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title: "复算论文中的一张图，再检验公开喷注谱"
description: "读懂 Cowan 图 7，复算背景已知的计数例，再用留出 CMS 喷注箱检验有限形状模型。"
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last_modified: "2026-10-26"
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[从碰撞事件走到粒子物理推断](https://sandboxphysics.com/zh/stories/collider-qcd/)

FR03 · L4 · 第 8 章，共 8 章

# 复算论文中的一张图，再检验公开喷注谱

读懂 Cowan 图 7，复算背景已知的计数例，再用留出 CMS 喷注箱检验有限形状模型。

读前准备第 2、4、6 章。先看清坐标轴和数据列，再运行复算。

Sandbox Physics · 2026-10-26

先打开 Cowan 等人的 arXiv:1007.1727v3，翻到第 5.1.1 节和图 7。我们先复算背景已知的计数例，再取一份冻结的 CMS 喷注表，检验简单形状能外推多远。前一项复算指定的已发表统计结果；后一项提出的范围比 CMS 的 QCD 分析窄得多：一个低阶经验形状，究竟能把公开谱描述到什么程度？

## 图 7 把平滑近似与离散计数放在一起

横轴是预计背景数，保存的计算从 0.1 扫到 100。论文分别取两个、五个和十个信号事件。纵轴是背景已知时，发现显著性近似的中位数。这个例子只有一个计数区，没有干扰参数，也没有扫描未知信号质量。

式 (96) 给出某个观测计数对应的单边似然比统计量平方根。式 (97) 再把观测计数换成信号与背景之和，称为 Asimov 值。信号预计数为 $s$、背景为 $b$ 时，得到

$$
Z_A=\sqrt{2\left[(s+b)\ln(1+s/b)-s\right]}.
$$

展开对数，只有信号远小于背景时，才能进一步近似为信号除以背景平方根。除了总计数，还要检查信号与背景的比值。

## 不用随机数，也能复算台阶

在均值为 $s+b$ 的泊松分布中，找累计概率首次达到一半的最小整数，就选定了一种离散中位数。把这个整数代入式 (96)，得到统计量平方根的精确泊松中位数。若想把它换成精确有限样本的高斯等效尾部显著性，还得另算零假设上尾概率。

信号取二、背景取 0.1，中位计数是二。Asimov 表达式给出约 2.964，离散中位数对应的平方根约为 2.861。差别来自计数的离散性。保存的计算覆盖 183 组信号与背景；另用数值优化直接最大化泊松似然，与解析统计量的最大绝对差约为 $2\times10^{-13}$。

运行仓库的 cowan-counting-benchmark.py 可以重新生成表格。下载的 JSON 写明论文版本、公式号、信号数和背景范围。配图重新计算的是图 7 中这个限定部分，论文中带干扰参数的其他例子另需复算。

## 拟合以前，先固定一份实测数据产品

采用 HEPData 记录 115022 的第二版：谱表 ak4\_xsec\_ybin1，以及第五表的相关矩阵。它包含 CMS 在 13 TeV 质子碰撞中测得的 22 个已发表展开箱，横向动量从 97 到 3103 GeV，反 kT 半径为 0.4，绝对快度小于 0.5。谱表单位为 $\mathrm{pb/GeV}$，其中 $1\ \mathrm{pb}=10^{-40}\ \mathrm{m}^2$。这里拿到的是已发表的粒子级谱值，不是原始碰撞事件，也没有重新做一遍展开。

来源文件固定了表格 DOI、文件名、字节数、SHA-256 摘要和 CC0 数据许可。论文固定为 arXiv:2111.10431v3，并另外链接 2022 年 12 月增补。增补修订了强耦合解释，不能再把旧摘要中的拟合数值当作修订结果。本练习不提取强耦合或威尔逊系数。

## 预测要在整个箱内平均

谱下降很陡，箱中心的曲线值可能明显偏离箱平均。应按发表的边界积分，再除以箱宽。经验模型令 $u=\ln(p_T/(500\ \mathrm{GeV}))$，写成

$$
f(p_T)=e^{a-nu+ku^2}\ \mathrm{pb/GeV},\qquad \bar f_i=\frac{1}{p_{T,i}^{\mathrm{high}}-p_{T,i}^{\mathrm{low}}}\int_{p_{T,i}^{\mathrm{low}}}^{p_{T,i}^{\mathrm{high}}}f(p_T)\,dp_T.
$$

曲率 $k$ 为零时是幂律；放开它，允许对数斜率随动量改变。两种式子都没有包含 QCD 预言所需的部分子分布、微扰硬系数和非微扰修正。

只用前十二箱、直到 967 GeV 来估计参数，把更高的十箱留作外推。留出箱与训练箱共享系统相关性，这项外推始终保留这些依赖。

## 系统变化的正负号和展开相关都要留下

第五表给出一项合并成分在展开后的相关性：统计误差与逐箱不相关系统误差的组合。谱表中各个有名称、带正负号的系统变化另构成相关成分。计算在这个单一快度区间内为它们构造外积，再使用对数截面线性化协方差作广义最小二乘。

这是明确定义的近似：没有跨快度或理论协方差，也不报告预测 p 值与拟合参数误差。论文图 3 展示的是另一个喷注半径的矩阵；本练习采用相应的 AK4 表，并把它与图 3 的来源分开标明。

## 两个简单形状都没通过精度检验

幂律在训练区的统计量约为 5673，自由度十；允许曲率以后降到约 164，自由度九。在给出的实验精度下，两者在训练区就已经不够好。留出区内，预测相对数据的分数残差均方根分别约为 36.8 和 2.60。这是无量纲比值，2.60 表示百分之二百六十，不是百分之二点六。

带曲率的外推比较接近，离精密描述仍很远。这种失败没有提供新粒子的证据，它说明：即使拿真实发表数据，选错方便的背景形状，也能留下巨大残差。幂律箱积分的解析结果与独立数值积分相差约 $7\times10^{-16}$；这项检查检验积分的数值精度，模型是否适当仍由数据比较判断。

## 再比较一份已发表的 QCD 模型修正包络

同一数据版本还提供第四十九表的非微扰修正，以及第四十一表的电弱修正。论文把非微扰因子定义为模拟截面之比：分子包含簇射、多重部分子相互作用与强子化，分母只保留簇射。PYTHIA 8 CP1 与 HERWIG++ EE5C 给出的平滑包络估计模型依赖。表中给出中点与半宽，不能自行把上下端分别贴上某个生成器的名字。

第一个动量箱的非微扰因子为 0.96555，包络半宽为 0.036159。中心值乘单独列出的电弱因子 0.99888，得到约 0.964469；最后一个箱的组合中心因子约为 1.08471。这些无量纲模型修正与实测截面分列保存。电弱表没有给误差，也不能据此把理论误差认作零。

配图复算第 4.3 节、式 (4) 与图 5a 相关的中央快度切片。这里使用已发表模型因子，没有重新运行簇射、强子化生成器或固定阶计算。这样，除了经验形状的外推，还能具体比较一份公开的模型依赖。

## 按同样步骤再做一次

运行 public-spectrum-benchmark.py，比较保存的训练分界、拟合系数和残差数组。若想改变分界，要另存一项有标签的研究。判断结论变化来自模型、拟合动量范围，还是不确定度假设；冻结的数据表保持原样。

再回到反 kT 论文的式 (1) 和图 1，按第 4 章的距离比较，推导孤立硬粒子的软捕获半径。这检验了明确的解析极限。若要重现整幅图，还需要原来的生成器事件、幽灵粒子定义和聚类面积设置。

## 复用结果以前，先回答三个问题

问题一：为什么在对数轴上看着贴得不错，并不足以说明拟合好？

答案：对数图把跨越很多数量级的谱压在一张图里，大的相对偏差也可能不显眼。应比较箱平均和带相关性的残差。这里的训练统计量把缩略图容易掩盖的失败显示出来。

问题二：能把这个谱直接塞进第 6 章的独立泊松计数似然吗？

答案：不能。它是带相关性和系统成分的展开截面，不是互相独立的整数计数。统计模型必须对应这个已发表数据产品，或者在可取得时使用底层事件似然。

问题三：真正作 EFT 解释，还要增加什么？

答案：明确的算符基与阶数、QCD 和部分子分布预言、探测器或发表结果的似然、实验与理论相关误差，以及能量有效域处理。CMS 论文做的是更大的分析，这项有限形状练习为阅读它作准备。

## 对照复算图与原表

![三组信号预计数下，平滑的 Asimov 曲线与离散泊松中位计数形成的台阶相比较。](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cowan-counting-check.svg)

重新计算 Cowan 图 7 中背景已知的部分。离散曲线为似然比统计量平方根的中位数，坐标采用渐近显著性约定。

![CMS 已发表喷注谱与幂律、带曲率经验形状比较；高动量留出区有阴影，预测与数据之比明显偏离一。](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cms-spectrum-shape-check.svg)

点为 CMS 已发表展开截面，来自 HEPData 115022 v2 t1；曲线为本练习的箱平均经验拟合；阴影为留出箱。两种形状在发表精度下都不够好。

![冻结的 CMS 动量箱内，已发表非微扰修正包络、单列的电弱因子与两者的无量纲乘积。](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cms-qcd-corrections.svg)

已发表模拟修正因子，来自 HEPData v2 t49 与 t41。包络反映 PYTHIA 8 CP1 和 HERWIG++ EE5C 的模型依赖；上下端不单独指认为某个生成器，实测谱另列。

- [计数复算数值与定义](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cowan-counting-benchmark.json)
- [喷注拟合、协方差方法与残差数组](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/public-spectrum-benchmark.json)
- [CMS 原始谱表 JSON](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cms-jet-spectrum-v2.json)
- [CMS 原始相关矩阵 JSON](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cms-jet-correlations-v2.json)
- [已发表 QCD 模型修正比较](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/qcd-corrections-benchmark.json)
- [原始非微扰修正表 JSON](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cms-np-correction-v2.json)
- [原始电弱修正表 JSON](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/cms-ew-correction-v2.json)
- [来源、文件摘要与数据许可](https://sandboxphysics.com/data/collider-qcd/provenance.json)
- [复算源码：计数基准](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/scripts/collider-qcd/cowan-counting-benchmark.py)
- [复算源码：公开谱形状检验](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/scripts/collider-qcd/public-spectrum-benchmark.py)
- [复算源码：已发表模型修正包络](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/scripts/collider-qcd/qcd-corrections-benchmark.py)
- [CMS 2022 年 12 月增补](https://doi.org/10.1007/JHEP12(2022%29035)

## 动手试这一章的物理问题

[给软辐射与共线事件聚类](https://sandboxphysics.com/zh/labs/jet-clustering/) [拟合信号与可能的背景解释](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collider-likelihood/)

## 来源与核读范围

1. [Cowan et al., Asymptotic formulae for likelihood-based tests of new physics, arXiv:1007.1727v3](https://arxiv.org/pdf/1007.1727v3)

   核读式 (2)、(6)–(8)、(12)、(94)–(98)，第 3.3、5.1.1 节和图 7。论文复算限于背景已知的计数例；多箱干扰参数模型另列为教学算例。

2. [Cacciari, Salam & Soyez, The anti-kt jet clustering algorithm, arXiv:0802.1189v2](https://arxiv.org/pdf/0802.1189v2)

   核读定义式 (1a–b)、第 2.1 节与图 1。课堂计算检验孤立硬粒子的软辐射捕获范围；不重新生成 Herwig 事件或整幅主动面积图。

3. [Particle Data Group, Quantum Chromodynamics (2024)](https://pdg.lbl.gov/2024/reviews/rpp2024-rev-qcd.pdf)

   核读第 9.2.2–9.2.3 节，尤其式 (9.15)：共线因子化、尺度依赖与红外安全观测量。固定使用 2024 年版本，不据此报告最新部分子分布拟合。

4. [CMS, Inclusive jets at 13 TeV, arXiv:2111.10431v3 and December 2022 addendum](https://arxiv.org/pdf/2111.10431v3)

   核读第 3–4 节的喷注定义、展开与理论成分；另列增补 doi:10.1007/JHEP12(2022)035。练习使用已发表谱，不重复论文 QCD 或 EFT 拟合。

5. [CMS HEPData 115022 v2, AK4 central-rapidity spectrum and correlations (CC0)](https://doi.org/10.17182/hepdata.115022.v2/t1)

   冻结 t1（ak4\_xsec\_ybin1）、t5（ak4\_correlations\_y1\_y1）、t49（非微扰）与 t41（电弱），保留原表 JSON、SHA-256 摘要与许可。图下可下载源文件。

[上一章用高能尾部推断新相互作用，要把展开用到哪里](https://sandboxphysics.com/zh/stories/collider-qcd/bounded-eft-inference/)