--- title: "亲手复算HERA上限，并经窗函数比较模型" description: "用HERA公开文件重建第一天区的七个上限，把两种模型历史经窗函数比较，再检查五种常见错误。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/recompute-hera-window-comparison/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/cosmic-dawn-21cm/recompute-hera-window-comparison/" last_modified: "2026-11-12" --- [从21厘米氢线听见第一批恒星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/) # 亲手复算HERA上限，并经窗函数比较模型 Sandbox Physics · 2026-11-12 只用一个简短的Python脚本和HERA一期的公开文件，就能把第一天区在 $k=0.19$ 到 $0.58\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 之间的七个上限一位不差地重建出来；再按论文要求的方式，经过窗函数，拿两种模型历史和它们比较。本指南给出文件、命令、预期输出，以及五种会改变结论的错误。 你需要知道什么是带功率、窗函数，以及规则 $U=\max(\hat\Delta^2,0)+2\sigma$。课程章节[把时延功率变成带功率](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/power-spectrum-window-and-signal-loss/)讲解了这些概念。 ## 文件及其性质 所有文件放在同一个文件夹里，都可以单独下载。 **表 5.1** 教程文件、内容及其标注。 | 文件 | 内容 | 标注 | | --- | --- | --- | | [hera-h1c-idr2-window-extract.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/materials/hera-h1c-idr2-window-extract.json) | HERA带功率、$1\sigma$、窗函数行和相邻协方差，三个天区、两个频带，$0.15\le k\le0.6$ | 真实观测，派生摘录 | | [model-spectra.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/materials/model-spectra.json) | 在HERA窗函数网格上的只含密度预测，分加热和冷两种历史 | 理想参考 | | [recompute\_window\_comparison.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/materials/recompute_window_comparison.py) | 脚本，只用标准库 | 方法 | | [expected-output.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/materials/expected-output.json) | 脚本应当写出的结果 | 核对 | | [MANIFEST.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/materials/MANIFEST.json) | 字节数、SHA-256、版本和单位 | 来源记录 | | [NOTICE.txt](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/materials/NOTICE.txt) | 来源、引用方式和再使用条件 | 来源记录 | 摘录取自HERA合作组公开发布的HERA\_2021\_pspec\_data.zip中的三个UVPSpec文件，下载于2026年11月12日，SHA-256为1c98d163...388d2c。论文写明，其表3、表4和图17、图18背后的数据是公开的。[HERA Collaboration 2022, Data section](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 发布页没有写许可协议，所以这份摘录仅供教学和核验，并请使用者引用原论文。用h5py和numpy读取HDF5文件的提取脚本保存在本站源代码仓库里，其中从时延到 $k$ 的换算按文件里记录的git版本，照hera\_pspec原样写出。[hera\_pspec conversions.py](https://github.com/HERA-Team/hera_pspec/blob/30c77f02567e87a2db36cdc2f92adef4552a43f1/hera_pspec/conversions.py) 模型文件不是HERA的产品，也没有拟合HERA数据。它就是实验室里的线性预测 $\Delta^2_{21}=\bar T_{\mathrm b}^2(1+\mu^2)^2\Delta^2_m$，取 $\mu=1$，用Eisenstein-Hu无振荡转移函数和Planck 2018参数。[Eisenstein and Hu 1998](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9709112v1) 加热历史在 $z=7.93$ 处 $\bar T_{\mathrm b}=16.2\,\mathrm{mK}$，冷历史为 $-221\,\mathrm{mK}$。 ## 运行 在放文件的文件夹里执行： ``` python3 -I recompute_window_comparison.py hera-h1c-idr2-window-extract.json model-spectra.json my-output.json ``` 这个参数让Python不从当前文件夹导入任何东西。脚本会打印： ``` redshift 10.38 k=0.256 U=(95.74)^2 mK^2 heated/U=0.0032 cold/U=0.375 k=0.384 U=(178.23)^2 mK^2 heated/U=0.0014 cold/U=0.163 k=0.512 U=(296.30)^2 mK^2 heated/U=0.0006 cold/U=0.076 redshift 7.93 k=0.192 U=(30.76)^2 mK^2 heated/U=0.0168 cold/U=3.132 k=0.320 U=(49.60)^2 mK^2 heated/U=0.0110 cold/U=2.063 k=0.448 U=(113.39)^2 mK^2 heated/U=0.0029 cold/U=0.542 k=0.576 U=(148.85)^2 mK^2 heated/U=0.0021 cold/U=0.389 ``` 然后把my-output.json和expected-output.json对照，只有Python版本一项允许不同。参考运行用的是Python 3.9.6，模型文件由Node v26.11.1导出。 如果某一行窗函数之和与一相差超过 $10^{-6}$，或模型网格与窗函数网格不一致，脚本会报错停下。 ## 第一步：重建上限 文件里的带功率排在 $\Delta k=0.064\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 的网格上。相邻的箱彼此相关，所以HERA的公开笔记本建议：要么每个频带只取最低的那个上限，要么隔一个箱取一个。脚本照笔记本的做法隔箱取值，第一频带从 $0.256$ 开始，第二频带从 $0.192$ 开始。[HERA Public Data Release 1, notebook](https://reionization.org/science/public-data-release-1/) **表 5.2** 由公开文件重建的第一天区带功率、误差与上限。 | 频带、红移 | $k$ | $\hat\Delta^2$ | $\sigma$ | $U$ | $\sqrt U$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 1，$z=10.4$ | 0.256 | 1708.7 | 3729.0 | 9166.8 | 95.74 | | 1，$z=10.4$ | 0.384 | 6829.8 | 12467.4 | 31764.6 | 178.23 | | 1，$z=10.4$ | 0.512 | 27953.9 | 29918.7 | 87791.2 | 296.30 | | 2，$z=7.9$ | 0.192 | 211.7 | 367.3 | 946.4 | 30.76 | | 2，$z=7.9$ | 0.320 | $-516.0$ | 1229.8 | 2459.7 | 49.60 | | 2，$z=7.9$ | 0.448 | 5974.1 | 3441.1 | 12856.3 | 113.39 | | 2，$z=7.9$ | 0.576 | 7409.6 | 7373.1 | 22155.8 | 148.85 | 功率单位为 $\mathrm{mK^2}$，$\sqrt U$ 单位为 $\mathrm{mK}$。两个标志性上限，$z=10.4$ 的 $(95.74)^2$ 和 $z=7.9$ 的 $(30.76)^2$，正是论文印出的数值。[HERA Collaboration 2022, §4.4](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 精确复现它们，同时检验了摘录和规则。 ## 第二步：让模型穿过窗函数 对每个保留的箱，脚本把HERA完整窗函数网格上的模型值乘以这个箱的窗函数行，再求和。它也给出箱中心处的模型值，方便你看窗函数到底起多大作用。在 $z=7.9$，冷历史在前两个箱超过上限，分别是 $3.13$ 倍和 $2.06$ 倍；加热历史在每个箱都不到上限的 $0.017$。在 $z=10.4$，两种历史都没有被排除。 这能说明什么、不能说明什么：完全耦合、从未加热的气体，即便只算密度起伏，在 $z=7.9$ 也被HERA第一天区的数据排除了。至于自旋温度或电离起伏很强的模型，这个模型没有包含这些项，所以对它们什么也说明不了。 ## 五种会改变结论的错误 脚本有意算出每一种错误，并把结果写在正确值旁边。 1. 保留负的估计值。$k=0.320$ 处估计值为 $-516.0$，直接加 $2\sigma$ 得到 $1943.7$，而不是 $2459.7\,\mathrm{mK^2}$，上限比数据所能支持的严了21%。 2. 只加 $1\sigma$。$k=0.192$ 处上限从 $946.4$ 降到 $579.0\,\mathrm{mK^2}$，这就不再是95%的上限了。 3. 不用窗函数。$k=0.192$ 处冷模型在箱中心为 $2893$，经窗函数为 $2964\,\mathrm{mK^2}$；加热模型为 $15.49$ 对 $15.87$。这里差别不大，但它让每一次比较都朝同一个方向偏。 4. 把 $h$ 换算了两次。HERA的 $k$ 已经以 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 为单位，再除一次 $h=0.6736$，每个点都挪到 $1.48$ 倍大的 $k$ 上，$0.192$ 处经窗函数的冷模型从 $2964$ 升到 $4604\,\mathrm{mK^2}$，高了55%。 5. 把每个原生箱都当成独立的。摘录里带有相邻箱之间的协方差，相关系数在第二频带为 $0.25$ 到 $0.31$，在第一频带为 $0.32$ 到 $0.33$。把七个原生箱当作独立数据合并，会高估数据的约束力。 ## 单位、约定与这次核验的边界 文件里的 $k$ 采用HERA的宇宙学参数，$H_0=67.27\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$。[HERA Collaboration 2022, §4](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 模型采用Planck 2018，$h=0.6736$。两者 $h$ 相差0.13%，对模型点位置的影响远小于 $0.031\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 的窗函数宽度，这里忽略不计，并记录在清单文件里。 估计值是交叉功率谱的实部，单位 $\mathrm{mK^2}$。误差是文件中协方差对角元的平方根；既然七个上限都与论文一致，它们就是论文表3和表4背后的误差棒。摘录里也有第二、第三天区，但比较只用第一天区，和论文的标志性上限一致。这不是似然分析。严格的约束要把相关的上限放进统计模型里处理。 ## 检查清单 - 运行前，对照MANIFEST.json核对每个文件的SHA-256。 - 用python3 -I运行，并把输出与expected-output.json对照。 - 对照论文确认七个上限，尤其是两个标志性数值。 - 负的估计值置零，加 $2\sigma$，隔箱取值。 - 让模型穿过窗函数行，$k$ 只按 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 换算一次。 - 画图时，HERA的数值标为真实观测，模型数值标为理想参考。 ## 在实验室里试一试 [21厘米宇宙黎明与射电前景](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-dawn-21cm-foregrounds/)：试试冷氢预设，把它的HERA比值和脚本输出对照。 ## 来源 1. [HERA Collaboration 2022, Data section](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 2. [hera\_pspec conversions.py](https://github.com/HERA-Team/hera_pspec/blob/30c77f02567e87a2db36cdc2f92adef4552a43f1/hera_pspec/conversions.py) 3. [Eisenstein and Hu 1998](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9709112v1) 4. [HERA Public Data Release 1, notebook](https://reionization.org/science/public-data-release-1/) ## 继续阅读 从21厘米氢线听见第一批恒星 · 阅读路径 ### 从氢的亮温走到HERA上限 1. [文章 **在明亮的射电天空下寻找早期宇宙的氢**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/finding-hydrogen-under-radio-foregrounds/) 2. [文章 **早期的氢为什么会在21厘米发亮或变暗**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/spin-temperature-and-21cm-brightness/) 3. [文章 **一条基线怎样把平滑的前景和氢分开**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/delay-spectrum-and-foreground-wedge/) 4. [文章 **把时延功率变成带功率，又不丢掉信号**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/power-spectrum-window-and-signal-loss/) 5. [当前页面 **亲手复算HERA上限，并经窗函数比较模型**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/recompute-hera-window-comparison/) 6. [文章 **读懂HERA第一批上限怎样避开前景**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/reading-hera-foreground-avoidance/)