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title: "把时延功率变成带功率，又不丢掉信号"
description: "把时延功率换成宇宙学单位，读懂窗函数，再用注入信号检查前景滤波会不会削掉氢。"
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last_modified: "2026-11-12"
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[从21厘米氢线听见第一批恒星](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/)

# 把时延功率变成带功率，又不丢掉信号

Sandbox Physics · 2026-11-12

时延谱要经过三步才成为宇宙学功率谱：先归一化，把望远镜的单位换成 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$；再把 $|k|$ 相同的模式平均；最后用窗函数说明每个报告值实际包含了哪些真实波数。凡是动过数据的步骤都可能削掉氢的信号，所以每个分析都要量出有多少信号留了下来。本章沿着HERA一期分析走一遍这几步，并在实验室里直接检验信号损失。

本章接着上一章的时延变换和换算量 $X$、$Y$。波数用 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，无量纲功率用 $\mathrm{mK^2}$。

## 从两份可见度到功率谱

HERA取两份噪声相互独立的数据，各自做时延变换得到 $\tilde V_1$ 和 $\tilde V_2$，把它们交叉相乘再归一化：

$$
\hat P(k_\perp,k_\parallel)=\frac{X^2Y}{\Omega_{pp}B}\,\tilde V_1\tilde V_2^{*}.
$$

$\Omega_{pp}$ 是波束平方对全天的积分，$B$ 是有效带宽。[HERA Collaboration 2022, equation 12](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 本系列沿用上一章的记号：$X$ 把角度换成横向距离，$Y$ 把频率换成视线方向距离。论文第13、14式里这两个字母的含义恰好对调，本系列的论文导读会讲怎样从单位判断哪个是哪个。

单位可以验证这个形式。$\tilde V$ 的单位是 $\mathrm{mK\,sr\,Hz}$。两份相乘，乘以每球面度 $(h^{-1}\mathrm{Mpc})^2$ 的 $X^2$ 和每赫兹 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$ 的 $Y$，再除以球面度和赫兹，剩下 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$。

用两份独立数据很关键。同一份可见度自乘，会给每个模式都加上噪声功率。交叉相乘没有噪声偏置，噪声平均为零，于是单个估计值可能是负的。[HERA Collaboration 2022, §4.1](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)

## 无量纲功率谱

宇宙学里通常报告

$$
\Delta^2(k)=\frac{k^3P(k)}{2\pi^2},
$$

它表示每个对数 $k$ 间隔对亮温方差的贡献，单位 $\mathrm{mK^2}$。[HERA Collaboration 2022, equation 15](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 开方后就是这个尺度上典型的亮温反差。

接着，HERA把柱坐标 $(k_\perp,k_\parallel)$ 上的估计值按 $|k|$ 分壳平均。每个格点按预期噪声功率平方的倒数加权，$k_\parallel$ 低于地平线加缓冲的格点权重为零。[HERA Collaboration 2022, §4.4](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)

## 窗函数

报告出来的带功率不是某一个波数上的功率。锥化窗和分箱会把相邻模式混在一起，所以估计值 $\hat{\mathbf p}$ 和真实带功率 $\mathbf p$ 之间隔着一个窗函数矩阵：

$$
\hat{\mathbf p}=\mathbf W\,\mathbf p .
$$

[HERA Collaboration 2022, equation 18](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) $\mathbf W$ 每一行之和为一，平坦的谱穿过它不变。HERA选了对角归一化，误差棒小，但相邻窗函数会重叠。[HERA Collaboration 2022, §4.1](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)

论文图18画出了第二频带、第一天区的窗函数。它们的第16和第84百分位离中位数 $0.031\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$；由于缓冲区，最低的那个窗函数在 $0.128\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 以下没有响应。[HERA Collaboration 2022, Fig. 18 and footnote 7](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 为了减少重叠，HERA隔一个原生模式报告一个。即便如此，从公开的协方差算出，相邻原生行之间的相关系数仍有 $0.25$ 到 $0.33$，计算过程见本系列的方法指南。

模型必须经过同一个窗函数，比较才公平：

$$
\hat m_\alpha=\sum_\beta W_{\alpha\beta}\,m_\beta .
$$

## 例题：让模型穿过HERA的窗函数

取实验室的加热历史和它在 $z=7.93$ 处只含密度的预测（下文介绍）。在HERA第一个带功率 $k=0.192\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处：

1. 在箱中心取值，模型为 $15.49\,\mathrm{mK^2}$。
2. 用窗函数那一行加权，得到 $15.87\,\mathrm{mK^2}$，高出2.5%，因为窗函数伸向更大的 $k$，那里 $\Delta^2$ 还在上升。
3. 冷历史经同样一步，从 $2893$ 变为 $2964\,\mathrm{mK^2}$。

这里窗函数只让结果变了百分之几。谱上若有尖锐的特征，影响会大得多；而为了前后一致，这一步总是要做。

## 从带功率到上限

HERA没有探测到信号。它把每个带功率变成95%置信的上限：负的估计值先置零，再加两倍误差棒：

$$
U=\max\left(\hat\Delta^2,0\right)+2\sigma .
$$

[HERA Collaboration 2022, §4.4](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1) 道理来自物理：真实的天空信号只会增加正的功率，噪声却可以往两边推。

第二频带、第一天区 $k=0.192$ 处，公开文件给出 $\hat\Delta^2=211.7\,\mathrm{mK^2}$、$\sigma=367.3\,\mathrm{mK^2}$，于是 $U=946.4\,\mathrm{mK^2}=(30.76\,\mathrm{mK})^2$，正是论文在 $z=7.9$ 的标志性上限。$k=0.320$ 处估计值为 $-516.0$，$\sigma=1229.8$；估计值置零后 $U=2459.7\,\mathrm{mK^2}=(49.60\,\mathrm{mK})^2$。

## 信号损失

每一步改动数据的处理都可能去掉一部分氢。HERA列出了四种已识别的损失，并对功率谱逐项修正。[HERA Collaboration 2022, §3.11, Table 2](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)

**表 4.1** 已识别的信号损失，HERA在最终功率谱中逐项修正。

| 步骤 | 第一频带功率损失 | 第二频带功率损失 |
| --- | --- | --- |
| 绝对定标 | 9% | 8% |
| 交叉耦合滤波 | 3% | 1% |
| 时间平均 | 1% | 1% |
| 冗余平均 | 1% | 1% |

论文指出，这些损失与尺度无关，也与再电离模型无关。HERA发表时还在准备中的一篇配套论文，把模拟天空送进几乎整条流程，在 $k\ge0.192\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处恢复出了一个真实感较强的模型。[HERA Collaboration 2022, §5](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)

标准的检验办法是注入信号：加入一份按 $A$ 放大的已知信号，做完全相同的处理 $T$，看能拿回多少：

$$
f=\frac{P\left[T(\mathrm{fg}+A\,s)\right]-P\left[T(\mathrm{fg})\right]}{A^2\,P(s)} .
$$

$f=1$ 表示什么都没丢。$A$ 取得足够大，前景与信号的交叉项就既掩盖不了损失，也伪造不出损失。实验室在所选处理实际使用的模式上计算 $f$，范围是 $0.05\le k\le0.6\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。

## 例题：避开楔形与平滑拟合

避开楔形只是丢掉一些模式，留下的模式一点不动。实验室默认记录里回收比例 $f=0.999$。

对每份可见度沿频率减去三阶多项式就不一样了。最小二乘拟合对数据是线性的，它在去掉前景的同时，也去掉了氢信号里恰好显得平滑的那部分。实验室里回收比例降到 $f=0.823$。更糟的是，在这个示意天空里，三阶拟合在所用模式上留下前景残余，达到氢功率的 $5.8\times10^{4}$ 倍。损失了18%的信号，却连干净的测量都没换来。真正做前景扣除的分析会用更仔细的模型，但同样必须做注入检验。

## 拿模型和上限比较

实验室的预测只保留密度起伏：

$$
\Delta^2_{21}(k)=\bar T_{\mathrm b}^2\,(1+\mu^2)^2\,\Delta^2_m(k),
$$

$\Delta^2_m$ 是线性物质功率谱，$\mu$ 是 $\mathbf k$ 与视线夹角的余弦。这是Furlanetto、Oh和Briggs给出的红移空间功率谱，令其中各向同性部分等于密度起伏，也就是没有自旋温度和电离的起伏。[Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §4.1, equation 107](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2) 物质功率谱采用Eisenstein-Hu无振荡转移函数。[Eisenstein and Hu 1998](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9709112v1) HERA保留的模式满足 $k_\perp\ll k_\parallel$，所以 $\mu\approx1$，那个因子等于 $4$。自旋温度、耦合和电离的起伏都没有算进去，所以它不是完整的模型。

经过窗函数后，加热历史（$\bar T_{\mathrm b}=16.2\,\mathrm{mK}$）在 $k=0.192$ 处只有上限的 $0.0168$。冷历史（$\bar T_{\mathrm b}=-221\,\mathrm{mK}$）在同一处是上限的 $3.13$ 倍，在 $0.320$ 处是 $2.06$ 倍。即使只用这个最简单的模型，$z=7.9$ 处完全耦合、从未加热的气体也被排除了。HERA的配套分析结论相近。在标准星系天体物理假设下，这些上限不利于这样的情形：气体从未被明显加热，温度始终接近单靠膨胀冷却所能达到的值。[HERA Collaboration 2022, §1](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)

## 实验室任务

打开[21厘米宇宙黎明实验室](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-dawn-21cm-foregrounds/)。

1. 读出默认状态下“注入信号的回收比例”。把前景处理切到平滑拟合，再读一次。然后在高级设置里提高拟合阶数，说说回收比例怎样变化。
2. 选“冷氢会超过HERA上限”预设。在HERA图里找出经窗函数的模型超过了哪些带功率：$z=7.9$ 应有两个，$z=10.4$ 一个也没有。比值读数应为 $3.13$。
3. 保持这个预设，在高级设置里把“加热带来的升温”提高一档，到 $10\,\mathrm K$。比值降到约 $0.02$。在这个只含密度的模型里，把气体从 $1.7$ 加热到约 $12\,\mathrm K$ 就足以通过上限，因为亮温从 $-221$ 变成了约 $-19\,\mathrm{mK}$。

## 练习

1. 设 $X$ 的单位是每弧度 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$，$Y$ 的单位是每赫兹 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$，验证 $X^2Y\,|\tilde V|^2/(\Omega_{pp}B)$ 的单位是 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$。
2. 第二频带、第一天区 $k=0.448$ 处，$\hat\Delta^2=5974.1\,\mathrm{mK^2}$，$\sigma=3441.1\,\mathrm{mK^2}$。求 $U$ 及其平方根。
3. 某一行窗函数在三个模式上的权重是 $0.2,0.6,0.2$，模型在这三处分别为 $10$、$20$、$40\,\mathrm{mK^2}$。求加权后的值，并与中心值比较。
4. 注入检验给出 $f=0.82$。测到的功率以及由它得到的上限，应乘以多大的修正因子？
5. 为什么单个带功率估计值可以是负的，由它得到的上限却不能？

答案与解析

第1题，$|\tilde V|^2$ 的单位是 $\mathrm{mK^2\,sr^2\,Hz^2}$。乘以 $X^2$（$h^{-2}\mathrm{Mpc^2\,sr^{-1}}$）和 $Y$（$h^{-1}\mathrm{Mpc\,Hz^{-1}}$），得到 $\mathrm{mK^2\,sr\,Hz}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$。再除以单位为球面度的 $\Omega_{pp}$ 和单位为赫兹的 $B$，剩下 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$。

第2题，估计值为正，$U=5974.1+2\times3441.1=12856.3\,\mathrm{mK^2}$，$\sqrt U=113.39\,\mathrm{mK}$，与论文公布值一致。

第3题，$0.2\times10+0.6\times20+0.2\times40=22\,\mathrm{mK^2}$，比中心值 $20$ 高10%。随 $k$ 上升的谱，经过对称的窗函数会被抬高。

第4题，真实功率只留下82%，所以测到的功率要除以 $0.82$，即乘以 $1.22$。修正损失总会抬高估计值和上限；不修正，上限就显得比实际更严。

第5题，两份独立的含噪数据交叉相乘，噪声部分均值为零，可能把某个估计值推到零以下。真实的天空信号只贡献正功率，真值至少是零。先把负估计值换成零再加 $2\sigma$，上限就不会比数据所能支持的更严。

## 在实验室里试一试

[21厘米宇宙黎明与射电前景](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cosmic-dawn-21cm-foregrounds/)：换成平滑拟合，对比它和避开楔形时注入信号的回收比例。

## 来源

1. [HERA Collaboration 2022, equation 12](https://arxiv.org/abs/2108.02263v1)
2. [Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §4.1, equation 107](https://arxiv.org/abs/astro-ph/0608032v2)
3. [Eisenstein and Hu 1998](https://arxiv.org/abs/astro-ph/9709112v1)

## 继续阅读

从21厘米氢线听见第一批恒星 · 阅读路径

### 从氢的亮温走到HERA上限

1. [文章 **在明亮的射电天空下寻找早期宇宙的氢**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/finding-hydrogen-under-radio-foregrounds/)
2. [文章 **早期的氢为什么会在21厘米发亮或变暗**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/spin-temperature-and-21cm-brightness/)
3. [文章 **一条基线怎样把平滑的前景和氢分开**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/delay-spectrum-and-foreground-wedge/)
4. [当前页面 **把时延功率变成带功率，又不丢掉信号**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/power-spectrum-window-and-signal-loss/)
5. [文章 **亲手复算HERA上限，并经窗函数比较模型**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/recompute-hera-window-comparison/)
6. [文章 **读懂HERA第一批上限怎样避开前景**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmic-dawn-21cm/reading-hera-foreground-avoidance/)