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title: "把光子和轴子看成两个会混合的态"
description: "把一种光子偏振和轴子当作两态系统，推出振荡概率，再用具体数字核对。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/axion-photon-mixing/photon-and-axion-as-two-states/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/axion-photon-mixing/photon-and-axion-as-two-states/"
last_modified: "2026-11-12"
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[用宇宙磁场找轴子](https://sandboxphysics.com/zh/stories/axion-photon-mixing/)

# 把光子和轴子看成两个会混合的态

Sandbox Physics · 2026-11-12 · L1 · 课程章节

在均匀磁场里，沿磁场偏振的光子和同能量的轴子组成一个两态系统：光子按固定节奏变成轴子，再变回来。能转换的最大比例，取决于混合强度和两态之间“错位”的相对大小；节奏则取决于两者合起来有多大。本章推出这个概率，检查几个极限，再用一个星系团尺度的例子算一遍。

需要的数学是复指数、二阶对称矩阵和它的本征值。全章用自然单位，把约化普朗克常数和光速都取作一，于是能量、长度的倒数和质量都用电子伏特计量。最后再换算成千秒差距。

## 一种偏振满足的方程

光束沿$z$方向前进，能量为$E$。只有垂直于光束的磁场分量$B_\perp$能让光子和轴子混合，而且只有沿这个分量的那种光子偏振参与。把它的振幅记作$A_\parallel$，轴子振幅记作$a$。另一种偏振$A_\perp$只积累相位。

当能量远大于轴子质量和等离子体频率时，二阶波动方程可以化成一阶方程。按本站采用的符号约定，

$$
i\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\begin{pmatrix}A_\parallel\\a\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\Delta_{\rm pl}&\Delta_{a\gamma}\\\Delta_{a\gamma}&\Delta_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_\parallel\\a\end{pmatrix},
$$

矩阵的三个元素都是长度的倒数：

$$
\Delta_{a\gamma}=\frac{g_{a\gamma}B_\perp}{2},\qquad\Delta_a=-\frac{m_a^2}{2E},\qquad\Delta_{\rm pl}=-\frac{\omega_{\rm pl}^2}{2E}.
$$

非对角元$\Delta_{a\gamma}$就是混合。对角元说的是每个态的相位比无质量的波漂移了多少：轴子因为自身质量$m_a$漂移；光子因为等离子体里的自由电子给了它一个等于等离子体频率$\omega_{\rm pl}$的等效质量。加上另一种偏振后，同一个矩阵就是[Meyer、Horns与Raue 2013年论文](https://arxiv.org/abs/1302.1208v2)的式(5)，也出现在[Mirizzi、Raffelt与Serpico 2007年论文](https://arxiv.org/abs/0704.3044v2)的附录里。两篇都还带一个真空极化项；对keV光子和微高斯磁场它小到可以忽略，本章略去。

## 转到本征基里求解

常数对称矩阵有两个实本征值和互相正交的本征矢。用混合角$\theta$来写：

$$
\tan2\theta=\frac{2\Delta_{a\gamma}}{\Delta_{\rm pl}-\Delta_a}.
$$

本征值是$\lambda_\pm=\tfrac12(\Delta_{\rm pl}+\Delta_a)\pm\tfrac12\Delta_{\rm osc}$，其中

$$
\Delta_{\rm osc}=\sqrt{(\Delta_{\rm pl}-\Delta_a)^2+4\Delta_{a\gamma}^2}.
$$

在转过的基里，每个分量只是乘上相位$\mathrm e^{i\lambda_\pm z}$。从纯光子出发，$A_\parallel=1$，$a=0$：先转进本征基，让两部分各自演化，再转回来。轴子振幅是

$$
a(z)=\sin\theta\cos\theta\left(\mathrm e^{i\lambda_+z}-\mathrm e^{i\lambda_-z}\right).
$$

它的模平方就是转换概率。利用$\lvert\mathrm e^{ix}-\mathrm e^{iy}\rvert^2=4\sin^2\tfrac{x-y}{2}$和$\sin2\theta=2\Delta_{a\gamma}/\Delta_{\rm osc}$，

$$
P_{\gamma\to a}(L)=\left(\frac{2\Delta_{a\gamma}}{\Delta_{\rm osc}}\right)^2\sin^2\!\left(\frac{\Delta_{\rm osc}L}{2}\right).
$$

$\Delta_{\rm pl}+\Delta_a$带来的公共相位消掉了，起作用的只有两态之差和它们之间的混合。

## 四个要核对的极限

令耦合或磁场为零，$\Delta_{a\gamma}=0$，在任何长度和能量下概率都为零，理应如此。

路径很短，$\Delta_{\rm osc}L\ll1$，正弦近似等于它的宗量，错位也随之消失：

$$
P_{\gamma\to a}\simeq(\Delta_{a\gamma}L)^2=\left(\frac{g_{a\gamma}B_\perp L}{2}\right)^2.
$$

这就是起初概率随“磁场乘长度”的平方增长的原因。

把轴子质量调到等于等离子体频率，两个对角元相等，振幅因子等于一，$P_{\gamma\to a}=\sin^2(\Delta_{a\gamma}L)$，能量完全消失。下一章会用到这个共振。

最后，光子存活率和轴子比例之和始终为一，因为演化只是把两个振幅转一转、改一改相位。

## 从电子伏特换到千秒差距

需要两条换算。在这套单位里一特斯拉是$195.35\,\mathrm{eV^2}$，一微高斯即$10^{-10}$特斯拉，是$1.9535\times10^{-8}\,\mathrm{eV^2}$。一千秒差距是$1.5637\times10^{26}\,\mathrm{eV^{-1}}$。取$g_{a\gamma}=10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}=10^{-20}\,\mathrm{eV^{-1}}$，$B_\perp=1\,\mu\mathrm G$：

$$
\Delta_{a\gamma}=\frac{10^{-20}\times1.9535\times10^{-8}}{2}\,\mathrm{eV}=9.77\times10^{-29}\,\mathrm{eV}.
$$

乘上一千秒差距包含的电子伏特倒数，就得到

$$
\Delta_{a\gamma}=9.77\times10^{-29}\times1.5637\times10^{26}\,\mathrm{kpc^{-1}}=1.527\times10^{-2}\,\mathrm{kpc^{-1}}.
$$

混合项对耦合和磁场都是线性的。这两条换算是我们从CODATA常数推出的，特斯拉的值还用临界磁场$m_e^2/e$另走一条路核对过。

## 例题：一段均匀磁场

取$g_{a\gamma}=10^{-11}\,\mathrm{GeV^{-1}}$，$B_\perp=5\,\mu\mathrm G$，电子密度$10^{-2.5}\,\mathrm{cm^{-3}}$，$m_a=10^{-13}\,\mathrm{eV}$，路径96 kpc，$E=6.6\,\mathrm{keV}$。三个矩阵元见下表。

**表 2.1** 均匀磁场例题的混合矩阵元。

| 矩阵元 | 数值，单位为千秒差距的倒数 |
| --- | --- |
| $\Delta_{a\gamma}$ | $7.64\times10^{-2}$ |
| $\Delta_{\rm pl}$ | $-5.17\times10^{-2}$ |
| $\Delta_a$ | $-1.18\times10^{-4}$ |

于是$\Delta_{\rm osc}=0.161\,\mathrm{kpc^{-1}}$，一个完整周期需要$2\pi/\Delta_{\rm osc}=39.0$ kpc。振幅因子是$(0.1527/0.1612)^2=0.898$。整段路径的相位$\Delta_{\rm osc}L/2=7.74$ rad，$\sin^2(7.74)=0.987$。沿磁场偏振的光子转换概率为

$$
P_{\gamma\to a}=0.898\times0.987=0.886.
$$

非偏振光是两种偏振各占一半，只有一半参与混合，存活率是$1-P_{\gamma\to a}/2=0.557$。同一条路径在2、4和9 keV处的存活率分别是0.777、0.718和0.570，变暗的程度随能量而变。

## Lab任务

1. 预测：选均匀磁场预设。先不动任何东西，用公式判断6.6 keV处的存活率高于还是低于一半。
2. 改一个条件：把能量竖线从0.5拖到10 keV，记下实线的几个极小值在哪里。
3. 对比：均匀模式下虚线参照就是上面的闭式公式。确认两条曲线在所有能量上重合。
4. 解释：把耦合滑块调到指数负十二。凹陷缩到百分之几，位置也移动了。用振幅因子解释：一旦混合远小于错位，最大可能的转换就随耦合的平方下降。

## 习题

1. 在短路径极限下，耦合加倍、磁场减半，转换概率变为原来的多少倍？
2. 错位$\Delta_{\rm pl}-\Delta_a$取多大时，最大可能的转换恰好是一半？
3. 非偏振光穿过一段均匀磁场。证明剩下的光线偏振度为$P_{\gamma\to a}/(2-P_{\gamma\to a})$，并代入例题的数值。

解答

1. 不变。短路径概率只依赖乘积$g_{a\gamma}B_\perp$，它没有变。
2. 振幅因子是$4\Delta_{a\gamma}^2/[(\Delta_{\rm pl}-\Delta_a)^2+4\Delta_{a\gamma}^2]$。令它等于一半，得$\lvert\Delta_{\rm pl}-\Delta_a\rvert=2\Delta_{a\gamma}$，即错位等于混合的两倍。
3. 垂直于磁场的偏振保留强度二分之一，沿磁场的偏振保留$(1-P_{\gamma\to a})/2$。两者之差除以两者之和就是$P_{\gamma\to a}/(2-P_{\gamma\to a})$。代入$P_{\gamma\to a}=0.886$得0.795，剩下的光偏振方向垂直于磁场。

[到Lab里试试](https://sandboxphysics.com/zh/labs/axion-photon-conversion/)：选“均匀磁场里的振荡”，再拖动能量竖线。

## 来源

1. [Meyer、Horns与Raue 2013年论文](https://arxiv.org/abs/1302.1208v2)
2. [Mirizzi、Raffelt与Serpico 2007年论文](https://arxiv.org/abs/0704.3044v2)

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