--- title: "算出热运动尾部的逃逸通量" description: "从带速度权重的 Maxwell 分布推导 Jeans 通量，定位示例外逸层，并分清粒子比例与穿面通量。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/thermal-tails/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/thermal-tails/" last_modified: "2026-10-28" --- [行星大气怎样流成风](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/) AC13 · L2 # 算出热运动尾部的逃逸通量 Sandbox Physics · 2026-10-28 Jeans 逃逸计算的是：在后续碰撞已经稀少的地方，每秒穿过单位面积、且能量足以离开的粒子有多少。关键的速度权重，来自“穿过一个面”这件事。 ## 开始前需要什么 先读《行星怎样把大气丢进太空》。需要球面几何；把积分理解为许多小速度区间之和即可，角度积分与能量换元会逐步展开。 ## 先选粒子与球面 取以行星为中心、半径为 $r$ 的球面，向外为正方向。行星引力参数为 $GM$，粒子质量为 $m$，数密度 $n$ 的单位是每立方米，温度 $T$ 的单位是开尔文。定义热速标度 $c=\sqrt{kT/m}$；对于这里的单组分理想气体，它也就是等温声速。 假设球面内侧的碰撞维持了各向同性、整体漂移可以忽略的 Maxwell 速度分布。外侧近似为中心引力中的无碰撞运动，没有从无穷远入射的粒子。这组条件适合强束缚外逸层的示例。 $$ f(\mathbf v)=\frac{n}{(2\pi c^2)^{3/2}}e^{-v^2/(2c^2)},\qquad v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} $$ 速度密度在全部三维速度上积分得到数密度。要离开行星，既要总速率超过逃逸速度，也要正在向外运动。 对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 ## 穿面次数要按向外速度加权 在很短的时间 $\Delta t$ 里，向外速度为 $v_r$ 的粒子，能从厚度 $v_r\Delta t$ 的薄层中穿过球面。它们对单位面积、单位时间的贡献是 $v_r f\,d^3v$。把速度方向与径向的夹角记为 $\theta$，就有 $v_r=v\cos\theta$，速度空间体积元为 $v^2\sin\theta\,dv\,d\theta\,d\phi$。 只取朝外半球。方位角积分给出 $2\pi$，极角积分 $\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=1/2$，合起来是 $\pi$。余下的速率积分里多出一个速度因子，正是穿面加权带来的。 $$ \Phi_{\rm J}=\frac{n\pi}{(2\pi c^2)^{3/2}}\int_{v_{\rm esc}}^\infty v^3e^{-v^2/(2c^2)}\,dv $$ 这是单位面积、单位时间的数通量。积分只包含向外且速率足够大的轨迹。 $$ z=\frac{v^2}{2c^2},\quad v^3dv=2c^4z\,dz,\quad\lambda=\frac{GM}{rc^2} $$ 用无量纲能量换元，下限恰好变成束缚参数。 $$ \Phi_{\rm J}=\frac{nc}{\sqrt{2\pi}}\int_\lambda^\infty ze^{-z}dz=\frac{nc}{\sqrt{2\pi}}(1+\lambda)e^{-\lambda},\quad\dot M_{\rm J}=4\pi r^2m\Phi_{\rm J} $$ 分部积分得到尾部因子，再乘球面积与粒子质量，就得到每秒流失的质量。 对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 ## 找到碰撞开始稀少的地方 采用有效硬球碰撞截面 $\sigma$，平均自由程为 $\ell=1/(\sqrt2 n\sigma)$。把它与密度明显变化的距离——标高 $H$——相比，得到局部 Knudsen 数 $\mathrm{Kn}=\ell/H$。用行星半径作分母，会得到另一种 Knudsen 数，不能混用。 为定位一个示例外逸层，先在它下方采用静止等温大气。压力梯度平衡引力，把理想气体压强代入后，从储气边界积分到候选球面。 $$ \frac{d\ln n}{dr}=-\frac{GM}{c^2r^2},\quad n(r)=n_{\rm b}\exp\!\left[\lambda_{\rm b}\left(\frac{R_{\rm b}}r-1\right)\right],\quad H=\frac{c^2r^2}{GM} $$ 对数导数表示单位距离内密度的相对变化，积分反平方项即可得到密度剖面与局部标高。 对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 ## 完整算例：强束缚的大气 取八个地球质量单位、两个地球半径的储气边界、$T=1000\,\mathrm K$ 和 $n_{\rm b}=10^{15}\,\mathrm{m^{-3}}$。粒子质量固定为 $1.6735\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$，有效截面取 $2\times10^{-19}\,\mathrm{m^2}$。这些是给定的合成条件。 底部束缚参数为 $30.3342$。在储气边界与形式等温声速半径之间，寻找第一个 $\mathrm{Kn}=1$ 的根，得到 $r_{\rm ex}/R_{\rm b}=1.20447$。这里 $\lambda_{\rm ex}=25.1846$，数密度约为 $5.80\times10^{12}\,\mathrm{m^{-3}}$。向外通量中可逃逸的比例只有 $3.02\times10^{-10}$。代入局部密度、半径与热速后，得到 $\dot M_{\rm J}=9.96\times10^{-6}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$。 为了看得见，场景画了八条无束缚轨迹，它们的总权重仍只有 $(1+\lambda_{\rm ex})e^{-\lambda_{\rm ex}}$；四十八条束缚轨迹承担剩余权重。直接数琥珀点会严重高估逃逸通量。轨迹形状按中心引力积分，播放时间经过加速。 ## 什么时候该换一种计算 这条流体静力等温密度若延伸到无穷远，并不会降到零，因此这里只用到声速区域以内、局部 Knudsen 数的第一个交点。如果底部碰撞充分却找不到这样的交点，就不指定 Jeans 外逸层。 示例以外逸层束缚参数至少为六，作为选择 Jeans 图景的教学限制。真实动力学计算还会考虑返回粒子、非 Maxwell 分布与热传导，结果可偏离简单 Jeans 值。若气体已经集体外流，就需要同时处理连续性与动量；下一章从这里接着推。 对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 · Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 练习与解释性答案 1. 为什么向外通量的逃逸比例是 $(1+\lambda)e^{-\lambda}$，而不是随机抽一个粒子、它足够快的概率？ 展开解释 相同时间里，跑得更快的粒子能从更厚的薄层穿过球面。速度分布乘上径向速度后，速率积分的权重改变了。这里数的是穿面次数，不是从一个体积里等概率抽出的粒子数。 2. 保持引力和温度，只把 $n_{\rm b}$ 加倍，可以不移动外逸层、直接把最终 Jeans 流失率加倍吗？ 展开解释 只有刻意固定计算球面时才可以。如果外逸层由局部碰撞条件决定，增大底部密度会让每个半径的 Knudsen 数下降，交点向外移动。必须重新计算交点的半径、束缚参数与密度。 3. 把同温度的粒子换成更重的分子，哪两个变化会让逃逸更难？ 展开解释 热速按质量平方根的倒数下降，束缚参数则随质量成正比增加；后者对指数尾部尤其敏感。真实分子的碰撞截面与化学过程也可能不同。 ## 动手检验预测 ### [找到罕见的尾部](https://sandboxphysics.com/zh/labs/planetary-atmospheric-escape/) 1. 选择“罕见的逃逸尾部”，先预测增大行星质量怎样改变外逸层束缚参数。 2. 只改行星质量，导出计算，查看外逸层半径与通量权重。 3. 保持温度，只改变 XUV 辐照度，解释为何给定 Maxwell 温度的 Jeans 示例保持不变。 [上一篇：行星怎样把大气丢进太空](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/leaving-a-planet/) [下一篇：让等温风穿过声速点](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/critical-wind/) ## 来源与计算范围 1. [Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0406176v1) 2004 年 6 月 7 日第一版，AJP 72,1397–1403。核读全文第 III–IV 节、式12–16：等温动量方程、临界点与两个实 Lambert-W 分支。太阳风的电离氢声速约定在这里换成明确固定的单粒子质量。 2. [Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/1009.5110v1) 2010 年 9 月 26 日第一版，后发表于 ApJL729,L24（2011）。核读第2节与图1–5：硬球平均自由程、以半径或局部标高定义的不同 Knudsen 数、动力学逃逸及条件性的 Jeans 修正。其下边界以下加热不同于持续维持等温的风。实验碰撞截面是教学输入，不是来源中的氮分子取值。