--- title: "为什么临界链在每个尺度上看起来都一样" description: "临界点上，自旋关联随距离按幂律下降，小环和大环重标后图样相同。用一条可精确求解的自由费米子链看清这一点。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/same-correlation-at-every-scale/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/conformal-bootstrap/same-correlation-at-every-scale/" last_modified: "2026-10-29" --- [共形 bootstrap](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/) L1 · 第 1 章 # 为什么临界链在每个尺度上看起来都一样 Sandbox Physics · 2026-10-29 把磁体调到临界点，它就不再有特征长度。关联随距离按幂律下降，而幂律不管用厘米量还是用公里量都长一个样。本章在一条可以精确求解的自旋链里说明这一点，并把它变成一个能在 16 个和 256 个自旋的环上做的检验。 ## 开始前需要什么 会用对数和幂律，知道自旋可以朝上或朝下。量子链只通过它算出的数字出现，不需要更多量子力学知识。 - 说明为什么幂律关联没有特征长度，而指数关联有。 - 用不同大小环上的重标关联，判断一条链是否处在临界。 ## 关联长度，以及它消失时会发生什么 挑一个自旋，问相隔 $r$ 个格点的自旋在多大程度上跟着它。离开临界点时，这个关联按指数衰减，衰减长度 $\xi$ 就是一块关联区域的典型大小。用 $\xi$ 作距离单位，这类系统看起来都差不多。 到了临界点，$\xi$ 无限增大，剩下的是幂律。从哪里出发都一样：距离加倍，关联总是乘上同一个因子 $2^{-\eta}$，没有哪个长度是特殊的。 $$ C(r)\sim e^{-r/\xi}\ \ (\text{off critical}),\qquad C(r)\propto r^{-\eta}\ \ (\text{critical}) $$ 指数 $\eta$ 由临界点本身决定，与材料细节无关。二维 Ising 普适类中它等于 $1/4$。 来源：S. Rychkov ## 一条可以精确求解的链 横场 Ising 链里，自旋与近邻以强度 $J$ 耦合，横场 $h$ 则试图把它们翻转。$hJ$ 时无序。$h=J$ 时链处于临界，属于二维 Ising 普适类。 映射成自由费米子后，$N$ 个自旋组成的环的基态可以精确写出，关联是一个 $r$ 阶行列式。环上进入幂律的距离是弦长 $(N/\pi)\sin(\pi r/N)$，间距很小时它就等于 $r$。 $$ H=-J\sum_i\sigma^x_i\sigma^x_{i+1}-h\sum_i\sigma^z_i,\qquad C(r)=\langle\sigma^x_0\sigma^x_r\rangle\propto\Bigl[\tfrac{N}{\pi}\sin\tfrac{\pi r}{N}\Bigr]^{-1/4} $$ 第二个式子在临界横场下、间距远大于一个格点时成立。 $N=16$ 个自旋组成的环。临界场下，两个自旋的关联只通过弦长 $(N/\pi)\sin(\pi r/N)$ 的一个幂次依赖于距离，所以乘以 $N^{1/4}$ 后，不同大小的环落在同一条曲线上。示意图。 来源：G. B. Mbeng · D. Simmons-Duffin ## 检验：重标后再比较 如果 $C$ 只通过弦长的 $-1/4$ 次幂依赖 $r$ 和 $N$，那么 $N^{1/4}C(r)$ 只依赖比例 $r/N$。各种大小的环都应落在同一条曲线上。这是一个明确、可以被否定的预言。 有序相里关联趋于常数，$N^{1/4}C$ 随环变大而变大；无序相里几个格点之外关联就消失了。只有在临界横场下，曲线才会重合。 来源：G. B. Mbeng ## 完整例题：临界横场下 16 到 256 个自旋的环 取 $h=J$，间距 $r=N/8$。$N=16$、$64$、$256$ 时精确关联分别是 $0.5439$、$0.3859$、$0.2729$，相差一倍；而 $N^{1/4}C$ 分别是 $1.0878$、$1.0915$、$1.0918$。小环差千分之四，两个大环在四位数字内一致。 在 256 格点的环上，从 $r=N/4$ 到 $r=N/2$，弦长增大 $\sqrt2$ 倍，关联降为 $2^{-1/8}\approx0.917$ 倍。由这个比值得到 $\eta=0.2500$，四位数字都对。 取 $h=0.8J$，256 格点环上半环处的关联是 $0.7746$，与 $(1-h^2/J^2)^{1/4}$ 六位数字一致：这是一个有限的平台，即磁化强度的平方。这时乘上 $N^{1/4}$，环越大就越亮。 ## 到实验里试一试 ### [让各个环重合](https://sandboxphysics.com/zh/labs/critical-chain-scaling/) 1. 从临界预设开始。先预测：重标后，五个环的颜色会一样吗？ 2. 跟着探针转一圈，确认第一张图里的曲线彼此重合。 3. 把横场调到 0.9，再调到 1.1，描述两种相里各环怎样分开。 ### [同一条链，换成短链并离开平衡](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-spin-chain-quench/) 1. 选择“没有翻转的整链淬火”，查看“连通关联”。Hamiltonian 相同，只是换成四到八个自旋的开放链。 2. 先预测再看：这么短的链能显出干净的幂律吗？把它的长度和临界环上用到的间距比一比。 ## 练习与解答 1. 若 $C\propto r^{-1/4}$，间距从 10 增大到 160 个格点，关联降为原来的几分之几？ 展开解答 距离增大 16 倍，关联降为 $16^{-1/4}=1/2$。 2. 为什么指数衰减会挑出一个长度，而幂律不会？ 展开解答 对 $e^{-r/\xi}$，每往外走 $\xi$ 总要付出因子 $e$，所以 $\xi$ 是天然的单位。对 $r^{-\eta}$，只有距离之比才重要：在任何尺度上加倍，代价都是 $2^{-\eta}$。 3. 临界横场下 128 个自旋的环给出 $C(16)=0.3246$。估计 256 个自旋的环上 $C(32)$。 展开解答 两点都在 $r/N=1/8$，$N^{1/4}C$ 相同：$C\approx0.3246\times(128/256)^{1/4}=0.2729$，与精确值四位一致。 [下一章：共形对称把临界点归结为一张算符清单](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/conformal-symmetry-and-operators/) ## 来源与复算范围 1. [D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)](https://arxiv.org/abs/1602.07982v1) 第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。 2. [S. Rychkov, EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D ≥ 3 Dimensions, arXiv:1601.05000v2 (2016)](https://arxiv.org/abs/1601.05000v2) 第 2 版。第 1.1 节：不动点与临界点的标度不变性。第 1.3.4 节：初级算符的变换规则。第 2.2 节：初级标量的两点与三点函数。第 3.1.3—3.1.4 节：态—算符对应与柱面图像。第 3.3 节：算符乘积展开。第 4.3.1 节，式 (4.14)—(4.16)：极小模型，以及二维 Ising 模型的中心荷、自旋算符与能量算符的量纲。 3. [G. B. Mbeng, A. Russomanno and G. E. Santoro, The quantum Ising chain for beginners, arXiv:2009.09208v2 (2020)](https://arxiv.org/abs/2009.09208v2) 第 2 版。第 1—3 节：用 Jordan-Wigner 变换把链映成自由费米子。式 (55)：均匀链的准粒子能量，横场 Ising 环是其中完全各向异性的情形。式 (247)—(249)：基态关联函数写成行列式。课程据此计算周期横场 Ising 环，并用八格点精确对角化核对。