **从弦环族群到背景频谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/)
5. [文章 **复算宇宙弦背景的辐射期平台**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/recompute-the-radiation-plateau/)
6. [文章 **读懂脉冲星计时与LISA对宇宙弦的结论**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/reading-pta-and-lisa-string-limits/)