--- title: "复算一份公开的超辐射放大表" description: "下载作者公开的标量放大表，用独立程序复算自转0.99的一列，再看类氢增长公式在哪里适用。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/recomputing-a-published-amplification-table/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/black-hole-superradiance/recomputing-a-published-amplification-table/" last_modified: "2026-11-12" --- [旋转黑洞与玻色云](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/) # 复算一份公开的超辐射放大表 Sandbox Physics · 2026-11-12 我们下载了Brito、Cardoso、Pani公开的标量放大表，用一套独立程序复算其中自转0.99、$l=m=1$ 的一列。100行里有99行吻合，相对差的中位数是 $4.9\times10^{-10}$，最大 $9.0\times10^{-7}$，远在作者声明的 $10^{-5}$ 精度以内。剩下一行正好落在门槛上，那里的真实值是零。另一个脚本表明，云增长率的简短类氢公式只在很窄的耦合区间里与严格解相差不到10%，自转0.99时一处也没有。 [打开黑洞超辐射Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/black-hole-superradiance/) 这份指南列出全部输入、命令、输出和失败情形，你可以照着重做一遍。背后的物理见[守恒能流、物理单位与第一次增长估算](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/flux-units-and-a-first-growth-estimate/)和[可复现地求出束缚云的增长率](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/solving-the-bound-cloud-reproducibly/)。 ## 作者公开了什么 CENTRA引力组在网上提供标量波、电磁波和引力波被克尔黑洞散射时的放大因子。[CENTRA/GRIT，放大因子](https://centra.tecnico.ulisboa.pt/network/grit/files/amplification-factors/) 页面说明这些程序可以自由使用，并请使用者引用原始工作，即Brito、Cardoso、Pani的综述。[Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第4.7节](https://arxiv.org/abs/1501.06570v8) **表 5.1** 所用文件。 | 项目 | 内容 | | --- | --- | | 压缩包 | superradiance\_spin\_1.zip | | 其中的文件 | sigma\_VS\_om\_a\_s0l1m1.dat | | 各列 | $a/M$、$M\omega$、$Z$ | | 单位 | $G=c=M=1$ | | 声明的精度 | $10^{-5}$，见压缩包说明文件 | | $a=0.99$ 的行数 | 100，$M\omega$ 从0.00868到0.868 | $Z$ 是反射波能量的相对增益，$Z=\mathrm dE_{\mathrm{out}}/\mathrm dE_{\mathrm{in}}-1$。压缩包里还有一个Mathematica笔记本，我们没有打开，所以这里的结果不依赖作者的代码。 我们不转发这个压缩包。它的SHA-256摘要记在[slice-inputs.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/slice-inputs.json)里，你可以核对自己下载的是不是同一份字节。 ## 第一步：下载并核对 下载的文件单独放一个空文件夹，脚本放另一个。 ``` mkdir -p superradiance-check/author-data superradiance-check/scripts cd superradiance-check/author-data curl -L -o superradiance_spin_1.zip https://centra.tecnico.ulisboa.pt/media/cms_page_media/147/superradiance_spin_1.zip shasum -a 256 superradiance_spin_1.zip unzip superradiance_spin_1.zip shasum -a 256 sigma_VS_om_a_s0l1m1.dat ``` 两个摘要应当是： ``` 2c03d43e8d417fad30c2128bb202836411a384dac99d2dcd1a3679f6574aff30 superradiance_spin_1.zip e03e70b3b2af6c8112487212f8dcb04c9d5bfa46837685580ad65694865333af sigma_VS_om_a_s0l1m1.dat ``` 只要有一个不同，就说明网站上的文件改过了，先停下来比对，再决定是否相信下面的结果。运行脚本也会检查表格的摘要，并把是否一致写进输出。 ## 第二步：取得脚本并运行 把下面这些文件存进脚本文件夹： 1. [spheroidal\_eigenvalue.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/spheroidal_eigenvalue.py)，角向本征值。 2. [kerr\_scalar\_scattering.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/kerr_scalar_scattering.py)，散射求解器。 3. [low\_frequency\_amplification.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/low_frequency_amplification.py)，低频解析公式。 4. [reproduce\_amplification\_slice.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/reproduce_amplification_slice.py)，比对主程序。 5. [slice-inputs.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/slice-inputs.json)，运行设置。 然后在脚本文件夹里运行： ``` python3 reproduce_amplification_slice.py ../author-data/sigma_VS_om_a_s0l1m1.dat slice-inputs.json slice-outputs.json ``` 没有任何一行失败时，脚本以状态0退出，否则以1退出。我们的输出是[slice-outputs.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/slice-outputs.json)。我们用的是Python 3.9.6、NumPy 2.0.2、SciPy 1.13.1，版本号也写在输出文件里。 ## 求解器做了什么 这个求解器和作者的代码没有共用任何部分。对每个频率，它： 1. 把 $c^2=(a\omega)^2$ 下的扁球本征值当作 $24\times24$ 矩阵的本征值来算； 2. 在 $r_+ + 10^{-3}(r_+-r_-)$ 处，用一个只向视界内掉落的八项级数起步； 3. 用八阶龙格—库塔法向外积分径向方程，相对容差 $10^{-11}$，积到 $r=\max(250,80/\omega)$； 4. 把结果与十二项的入射、出射级数拼接，读出 $Z=|R_{\mathrm{out}}/I|^2-1$。 算出的 $Z$ 与发表值的相对差在 $10^{-5}$ 以内，这一行就算通过。发表值绝对值小于 $10^{-12}$ 的行单独列为舍入行，因为相对差在那里没有意义。 ## 结果 **表 5.2** 自转0.99这一列的各项检查。 | 检查 | 结果 | | --- | --- | | 比对行数 | 99，无失败 | | 舍入行 | 1，在 $M\omega=0.43380$ | | 相对差中位数 | $4.9\times10^{-10}$ | | 最大相对差 | $9.0\times10^{-7}$，在 $M\omega=0.00868$ | | $Z$ 的正负号 | 每一行都一致 | | 视界与远处的能流平衡 | 差值最大 $4.2\times10^{-11}$ | | $M\omega=0.3$ 时六个半径上的朗斯基量 | 起伏 $3.6\times10^{-10}$ | | 三个频率上把外边界加倍 | 变化最大 $4.5\times10^{-11}$ | **表 5.3** 部分行。 | $M\omega$ | 发表的 $Z$ | 复算的 $Z$ | | --- | --- | --- | | $0.00868$ | $2.733045\times10^{-7}$ | $2.733047\times10^{-7}$ | | $0.09544$ | $2.380891\times10^{-4}$ | $2.380891\times10^{-4}$ | | $0.38175$ | $3.662446\times10^{-3}$ | $3.662446\times10^{-3}$ | | $0.43380$ | $7.1\times10^{-15}$ | $0$ | | $0.44248$ | $-4.521665\times10^{-3}$ | $-4.521665\times10^{-3}$ | | $0.52924$ | $-0.9300786$ | $-0.9300786$ | 这一列最大的增益是0.366%，在 $M\omega=0.382$，与综述所说标量波最多增益约0.4%一致。越过门槛后，黑洞几乎吞下整列波，$Z$ 趋近 $-1$。 另有两个独立的极限支撑这个求解器。把自转设为零，试过的每个频率上 $Z$ 都是负的：$M\omega=0.05$ 时 $-1.69\times10^{-5}$，0.2时 $-0.0344$，0.5时 $-0.998$。不转的黑洞只会吸收。低频时，综述式(4.103)—(4.104)的解析公式逼近表格：公式与表格之比在 $M\omega=0.0087$ 时是0.990，到 $M\omega=0.095$ 降到0.772，符合一阶展开的预期。 ## 第三步：类氢增长公式在哪里成立 云的增长率有一条简短公式，即综述式(5.27)，适用于小耦合。要看它在哪里成立，把[kerr\_bound\_states.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/kerr_bound_states.py)和[compare\_hydrogenic\_growth.py](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/compare_hydrogenic_growth.py)存到其他脚本旁边，运行 ``` python3 compare_hydrogenic_growth.py hydrogenic-comparison-outputs.json ``` 它对自转0.5、0.7、0.9、0.99，从耦合0.05起每隔0.01解一次连分数，直到云不再增长；并先拿Dolan的表I检验自己，六个最大值都相差不到0.3%。[Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》表I](https://arxiv.org/abs/0705.2880v2) 我们的输出是[hydrogenic-comparison-outputs.json](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/materials/hydrogenic-comparison-outputs.json)。 **表 5.4** 类氢增长率与严格值相差不到10%的耦合。 | 自转 | 相差不到10% | 最大高估倍数 | | --- | --- | --- | | $0.5$ | $\alpha=0.10$ 到 $0.12$ | $1.15$ | | $0.7$ | $\alpha=0.18$ 到 $0.19$ | $1.41$ | | $0.9$ | $\alpha=0.30$ | $2.24$ | | $0.99$ | 没有 | $4.73$ | 这张表要小心读。吻合区间都紧挨着各自的截止点，是两条曲线降向零时的交叉，并不是公式准确的区域。在算过的最小耦合 $\alpha=0.05$ 处，公式仍高估15%到53%，自转越大高估越多。频率实部则准得多，处处在0.4%以内。这条公式可以大致判断哪些耦合会增长，却不能说明长得多快。 ## 失败情形与已设防的陷阱 第一项和最后两项是我们运行时真实遇到的，第二、三项是代码里已经设防的。 1. 门槛行。$M\omega=m\Omega_H$ 时严格增益为零。表里的 $7.1\times10^{-15}$ 和我们的0都是舍入误差，所以这一行只报告、不计分。 2. 极端自转。求解器的视界级数和乌龟坐标要求 $r_+\neq r_-$，所以遇到 $a=1$ 会直接拒绝，而不是给出一个数。 3. 角向参数用错。束缚云的扁球参数是 $a^2(\omega^2-\mu^2)$，是复数。束缚态求解器每一步都用复频率重新计算，而不是沿用散射时的实数 $(a\omega)^2$。 4. 能级找错。$a=0.55$、$\alpha=0.47$ 时，从类氢初值出发会收敛到第一泛音 $M\omega_R=0.4622$，而不是基态 $M\omega_R=0.45190$。从相邻的解延拓过来就能纠正。 5. 小耦合收敛慢。$a=0.99$、$\alpha=0.05$ 时，把连分数加深到四倍，结果仍变化 $1.2\times10^{-4}$。 ## 这次核对说明不了什么 它只覆盖一个文件里一种自转下的无质量标量 $l=m=1$ 模式，对电磁波、引力波的表都没有说明，对同一文件里的其他自转也没有说明，不过改一下输入里的自转就能让脚本去算。与作者的表一致，说明两套独立代码用同样的方式解了同一个方程，并不是观测到了超辐射。Lab的放大图用的是同一个求解器，所以这份指南也是它的检验。可以到[黑洞超辐射Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/black-hole-superradiance/)里试一试。 ## 在Lab里试一试 把自转设为0.99、频率设为0.38，把增益读数与你复算的那一行对照。 [打开黑洞超辐射Lab](https://sandboxphysics.com/zh/labs/black-hole-superradiance/) ## 来源 1. [CENTRA/GRIT，放大因子](https://centra.tecnico.ulisboa.pt/network/grit/files/amplification-factors/) 2. [Brito、Cardoso、Pani，《超辐射》第4.7节](https://arxiv.org/abs/1501.06570v8) 3. [Dolan，《克尔时空中有质量克莱因—戈尔登场的不稳定性》表I](https://arxiv.org/abs/0705.2880v2) ## 继续阅读 旋转黑洞与玻色云 · 阅读路径 ### 从被放大的波到长大的云 1. [文章 **一个旋转黑洞，为什么可能把周围的波越放越大？**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/why-a-spinning-black-hole-amplifies-waves/) 2. [文章 **波、自转与克尔黑洞的尺度**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/waves-spin-and-kerr-scales/) 3. [文章 **守恒能流、物理单位与第一次增长估算**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/flux-units-and-a-first-growth-estimate/) 4. [文章 **可复现地求出束缚云的增长率**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/solving-the-bound-cloud-reproducibly/) 5. [当前页面 **复算一份公开的超辐射放大表**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/recomputing-a-published-amplification-table/) 6. [文章 **自相互作用怎样改变玻色云的自旋限制与引力波信号**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/black-hole-superradiance/reading-self-interacting-boson-cloud-limits/)