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title: "从弦环族群到背景频谱"
description: "写出弦环数密度，把辐射按红移积分，推导辐射期平台为什么随张力的平方根增长。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/"
last_modified: "2026-11-12"
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[宇宙弦与引力波背景](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/)

# 从弦环族群到背景频谱

Sandbox Physics · 2026-11-12

引力波背景是所有辐射过的弦环之和。数清每个时刻每种长度的弦环有多少，让每个弦环发出它的各阶谐波，把波红移到今天再加起来，结果是对红移的一个积分。在辐射期深处，弦环族群有解析形式，积分给出一段平坦的平台；弦环生来较大时，平台高度按 $\sqrt{G\mu\,\alpha/\Gamma}$ 增长。

这一章用到前两章的结果：[宇宙弦的张力衡量什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/)和[弦环怎样辐射并缩小](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/)。需要会用狄拉克δ函数、积分换元，并知道辐射期 $a\propto t^{1/2}$、$H=1/(2t)$。取 $c=1$；出现数值时，时间以 $1/H_0$ 为单位。

## 数清每种长度的弦环

把单位体积、单位时间诞生的弦环数记为 $R(t_{\mathrm i})$。在模型I里，每个弦环诞生时长度都是 $\alpha t_{\mathrm i}$，诞生率为

$$
R(t_{\mathrm i})=\frac{A}{\alpha\,t_{\mathrm i}^{4}},\qquad A_{\mathrm r}=\frac{F}{f_{\mathrm r}}\,\frac{\tilde c\,\bar v_{\mathrm r}}{\xi_{\mathrm r}^{3}}=0.54 .
$$

其中切割效率 $\tilde c=0.23$；$\bar v_{\mathrm r}=0.662$ 和 $\xi_{\mathrm r}=0.271$ 描述长弦；$f_{\mathrm r}=\sqrt2$ 扣除进入弦环整体运动的能量；$F=0.1$ 计入真实诞生尺寸的弥散。[Auclair等，2020，第3.1节，式3.12至3.16](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

在 $t$ 时刻看到的长度为 $\ell$ 的弦环，诞生时刻满足 $\alpha t_{\mathrm i}-\Gamma G\mu\,(t-t_{\mathrm i})=\ell$：

$$
t_{\mathrm i}=\frac{\ell+\Gamma G\mu\,t}{\alpha+\Gamma G\mu},\qquad \frac{\mathrm dt_{\mathrm i}}{\mathrm d\ell}=\frac{1}{\alpha+\Gamma G\mu}.
$$

在 $\mathrm dt_{\mathrm i}$ 内诞生的弦环，到 $t$ 时刻占据长度区间 $\mathrm d\ell=(\alpha+\Gamma G\mu)\,\mathrm dt_{\mathrm i}$，数密度被稀释了 $(a_{\mathrm i}/a)^3$ 倍。于是

$$
\mathsf n(\ell,t)=\frac{R(t_{\mathrm i})}{\alpha+\Gamma G\mu}\left(\frac{a(t_{\mathrm i})}{a(t)}\right)^{3}.
$$

辐射期 $(a_{\mathrm i}/a)^3=(t_{\mathrm i}/t)^{3/2}$。代入 $t_{\mathrm i}$，记 $x=\ell/t$，得到

$$
\mathsf n(\ell,t)=t^{-4}\,\frac{A_{\mathrm r}\,(\alpha+\Gamma G\mu)^{3/2}}{\alpha\,(x+\Gamma G\mu)^{5/2}},\qquad x\le\alpha ,
$$

这就是Auclair等人的式3.16。NANOGrav把同一个密度写成适用于任何时期的形式，雅可比因子里多出一项 $\dot\alpha_\ast t_\ast$，用来处理诞生尺寸随时间变化的情形。[NANOGrav合作组，2023，第5.4节，式43与44](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

例题：0.54从哪里来

$F/f_{\mathrm r}=0.1/1.414=0.0707$，$\tilde c\,\bar v_{\mathrm r}/\xi_{\mathrm r}^3=0.23\times0.662/0.0199=7.65$，乘积是 $0.541$，就是文中的 $A_{\mathrm r}=0.54$。如果漏掉雅可比因子，用 $1/\alpha$ 代替 $1/(\alpha+\Gamma G\mu)$，在 $\alpha=\Gamma G\mu$ 时密度正好多出一倍；方法章节保存的失败案例记录了这一点。

## 把辐射加起来

$t$ 时刻长度为 $\ell$ 的弦环，在频率 $2n/\ell$ 上发出功率 $G\mu^2P_n$，到今天频率变成 $f=2n/[(1+z)\ell]$。引力波能量按 $(1+z)^{-4}$ 稀释，频率区间被拉宽 $(1+z)$ 倍。所以今天单位频率的能量密度是

$$
\frac{\mathrm d\rho_{\mathrm{gw}}}{\mathrm df}=G\mu^2\sum_n P_n\int\mathrm dt\,(1+z)^{-3}\int\mathrm d\ell\;\mathsf n(\ell,t)\,\delta\!\left(f(1+z)-\frac{2n}{\ell}\right).
$$

δ函数选出 $\ell_n=2n/[(1+z)f]$，权重为 $\ell_n^2/(2n)$。利用 $\mathrm dt=\mathrm dz/[(1+z)H]$ 和 $\Omega_{\mathrm{gw}}=(8\pi G/3H_0^2)\,f\,\mathrm d\rho_{\mathrm{gw}}/\mathrm df$，

$$
\Omega_{\mathrm{gw}}(f)=\frac{8\pi(G\mu)^2}{3H_0^2}\,f\sum_n P_n\,C_n(f),\qquad C_n(f)=\frac{2n}{f^2}\int_0^{z_\ast}\frac{\mathrm dz}{H(z)\,(1+z)^6}\,\mathsf n\!\left(\frac{2n}{(1+z)f},t(z)\right),
$$

这是Auclair等人的式4.4和4.5。[Auclair等，2020，第4.1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)由于 $C_n(f)=C_1(f/n)/n$，算好基频 $C_1$ 的一张表，就能得到每一阶谐波。

## 辐射期平台

高频处，积分由辐射期的弦环主导，那时 $H=H_0\sqrt{\Omega_{\mathrm r}}\,(1+z)^2$，$t=1/(2H)$。把积分变量从 $z$ 换成 $x=\ell_n/t$：

$$
x=\frac{4nH_0\sqrt{\Omega_{\mathrm r}}\,(1+z)}{f},\qquad t^{-4}=16H_0^4\Omega_{\mathrm r}^2(1+z)^8 .
$$

$(1+z)$ 的幂次全部消掉，$C_n(f)=(8H_0^2\Omega_{\mathrm r}/f)\int\mathsf n_{\mathrm r}(x)\,\mathrm dx$。因子 $f$ 也消掉了：频谱是平的。对各阶求和 $\sum_nP_n=\Gamma$，并把 $\mathsf n_{\mathrm r}$ 从 $0$ 积到 $\alpha$，

$$
\int_0^\alpha\mathsf n_{\mathrm r}\,\mathrm dx=\frac{2A_{\mathrm r}}{3\alpha}\left[(1+\epsilon)^{3/2}-1\right],\qquad \epsilon=\frac{\alpha}{\Gamma G\mu},
$$

$$
h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}=\frac{128\pi}{9}\,A_{\mathrm r}\,\Omega_{\mathrm r}h^2\,\frac{G\mu}{\epsilon}\left[(1+\epsilon)^{3/2}-1\right].
$$

这就是式6.1。弦环较大，即 $\epsilon\gg1$ 时，它变成 $(128\pi/9)A_{\mathrm r}\Omega_{\mathrm r}h^2\sqrt{G\mu\,\alpha/\Gamma}$。[Auclair等，2020，第6.2.1节](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)

例题：Lab默认状态的平台

取 $\Omega_{\mathrm r}=9.1476\times10^{-5}$、$h=0.678$，前置系数是 $(128\pi/9)\times0.54\times4.205\times10^{-5}=1.015\times10^{-3}$。$G\mu=10^{-10}$、$\alpha=0.1$ 时，$\sqrt{G\mu\,\alpha/\Gamma}=4.47\times10^{-7}$，所以 $h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}=4.54\times10^{-10}$。Lab在 $25\,\mathrm{Hz}$ 处的谐波求和读数是 $4.46\times10^{-10}$，低出的部分正是第 $10^5$ 阶以上尖点谐波的 $1.8\,\%$ 功率。论文把这个系数印成约 $1.02\times10^{-2}$，是它自己的符号表达式给出值的十倍；方法章节把这一点记为未解决的出入，计算时用符号表达式。

## 平台公式在哪里失效

平台公式假定，贡献信号的弦环在整个寿命里都处在辐射期。低频处，信号来自物质期才完成辐射的大弦环，频谱抬升成一个鼓包，公式就不再成立。$G\mu=10^{-10}$ 时，每年一周处数值计算的基频频谱是平台公式的 $2.43$ 倍。Lab按辐射在能量密度中所占份额，把辐射期和物质期的弦环密度混合起来，这是教学上的取舍；Auclair等人则在转变期间求解单尺度模型。

## Lab任务

在宇宙弦Lab里，盯着虚线平台，把弦环大小从默认值一直拖到最小。无论大小如何，高频处虚线都贴着曲线。然后选“弦环生来就小”，把平台与练习3的小弦环极限对比。

## 练习

1. 按同样的步骤，用 $a\propto t^{2/3}$ 推出物质期的密度 $\mathsf n_{\mathrm m}$。
2. $\alpha$ 固定时，从 $G\mu=10^{-10}$ 到 $G\mu=10^{-16}$，大弦环平台变化多少倍？
3. 证明 $\epsilon\ll1$ 时平台不再依赖 $\alpha$，并计算 $G\mu=10^{-10}$ 时的值。
4. Lab的“弦环生来就小”预设取 $\alpha=10^{-8}$、$G\mu=10^{-10}$。用式6.1计算平台，并与Lab在 $25\,\mathrm{Hz}$ 处的读数 $2.09\times10^{-13}$ 比较。

答案

1. $(a_{\mathrm i}/a)^3=(t_{\mathrm i}/t)^2$，所以 $\mathsf n=A_{\mathrm m}t_{\mathrm i}^{-2}t^{-2}/[\alpha_{\mathrm m}(\alpha_{\mathrm m}+\Gamma G\mu)]$。代入 $t_{\mathrm i}$ 得 $\mathsf n_{\mathrm m}=t^{-4}A_{\mathrm m}(\alpha_{\mathrm m}+\Gamma G\mu)/[\alpha_{\mathrm m}(x+\Gamma G\mu)^2]$，即论文的式3.17，其中 $A_{\mathrm m}=0.039$。
2. 平台按 $\sqrt{G\mu}$ 变化，下降 $\sqrt{10^6}=1000$ 倍：从 $4.54\times10^{-10}$ 降到 $4.54\times10^{-13}$。在Lab里，两种张力之间虚线平台下降三个数量级。
3. $(1+\epsilon)^{3/2}-1\approx3\epsilon/2$，所以 $h^2\Omega_{\mathrm{plateau}}\approx(64\pi/3)A_{\mathrm r}\Omega_{\mathrm r}h^2\,G\mu$。几乎一诞生就消失的弦环，不论大小，都把全部能量一次放完。$G\mu=10^{-10}$ 时为 $1.52\times10^{-13}$。论文式6.5把系数印成 $1.52\times10^{-2}$，同样是符号值的十倍。
4. $\epsilon=10^{-8}/(5\times10^{-9})=2$，$1.015\times10^{-3}\times(10^{-10}/2)\times(3^{3/2}-1)=2.13\times10^{-13}$。扣掉被截断的 $1.8\,\%$ 尖点功率，得 $2.09\times10^{-13}$，与Lab一致。$\epsilon=2$ 时练习3的两个极限都不适用。

## [在宇宙弦Lab里试一试](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-string-loops/)

拖动弦环大小，对照虚线平台公式和曲线。

## 来源

1. [Auclair等，2020，第3.1节，式3.12至3.16](https://arxiv.org/abs/1909.00819v1)
2. [NANOGrav合作组，2023，第5.4节，式43与44](https://arxiv.org/abs/2306.16219v1)

## 继续阅读

宇宙弦与引力波背景 · 阅读路径

### 从一个缩小的弦环到一条背景频谱

1. [文章 **一条极细的时空缺陷，为什么可能影响整片引力波频谱？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/thin-strings-whole-spectrum/)
2. [文章 **宇宙弦的张力衡量什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/what-string-tension-measures/)
3. [文章 **弦环怎样辐射并缩小**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/how-a-loop-radiates-and-shrinks/)
4. [当前页面 **从弦环族群到背景频谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/from-loop-population-to-background/)
5. [文章 **复算宇宙弦背景的辐射期平台**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/recompute-the-radiation-plateau/)
6. [文章 **读懂脉冲星计时与LISA对宇宙弦的结论**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-strings/reading-pta-and-lisa-string-limits/)