---
title: "自由场精确满足交叉方程"
description: "广义自由场精确满足交叉方程，而且每个 OPE 系数都为正。它们是 bootstrap 的检验样例，也标出上限可能落在哪里。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/free-fields-as-exact-solutions/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/conformal-bootstrap/free-fields-as-exact-solutions/"
last_modified: "2026-10-29"
---

[共形 bootstrap](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/)

L2 · 第 4 章

# 自由场精确满足交叉方程

Sandbox Physics · 2026-10-29

在问哪些谱被排除之前，最好先手里有几份一定成立的谱。广义自由场是最简单的一类：四点函数只由两点函数拼成，交叉方程自动成立，交换算符的清单可以一行行读出来。下一章它会再次出现，恰好落在一维上限上。

## 开始前需要什么

上一章的交叉方程和共形块展开，以及泰勒级数。不需要知道自由场怎样从拉格朗日量产生。

- 写出广义自由玻色子和费米子四点函数的解析形式，以及它们的交换谱。
- 从泰勒级数读出 OPE 系数，并理解截断求和为什么会在偏离 z 等于二分之一处破坏交叉方程。

## 由两两配对拼成的关联函数

广义自由场的四点函数，是把四个点两两配对的三种方式加起来，每一对贡献一个两点函数。费米子有一种配对带负号。在直线上就得到下面的解析式。

交换 $z$ 和 $1-z$ 只是把三种配对重新排列，所以交叉方程精确成立。交换算符没有一个是人为放进去的，它们都来自展开这个解析式。

$$
A_\psi(z)=1+\Bigl(\frac{z}{1-z}\Bigr)^{2\Delta_\psi}-z^{2\Delta_\psi},\qquad A_\phi(z)=1+\Bigl(\frac{z}{1-z}\Bigr)^{2\Delta_\phi}+z^{2\Delta_\phi}
$$

对任意外算符量纲都成立。例题取 $\Delta=1/2$。

来源：D. Gaiotto · D. Mazáč

## 交换的算符

把解析式按共形块展开，得到一串双粒子算符。费米子交换的量纲是 $2\Delta_\psi+1$、$2\Delta_\psi+3$ 等；玻色子低一级，从 $2\Delta_\phi$ 开始。

每个系数 $c_n^2$ 都为正，并随 $n$ 迅速减小。取 $\Delta=1/2$，费米子的值是 $1$、$1/10$、$1/126$、$1/1716$，玻色子的值是 $2$、$1/3$、$1/35$、$1/462$。

$$
\Delta_n^{\psi}=2\Delta_\psi+2n+1,\qquad \Delta_n^{\phi}=2\Delta_\phi+2n,\qquad n=0,1,2,\dots
$$

费米子在第一级之下没有任何算符。下一章的上限讲的正是这段空白。

来源：D. Gaiotto

## 完整例题：从泰勒级数读出系数

取 $\Delta_\phi=1/2$ 的玻色子。解析式减去单位算符是 $2z+z^2+z^3+\dots$。最轻的共形块是 $k_1=-\log(1-z)$，比较 $z$ 项得 $c_1^2=2$。

于是 $2k_1$ 给出系数为 $1$ 的 $z^2$ 项，已经吻合，不需要量纲 $2$ 的算符。到 $z^3$，它只给出 $2/3$，而需要的是 $1$。差额由块 $k_3=z^3+\dots$ 补上，$c_3^2=1/3$。

对费米子同样逐项比较：$z^2$ 项给出 $c_2^2=1$，$z^4$ 项给出 $c_4^2=1-9/10=1/10$。这些数和通式印出的每一位都相同，而两边是各自独立算出来的。

用这些系数，两个玻色子算符就给出 $A(0.3)=1.728406$，精确值是 $1.728571$；完整求和吻合到六位。

$$
A_\phi(z)-1=2z+z^2+z^3+\dots,\qquad k_1(z)=-\log(1-z)=z+\tfrac12z^2+\tfrac13z^3+\dots
$$

逐次比较 $z$ 的各次幂，每次确定一个系数，同时看出哪些量纲不出现。

来源：D. Gaiotto · D. Mazáč

## 截断带来什么

只保留费米子的前三个算符。在 $z=1/2$ 处交叉残差严格为零，因为两边在同一点取值。在 $z=0.8$ 处是 $-4.46\times10^{-3}$，到 $z=0.9$ 处达到 $-3.36\times10^{-2}$。保留十个算符，$z=0.9$ 处的残差降到 $-5.87\times10^{-6}$。

这才是数值结论的诚实说法：有限的谱只能近似满足交叉方程，误差大小取决于看哪里。在 $z=1/2$ 处两个通道收敛得一样快，所以数值研究在那里对交叉方程求导。

来源：D. Mazáč · D. Simmons-Duffin

## 到实验里试一试

### [比较费米子和玻色子](https://sandboxphysics.com/zh/labs/crossing-two-expansions/)

1. 打开自由玻色子预设，记下第一个交换算符，再与自由费米子预设比较。
2. 先预测第一个系数错了时残差曲线的样子，再选那个预设。
3. 用“算符太少”预设，把点拖向右端，看残差怎样增大。

## 练习与解答

1. 外算符量纲 $\Delta_\psi=0.8$ 的费米子，第一个交换算符的量纲是多少？

   展开解答

   $2\Delta_\psi+1=2.6$。单位算符和这个值之间没有任何算符。

2. 利用 $\Delta_\psi=1/2$ 时的 $A_\psi-1=z^2+z^3+z^4+\dots$ 和 $k_2=z^2(1+z+\tfrac{9}{10}z^2+\dots)$，说明不会出现量纲为 $3$ 的算符。

   展开解答

   取 $c_2^2=1$，块 $k_2$ 已经给出系数为 $1$ 的 $z^3$ 项，正好是 $A_\psi$ 所需要的。量纲 3 的算符会多出一个 $z^3$ 项，所以它的系数必须为零。

3. 把费米子系数 $c_4^2$ 改成负号，其余不变。交叉方程还成立吗？

   展开解答

   不成立。$z=0.3$ 处的交叉残差变成 $0.114$。何况负的 $c^2$ 在幺正理论里本来就不允许。

[上一章：同一个四点函数展开两次，得到交叉方程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/four-point-function-two-expansions/) [下一章：一个线性泛函怎样排除一整类谱](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/linear-functionals-and-exclusion/)

## 来源与复算范围

1. [D. Simmons-Duffin, TASI Lectures on the Conformal Bootstrap, arXiv:1602.07982v1 (2016)](https://arxiv.org/abs/1602.07982v1)

   第 1 版。式 (157)—(158)：四点函数写成对各共形多重态的求和，每个多重态贡献一个共形块。式 (164)—(168)：共形块满足的 Casimir 方程，以及二维中由单变量函数 k 构成的闭合形式。式 (194)—(199) 及第 10.5—10.7 节：全同标量的交叉方程写成向量之和、导数泛函，以及标量间隙上限所用的假设。图 26：二维交叉向量。图 27 与表 1：导数截断 6 到 28 的二维上限，以及 Ising 点的拐点。图 28：带拐点的三维上限。

2. [D. Mazáč, Analytic bounds and emergence of AdS2 physics from the conformal bootstrap, arXiv:1611.10060v1; JHEP 04 (2017) 146](https://arxiv.org/abs/1611.10060v1)

   第 1 版。式 (2.12)—(2.17)：直线上全同算符的四点函数、交比、单变量共形块与交叉方程。式 (2.18) 与图 2：数值间隙上限；正文说导数越多，它越收敛到外算符量纲的两倍加一。式 (2.19)—(2.23)：取到这个上限的广义自由费米子，以及极值泛函的零点。图 1：典型极值泛函的作用。

3. [D. Gaiotto, D. Mazáč and M. F. Paulos, Bootstrapping the 3d Ising twist defect, arXiv:1310.5078v2; JHEP 03 (2014) 100](https://arxiv.org/abs/1310.5078v2)

   第 2 版。第 4.1 节：一维广义自由场。式 (4.17) 与 (4.20) 给出费米子解和玻色子解的交换量纲与 OPE 系数；课程把它们重新求和，与解析的关联函数比较。