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title: "早期的氢为什么会在21厘米发亮或变暗"
description: "从自旋温度、微波背景和光深推出21厘米亮温，再看第一缕星光和X射线加热怎样决定它的正负。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[从21厘米氢线听见第一批恒星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/)

# 早期的氢为什么会在21厘米发亮或变暗

Sandbox Physics · 2026-11-12

氢是衬着微波背景被看见的，它在21厘米的亮暗只取决于一次比较：气体的自旋温度高于背景温度就发亮，低于背景温度就吸收，投下暗影。第一缕星光把自旋温度拉向气体温度；随后X射线加热决定这团气体比背景热还是冷。

本章用到指数和对数。再电离课程里的[从中性氢的信号读出电离泡](https://sandboxphysics.com/zh/stories/reionization/reading-a-neutral-hydrogen-map/)讨论过自旋温度非常高的特例，这里去掉这个假设。温度用开尔文，频率用兆赫，时间用红移 $z$ 表示，$z$ 越大越早。

## 频率与两个超精细能级

氢原子里电子和质子的自旋可以平行，也可以反平行。平行态的能量高出一点点，两态之间跃迁的光子静止频率为 $\nu_{21}=1420.406\,\mathrm{MHz}$。宇宙膨胀让接收到的频率变低：

$$
\nu_{\mathrm{obs}}=\frac{\nu_{21}}{1+z}.
$$

$z=7.93$ 时得到 $159\,\mathrm{MHz}$，$z=14.4$ 时得到 $92\,\mathrm{MHz}$。每个观测频率挑出一个红移，也就挑出视线上的一个距离。

记上、下能级的数密度为 $n_1$ 和 $n_0$。自旋温度 $T_{\mathrm s}$ 由它们的比值定义：

$$
\frac{n_1}{n_0}=3\exp\left(-\frac{T_\star}{T_{\mathrm s}}\right),\qquad T_\star=\frac{h\nu_{21}}{k_{\mathrm B}}=0.0682\,\mathrm K.
$$

因子3数的是上能级的三个状态。$T_{\mathrm s}$ 只描述原子怎样分布在两个能级上，只有在别的过程强迫时，它才等于气体温度。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §2.1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2)

## 衬着微波背景的亮温

微波背景是温度 $T_\gamma=2.7255\,\mathrm K\,(1+z)$ 的黑体。射电天文学用亮温来表示气体带来的改变。让背景光穿过光深为 $\tau$ 的一层气体，再红移到今天，得到

$$
\delta T_{\mathrm b}=\frac{T_{\mathrm s}-T_\gamma}{1+z}\left(1-e^{-\tau}\right).
$$

正负号只来自 $T_{\mathrm s}-T_\gamma$。因子 $1-e^{-\tau}$ 是气体能吸收、再重新发出的那部分背景光。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 17](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2)

气体随哈勃膨胀运动时，设中性氢的固有数密度为 $n_{\mathrm{HI}}$，爱因斯坦系数 $A_{10}=2.85\times10^{-15}\,\mathrm{s^{-1}}$，哈勃率为 $H(z)$，则

$$
\tau=\frac{3hc^3A_{10}\,n_{\mathrm{HI}}}{32\pi k_{\mathrm B}T_{\mathrm s}\nu_{21}^2H(z)}.
$$

光深按 $1/T_{\mathrm s}$ 变化，气体越冷，吸收越强。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 15](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2)

$\tau\ll1$ 时可把 $1-e^{-\tau}$ 换成 $\tau$。代入宇宙学平均密度，得到常用的薄气体公式，其中 $x_{\mathrm{HI}}$ 是中性比例：

$$
\delta T_{\mathrm b}\approx27\,x_{\mathrm{HI}}\left(\frac{\Omega_b h^2}{0.023}\right)\left(\frac{0.15}{\Omega_m h^2}\,\frac{1+z}{10}\right)^{1/2}\left(1-\frac{T_\gamma}{T_{\mathrm s}}\right)\,\mathrm{mK}.
$$

[Pritchard and Loeb 2012, equation 7](https://arxiv.org/abs/1109.6012v2) 这个式子略去了密度和速度起伏。它们决定空间花样，但不改变平均值。

## 谁来决定自旋温度

有三种过程在争夺 $T_{\mathrm s}$。微波光子把它拉向 $T_\gamma$；碰撞和莱曼阿尔法光子把它拉向气体的动理温度 $T_K$。莱曼阿尔法光子被原子吸收再放出，原子可能落回任一个超精细能级，这叫沃特胡森-菲尔德效应。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §2.3](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2) 结果是倒数温度的加权平均：

$$
T_{\mathrm s}^{-1}=\frac{T_\gamma^{-1}+x_\alpha T_K^{-1}}{1+x_\alpha}.
$$

$x_\alpha$ 是无量纲的莱曼阿尔法耦合系数。红移约30以后气体很稀，碰撞耦合很弱，这里略去；莱曼阿尔法的颜色温度取为 $T_K$。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 20](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2) $x_\alpha\gg1$ 时自旋温度跟着气体走；$x_\alpha\ll1$ 时它回到背景温度，信号随之消失。

## 例题：红移7.93处被加热的气体

设X射线加热后 $T_K=300\,\mathrm K$，$x_\alpha=20$，$x_{\mathrm{HI}}=0.734$，背景 $T_\gamma=24.34\,\mathrm K$。

1. 自旋温度：$T_{\mathrm s}^{-1}=(1/24.34+20/300.4)/21\,\mathrm{K^{-1}}$，所以 $T_{\mathrm s}=195\,\mathrm K$。
2. 用完整公式算光深：$\tau=8.5\times10^{-4}$，薄气体近似非常好。
3. 亮温：$\delta T_{\mathrm b}=(195.1-24.3)\times8.47\times10^{-4}/8.93\,\mathrm K=16.2\,\mathrm{mK}$。

用 $\Omega_bh^2=0.02237$、$\Omega_mh^2=0.1424$ 代入薄气体公式，得到 $16.4\,\mathrm{mK}$，相差1%，来自公式系数的舍入。气体在发亮，但很弱。$T_{\mathrm s}$ 已经远高于 $T_\gamma$，最后一个因子接近1，再加热到几百开以上，它也亮不了多少。

## 例题：没被加热的气体与饱和的吸收

去掉加热。固定保存的CAMB计算给出：没有天体加热时，$z=7.93$ 处气体温度 $T_K=1.72\,\mathrm K$。耦合不变，则 $T_{\mathrm s}=1.80\,\mathrm K$。

1. 光深：$\tau=0.0918$，约为上一例的一百倍。
2. 薄气体估计：$(1.80-24.34)\times0.0918/8.93\,\mathrm K=-232\,\mathrm{mK}$。
3. 完整公式：再乘以 $(1-e^{-\tau})/\tau=0.956$，得到 $-221\,\mathrm{mK}$。

冷气体投下的暗影，比热气体发的光深十倍以上。这里薄气体近似已经差了5%，气体更冷、更稠时差得更多。HERA的上限之所以能说明加热，靠的就是这道暗影有多深。

## 四个阶段的历史

复合以后残留的自由电子让气体温度跟微波背景绑在一起，直到 $1+z\approx150\,(\Omega_bh^2/0.023)^{2/5}$ 左右。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 66](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2) 之后气体绝热冷却，$T_K\propto(1+z)^2$，比背景的 $T_\gamma\propto1+z$ 降得快。固定的CAMB表里，$z=30$ 时气体为 $19.8\,\mathrm K$，背景为 $84.5\,\mathrm K$；$z=10$ 时气体为 $2.60\,\mathrm K$，背景为 $30.0\,\mathrm K$。

从早到晚读这段历史：

- 恒星出现以前，$x_\alpha$ 很小，$T_{\mathrm s}\approx T_\gamma$，天空几乎什么也看不到。
- 第一缕星光让 $x_\alpha$ 变大，$T_{\mathrm s}$ 降向冷气体，出现很深的吸收信号。
- X射线加热气体。$T_K$ 一旦超过 $T_\gamma$，信号变号，转为发射。
- 再电离消耗中性氢，$x_{\mathrm{HI}}$ 把信号压到零。

每个阶段什么时候发生，取决于第一批光源，目前还不知道。实验室把耦合和加热画成中点可调的平滑台阶。这些台阶是教学用的参数化，中点由你手动设定，好让每个阶段都能单独移动。

## 实验室任务

打开[21厘米宇宙黎明实验室](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-dawn-21cm-foregrounds/)，使用历史图。

1. 耦合手柄放在17，先预测加热手柄放在红移6，也就是观测频带之后时，频带中心的亮温是多少。拖过去检查：气体只比背景略冷，信号是约 $-1\,\mathrm{mK}$ 的淡淡暗影。再拖到9，看亮温升到约 $16\,\mathrm{mK}$。
2. 选“第一缕星光投下暗影”预设。只把耦合手柄移到红移10，也就是频带之后，解释亮温读数为什么趋向零而不是变成正值。
3. 在高级设置里把耦合最终强度先设为2，再设为100。每次对照自旋温度读数和气体曲线，解释亮温为什么从约 $11\,\mathrm{mK}$ 变到约 $17\,\mathrm{mK}$。

## 练习

1. 接收机调到 $120\,\mathrm{MHz}$ 时，收到的是哪个红移的氢？那里的 $T_\gamma$ 是多少？
2. 由自旋温度的关系式证明，$T_{\mathrm s}$ 总是介于 $T_K$ 和 $T_\gamma$ 之间。
3. $z=10$ 处气体 $T_K=2.60\,\mathrm K$，$x_{\mathrm{HI}}=1$，耦合很强。用薄气体公式估计 $\delta T_{\mathrm b}$，再判断真实值的大小是更大还是更小，并说明原因。
4. 某个模型恰好在 $z=9$ 把气体加热到 $T_K=T_\gamma$。不管耦合多强，此刻的21厘米信号是多少？

答案与解析

第1题，$1+z=1420.406/120=11.84$，所以 $z=10.84$，$T_\gamma=2.7255\times11.84=32.3\,\mathrm K$。

第2题，把关系式写成 $T_{\mathrm s}^{-1}=w\,T_\gamma^{-1}+(1-w)\,T_K^{-1}$，其中 $w=1/(1+x_\alpha)$ 在0和1之间。两个倒数温度的加权平均一定夹在它们中间，所以 $T_{\mathrm s}$ 介于 $T_K$ 和 $T_\gamma$ 之间。

第3题，$T_\gamma=29.98\,\mathrm K$，强耦合给出 $T_{\mathrm s}\approx2.60\,\mathrm K$。括号项为 $(0.15/0.1424\times1.1)^{1/2}=1.076$，重子因子为 $0.973$，于是 $\delta T_{\mathrm b}\approx27\times0.973\times1.076\times(1-29.98/2.60)\,\mathrm{mK}\approx-298\,\mathrm{mK}$。真实值的大小更小：这时 $\tau$ 不再很小，而 $1-e^{-\tau}<\tau$。

第4题，$T_K=T_\gamma$ 时两个被加权的温度相等，无论 $x_\alpha$ 多大都有 $T_{\mathrm s}=T_\gamma$。因子 $T_{\mathrm s}-T_\gamma$ 为零，信号也为零。亮温为零的气体也可能完全是中性的。

## 在实验室里试一试

[21厘米宇宙黎明与射电前景](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-dawn-21cm-foregrounds/)：把加热手柄拖过观测频带，看亮温怎样变号。

## 来源

1. [Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §2.1](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2)
2. [Pritchard and Loeb 2012, equation 7](https://arxiv.org/abs/1109.6012v2)

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从21厘米氢线听见第一批恒星 · 阅读路径

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