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title: "可复现地求出束缚云的增长率"
description: "用连分数求出云的复频率，检验收敛，避开收敛到错误泛音的陷阱，再与已发表的表格对照。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/black-hole-superradiance/solving-the-bound-cloud-reproducibly/"
last_modified: "2026-11-12"
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[旋转黑洞与玻色云](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/)

# 可复现地求出束缚云的增长率

Sandbox Physics · 2026-11-12

云的复频率是一个连分数的零点，这个连分数由三项递推关系构成。用这种办法找到的零点，要过三关才可信：把连分数加深，它不动；它是基态，不是泛音；它能复现已发表的表格。我们的程序三关都过了，与Dolan 2007年给出的最大增长率相差不到0.3%，Lab里的增长曲线就由它算出。

[打开黑洞超辐射Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/black-hole-superradiance/)

本章接着[守恒能流、物理单位与第一次增长估算](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/flux-units-and-a-first-growth-estimate/)往下讲，需要复数、微分方程的级数解和一点Python。

## 什么样的频率算束缚态

被困住的云要同时满足两个边界条件。在视界处它只能往里掉，这和散射波一样。在远处它必须衰减，不能向外辐射，即 $R\propto e^{qr}$，其中

$$
q=-\sqrt{\mu^2-\omega^2},\qquad \mathrm{Re}\,q<0 .
$$

两个条件只有在某些特殊的复数 $\omega$ 上才能同时成立。实部是云的振荡频率，虚部 $\omega_I$ 是增长率，云增长时为正。

Dolan把解写成两端行为都已正确的因子乘一个幂级数：

$$
R=(r-r_+)^{-i\sigma}(r-r_-)^{i\sigma+\chi-1}e^{qr}\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(\frac{r-r_+}{r-r_-}\right)^n,
$$

其中 $\sigma=2r_+(\omega-m\Omega_H)/(r_+-r_-)$，$\chi=(\mu^2-2\omega^2)/q$。级数变量在视界处为0，在无穷远处趋于1。[Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》第III节式(33)—(34)](https://arxiv.org/abs/0705.2880v2)

## 从递推关系到连分数

把级数代入径向方程，得到三项递推：

$$
\alpha_na_{n+1}+\beta_na_n+\gamma_na_{n-1}=0,
$$

$\alpha_n$、$\beta_n$、$\gamma_n$ 都是 $n$ 的二次式，系数取决于 $\omega$、$a$、$\mu$、$m$ 和角向本征值 $\Lambda$。级数在 $r\to\infty$ 处收敛，只对递推的最小解成立，而最小解存在的条件恰好是

$$
\beta_0-\frac{\alpha_0\gamma_1}{\beta_1-\dfrac{\alpha_1\gamma_2}{\beta_2-\cdots}}=0 .
$$

[Dolan，第III节式(35)—(36)与式(47)—(48)](https://arxiv.org/abs/0705.2880v2) 这就是Leaver方法，最早用来算黑洞的振铃。

写程序时有两个细节。第一，$\Lambda$ 要用复数的扁球参数 $c^2=a^2(\omega^2-\mu^2)$ 来算，而不是 $a^2\omega^2$；我们的程序在勒让德基底上取 $24\times24$ 矩阵求本征值。第二，连分数从有限深度 $N$ 往回算到 $n=0$，$N$ 是个数值参数，必须检验。

```
def continued_fraction(omega, a, mu, l=1, m=1, depth=4000):
    c0, c1, c2, c3, c4 = _recurrence_coefficients(omega, a, mu, l, m)
    n = np.arange(depth + 1, dtype=float)
    alpha = n * n + (c0 + 1) * n + c0
    beta = -2 * n * n + (c1 + 2) * n + c3
    gamma = n * n + (c2 - 3) * n + c4
    tail = 0j
    for k in range(depth, 0, -1):
        tail = alpha[k - 1] * gamma[k] / (beta[k] - tail)
    return (beta[0] - tail) / beta[0]
```

完整文件见[kerr\_bound\_states.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/kerr_bound_states.py)。

## 找零点

Dolan在复平面上求连分数绝对值的最小值。我们改用复数割线迭代，从上一章的类氢频率出发。[Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第5.6.2节式(5.27)](https://arxiv.org/abs/1501.06570v8)相邻能级相隔约 $\mu^3$，所以每一步都限制在这个间距的5%以内。不加限制，一大步就可能跳到别的能级上。

**例题1。** $a=0.99$、$\alpha=0.1$ 时，类氢初值是 $M\omega=0.099875+1.59\times10^{-11}i$。迭代收敛到 $M\omega_I=7.389\times10^{-12}$。实部几乎不动，虚部减了一半。

## 收敛：把连分数加深

$\alpha\ge0.1$ 时深度取3000，更小时取6000。检验办法是把深度乘以四再解一次，看结果变多少。

**表 3.1** 深度乘以四时 $M\omega_I$ 的相对变化。

| 自转 | 耦合 | 相对变化 |
| --- | --- | --- |
| $0.99$ | $0.05$ | $1.2\times10^{-4}$ |
| $0.99$ | $0.42$ | $8\times10^{-12}$ |
| $0.7$ | $0.19$ | $1.1\times10^{-9}$ |
| $0.5$ | $0.10$ | $6.1\times10^{-9}$ |
| $0.2$ | $0.70$ | $4.7\times10^{-13}$ |

小耦合收敛最慢。云的峰值在 $r=4/\alpha^2$ 附近，$\alpha=0.05$ 时是 $1600M$，级数变量要非常接近1才能把解描述完整，各项也衰减得慢。$10^{-4}$ 的误差远小于Lab显示的精度，但它是最坏情形，引用时应该报这个数。

## 拿已发表的表来核对：Dolan的表I

Dolan对六个自转值列出了增长最快的 $l=m=1$ 云所在的耦合和它的增长率。我们用黄金分割搜索，在自己的程序上找每个最大值。

**表 3.2** 最大增长率：发表值与复算值。

| 自转 | 发表的 $\alpha$ | 发表的 $M\omega_I$ | 复算的 $\alpha$ | 复算的 $M\omega_I$ | 相差 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $0.7$ | $0.187$ | $3.33\times10^{-10}$ | $0.1870$ | $3.335\times10^{-10}$ | $0.14\,\%$ |
| $0.8$ | $0.231$ | $2.16\times10^{-9}$ | $0.2307$ | $2.164\times10^{-9}$ | $0.19\,\%$ |
| $0.9$ | $0.293$ | $1.55\times10^{-8}$ | $0.2929$ | $1.553\times10^{-8}$ | $0.17\,\%$ |
| $0.95$ | $0.343$ | $4.88\times10^{-8}$ | $0.3427$ | $4.878\times10^{-8}$ | $0.04\,\%$ |
| $0.98$ | $0.393$ | $1.11\times10^{-7}$ | $0.3928$ | $1.112\times10^{-7}$ | $0.20\,\%$ |
| $0.99$ | $0.421$ | $1.50\times10^{-7}$ | $0.4208$ | $1.504\times10^{-7}$ | $0.29\,\%$ |

[Dolan，表I](https://arxiv.org/abs/0705.2880v2)

每一处差别都小于表中三位有效数字的舍入。这只复现了一张表，不是整篇论文。脚本是[compare\_hydrogenic\_growth.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/compare_hydrogenic_growth.py)，保存的输出是[hydrogenic-comparison-outputs.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/hydrogenic-comparison-outputs.json)。

## 泛音陷阱

割线迭代会收敛到离初值最近的零点，而耦合较大时，基态和第一泛音挨得很近。按类氢图像，两者实部分别是 $\alpha(1-\alpha^2/8)$ 和 $\alpha(1-\alpha^2/18)$，$\alpha=0.47$ 时只差约1.5%。

**例题2。** $a=0.55$、$\alpha=0.47$ 时，从类氢初值出发会收敛到 $M\omega_R=0.4622$，那是径向有一个节点的泛音。改从 $a=0.54$ 的解出发，才得到基态：$M\omega_R=0.45190$，$M\omega_I=-1.354\times10^{-3}$，云被吸收。程序里有一道检查，实部偏离类氢值超过8%就判为丢失模式，但它拦不住这种情况，因为两个能级靠得比8%近得多。

我们的网格靠延拓避开这个陷阱。从 $\alpha=0.15$ 起，每个新耦合都从同一自转下前两个解的直线外推出发，求解器就能跟着同一个能级走。每个存下的值还要核对超辐射条件：$\omega_I>0$ 当且仅当 $\omega_R<m\Omega_H$。这项检查能发现错误的根或算错的角向本征值，却分不清能级，因为泛音也满足同样的条件。让网格留在基态上的，是延拓和曲线的光滑。

## Lab背后的网格

Lab不在浏览器里解连分数，而是读一张离线算好的网格，由[build\_growth\_reference\_grid.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/build_growth_reference_grid.py)生成：

1. 自转从0到0.98，步长0.02，外加0.99。
2. 耦合从0.05到0.70，步长0.01。
3. 每个格点存 $M\omega_I$ 四位有效数字、$M\omega_R$ 六位。

格点之间，Lab把增长率写成 $\omega_I=g\,(m\Omega_H-\omega_R)$，对光滑的 $\ln g$ 关于 $\ln\alpha$ 插值。这样增长率的零点正好落在超辐射门槛上。在七个落在格线之间的点上，包括上面的泛音例子，插值结果与直接求解相差不到0.83%。

## Lab任务

1. 把自转设为0.99，滑动频率找到增长曲线的峰，与表3.2的峰值耦合对照。
2. 在自转0.5时重复，记下虚线类氢曲线和实线在哪里相符、从哪里分开。
3. 选“恰在门槛上”预设，确认云的增长率和散射波的增益在同一频率变号。

## 习题与解析

1. 为什么根必须满足 $\mathrm{Re}\,q<0$？
2. 为什么小耦合时更需要加深连分数？
3. 你找到一个 $\omega_R>m\Omega_H$ 却在增长的模式，哪里出了错？
4. 为什么插值 $\ln g$，而不直接插值 $\omega_I$？

解析

1. $\mathrm{Re}\,q>0$ 时，$e^{qr}$ 在远处增长，描述的是从无穷远灌进来的场，不是被黑洞拴住的云。
2. 云延伸到约 $4M/\alpha^2$。级数要把解一直描述到那里，而那里的展开变量很接近1，需要更多项尾部才稳定。
3. 能流恒等式不允许这种模式。要么迭代收敛到了伪根或泛音，要么深度不够，要么角向本征值用错了 $c^2$。加深连分数，并从相邻的解延拓出初值，再算一次。
4. $\omega_I$ 跨好几个数量级，还在门槛处变号，直接线性插值会把零点挪离 $\omega_R=m\Omega_H$。因子 $g$ 在门槛两侧都为正且光滑，插值它可以保住门槛的位置。

散射波也可以拿公开的表这样核对。方法指南就做这件事：[复算一份公开的超辐射放大表](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/recomputing-a-published-amplification-table/)。

## 在Lab里试一试

比较自转0.99和0.5时实线与虚线两条增长曲线，记下它们在哪里相符。 [打开黑洞超辐射Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/black-hole-superradiance/)

## 来源

1. [Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》第III节式(33)—(34)](https://arxiv.org/abs/0705.2880v2)
2. [Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第5.6.2节式(5.27)](https://arxiv.org/abs/1501.06570v8)

## 继续阅读

旋转黑洞与玻色云 · 阅读路径

### 从被放大的波到长大的云

1. [文章 **一个旋转黑洞，为什么可能把周围的波越放越大？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/why-a-spinning-black-hole-amplifies-waves/)
2. [文章 **波、自转与克尔黑洞的尺度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/waves-spin-and-kerr-scales/)
3. [文章 **守恒能流、物理单位与第一次增长估算**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/flux-units-and-a-first-growth-estimate/)
4. [当前页面 **可复现地求出束缚云的增长率**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/solving-the-bound-cloud-reproducibly/)
5. [文章 **复算一份公开的超辐射放大表**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/recomputing-a-published-amplification-table/)
6. [文章 **自相互作用怎样改变玻色云的自旋限制与引力波信号**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/reading-self-interacting-boson-cloud-limits/)