---
title: "共形场论与 bootstrap：只靠自洽能证明什么"
description: "从一条临界自旋链出发，写出交叉方程，用一个不等式排除整类谱，并在上限的拐点上找到二维 Ising 模型。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/conformal-bootstrap/"
last_modified: "2026-10-30"
---

[共形 bootstrap](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/)

FR37 · 连续互动课程

# 共形场论与 bootstrap：只靠自洽能证明什么

Sandbox Physics · 2026-10-29

在临界点上，磁体会忘掉它的微观细节。剩下的东西可以用一短串数描述，而这些数必须以一种出奇刚性的方式彼此吻合。本课程展示：仅凭这种刚性，就能排除大多数候选理论；二维 Ising 模型就出现在剩余区域的边缘上。

[从一条临界链开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/same-correlation-at-every-scale/) 先动手试试

二维中最大允许的 $\Delta_\varepsilon$ 随 $\Delta_\sigma$ 的变化，由本课程复算：四阶导数（虚线）与八阶导数（实线）。圆点是幺正极小模型，第一个是位于 $(1/8,\,1)$ 的 Ising 模型。曲线上方被排除。

## 从一条临界自旋链，到一篇已发表的上限

第一章用能精确求解的自旋环，说明临界链在每个尺度上看起来都一样。第二章把这一点变成一张算符清单，并从能级读出它们的量纲。第三章用两种方式写出同一个四点函数，要求两者相等；第四章在精确满足这一要求的自由场上检验它。第五章用一个不等式排除整类谱，第六章审查这样的上限证明了什么、没证明什么。第七章在二维上限的拐点上找到 Ising 模型，最后一章读 Lab 所复现的那张已发表的表和图。

需要幂律、泰勒级数和向量。共形块、算符展开和线性规划在第一次用到时再介绍。 [FR37](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/67)

1. 01 · L1

   ## [为什么临界链在每个尺度上看起来都一样](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/same-correlation-at-every-scale/)

   临界点上，自旋关联随距离按幂律下降，小环和大环重标后图样相同。用一条可精确求解的自由费米子链看清这一点。

2. 02 · L2

   ## [共形对称把临界点归结为一张算符清单](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/conformal-symmetry-and-operators/)

   标度不变性扩展成共形对称，它确定两点与三点函数的形式。临界理论于是归结为算符的量纲、自旋和 OPE 系数。

3. 03 · L2

   ## [同一个四点函数展开两次，得到交叉方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/four-point-function-two-expansions/)

   四点函数可以围绕任意一对点展开。两种求和必须给出同一个数，这一要求就是 bootstrap 方程。

4. 04 · L2

   ## [自由场精确满足交叉方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/free-fields-as-exact-solutions/)

   广义自由场精确满足交叉方程，而且每个 OPE 系数都为正。它们是 bootstrap 的检验样例，也标出上限可能落在哪里。

5. 05 · L3

   ## [一个线性泛函怎样排除一整类谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/linear-functionals-and-exclusion/)

   对交叉方程作用一个线性泛函。若它在每个允许的算符上都为正，带这个间隙的谱就不可能存在。

6. 06 · L3

   ## [数值 bootstrap 上限证明了什么，没证明什么](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/what-a-bound-proves/)

   上限的可靠程度取决于它的假设、采样和算术。本章一步步审查一次排除，把证据和证明分开。

7. 07 · L4

   ## [二维上限的拐点，以及落在拐点上的 Ising 模型](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/two-dimensional-ising-kink/)

   二维时，标量间隙上限在 Ising 模型处急转弯。本章测量这个拐点，并检查哪些截断会假造它。

8. 08 · L4

   ## [怎样读 TASI bootstrap 讲义的表 1 与图 27](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/reading-the-tasi-bounds/)

   阅读 TASI 讲义中二维 bootstrap 上限的指南：每条轴、曲线和点的含义，以及三个表格数值与 Lab 的比较。

## 沿途的实验

[01 **放大一条临界自旋链** 把一圈量子自旋调到临界场，看关联在每种尺寸下都按同一个幂律衰减。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/critical-chain-scaling/) [02 **把一个关联函数展开两次** 分别围绕两对点把交换算符加起来，再改动谱，看两种求和怎样分开。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/crossing-two-expansions/) [03 **用一个泛函排除一种谱** 把间隙调高，直到一个线性泛函把单位算符和所有允许的算符分开，看上限逼近自由费米子。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/linear-functional-exclusion/) [04 **描出二维上限和它的拐点** 描出二维中标量间隙的最大允许值，找到 Ising 模型处的拐点，并检查哪些截断会假造更强的上限。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/bootstrap-bound-robustness/)

这些实验中的上限来自一个只在采样量纲上检查正性的线性规划。每个结果都是数值证据，并如实标注；用来对照的发表值单独列出。

## 来源与复算范围

1. [D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)](https://arxiv.org/abs/1602.07982v1)

   第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。

2. [D. Mazáč, Analytic bounds and emergence of AdS2 physics from the conformal bootstrap, arXiv:1611.10060v1; JHEP 04 (2017) 146](https://arxiv.org/abs/1611.10060v1)

   第 1 版。式 (2.12)—(2.17)：直线上全同算符的四点函数、交比、单变量共形块与交叉方程。式 (2.18) 与图 2：数值间隙上限；正文说导数越多，它越收敛到外算符量纲的两倍加一。式 (2.19)—(2.23)：取到这个上限的广义自由费米子，以及极值泛函的零点。图 1：典型极值泛函的作用。

3. [D. Gaiotto, D. Mazáč and M. F. Paulos, Bootstrapping the 3d Ising twist defect, arXiv:1310.5078v2; JHEP 03 (2014) 100](https://arxiv.org/abs/1310.5078v2)

   第 2 版。第 4.1 节：一维广义自由场。式 (4.17) 与 (4.20) 给出费米子解和玻色子解的交换量纲与 OPE 系数；课程把它们重新求和，与解析的关联函数比较。

4. [S. Rychkov, EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D ≥ 3 Dimensions, arXiv:1601.05000v2 (2016)](https://arxiv.org/abs/1601.05000v2)

   第 2 版。第 1.1 节：不动点与临界点的标度不变性。第 1.3.4 节：初级算符的变换规则。第 2.2 节：初级标量的两点与三点函数。第 3.1.3—3.1.4 节：态—算符对应与柱面图像。第 3.3 节：算符乘积展开。第 4.3.1 节，式 (4.14)—(4.16)：极小模型，以及二维 Ising 模型的中心荷、自旋算符与能量算符的量纲。

5. [G. B. Mbeng, A. Russomanno and G. E. Santoro, The quantum Ising chain for beginners, arXiv:2009.09208v2 (2020)](https://arxiv.org/abs/2009.09208v2)

   第 2 版。第 1—3 节：用 Jordan-Wigner 变换把链映成自由费米子。式 (55)：均匀链的准粒子能量，横场 Ising 环是其中完全各向异性的情形。式 (247)—(249)：基态关联函数写成行列式。课程据此计算周期横场 Ising 环，并用八格点精确对角化核对。

6. [H. W. J. Blöte, J. L. Cardy and M. P. Nightingale, Conformal invariance, the central charge, and universal finite-size amplitudes at criticality, Phys. Rev. Lett. 56, 742 (1986)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.56.742)

   只读了摘要，没有打开论文正文，所以课程中没有任何公式或数值取自这篇文章。摘要说，临界条带自由能的有限尺寸修正，其幅度与中心荷成线性关系。课程使用的系数取自下面 Cardy 的讲义。

7. [J. Cardy, Conformal Field Theory and Statistical Mechanics, Les Houches lectures, arXiv:0807.3472v1 (2008)](https://arxiv.org/abs/0807.3472v1)

   第 1 版。第 5.1 节，式 (19) 及其后的正文：周长为 L 的柱面上，哈密顿量由标度量纲和中心荷决定，所以基态能量含有带中心荷的普适项，激发能隙给出标度量纲。讲义把速度取为一，课程补回链的速度。

8. [S. Rychkov and A. Vichi, Universal constraints on conformal operator dimensions, arXiv:0905.2211v2; Phys. Rev. D 80, 045006 (2009)](https://arxiv.org/abs/0905.2211v2)

   第 2 版。式 (2.8)：用共形块写出的交叉求和规则。第 3 节，式 (3.1)—(3.2)：正性论证，即用对称点处导数构成的线性泛函排除一种谱。表 2：该文的二维上限。

9. [D. Mazáč and M. F. Paulos, The analytic functional bootstrap. Part II, arXiv:1803.10233v2; JHEP 05 (2019) 088](https://arxiv.org/abs/1803.10233v2)

   第 2 版。第 4 节：一维极值泛函，以及最优间隙上限等于外算符量纲的两倍加一，由广义自由费米子取到。

10. [D. Poland, S. Rychkov and A. Vichi, The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques, and Applications, arXiv:1805.04405v3; Rev. Mod. Phys. 91, 015002 (2019)](https://arxiv.org/abs/1805.04405v3)

    第 3 版。第 IV.A 节：在离散化的量纲集合上做线性规划，综述称这种做法已经过时，但有教学价值。第 IV.B 节：半定规划，用多项式近似对所有量纲施加正性，并截断自旋，求解器用高于机器精度的算术。图 5：能或不能以正系数相加为零的向量，以及分隔平面。图 7：三维单个关联函数的上限，Ising 模型位于拐点附近。图 12、14、15：混合关联函数得到的三维 Ising 孤岛。表 II：三维 Ising 模型的稳定算符。孤岛与该表只作阅读材料。

11. [S. Rychkov and N. Su, New developments in the numerical conformal bootstrap, arXiv:2311.15844v3 (2024)](https://arxiv.org/abs/2311.15844v3)

    第 3 版。第 2 节：求解器 SDPB 使用任意精度算术，因为矩阵病态。第 3 节：标准做法，即在对称点取导数、用多项式近似共形块的导数，再求解半定可行性问题。第 4.2 节脚注 18：即使在已发表的误差棒里，也仍有一些近似并不完全严格。第 6.3.1 节：严格误差棒与非严格误差棒的比较。