--- title: "数值求出并检查临界风解" description: "独立运行 Python 临界风基准，用正则 ODE 与 Lambert-W 分支互比，保存守恒残差与物理条件失效的案例。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/solve-a-wind/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/solve-a-wind/" last_modified: "2026-10-28" --- [行星大气怎样流成风](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/) AC13 · L3 # 数值求出并检查临界风解 Sandbox Physics · 2026-10-28 先数值找到临界半径，从两侧积分加速分支，再检查守恒量。解释流失率之前，还要看碰撞条件与所需热量。这几项检查回答不同问题。 ## 开始前需要什么 先读《让等温风穿过声速点》。基本重跑只需 Python 3.10+ 标准库；可选解析参考使用下方固定 NumPy/SciPy 版本。不需要仓库。 ## 先把输入存好 把下方的脚本、输入、出处说明、运行说明与固定输出下载到同一普通文件夹。输入定义了五组单组分合成大气：默认风、强束缚尾部、稀薄大气、XUV 功率不足，以及临界点低于储气边界。这里没有实测行星剖面，也没有 MESA 演化输出。 JSON 固定 SI 常数、边界半径、密度、给定温度、XUV 辐照度与可用功率比例。脚本把输入的精确字节哈希写入输出。第一次先原样运行，需要改参数时另存副本。出处文件列明字节数和 SHA-256，并区分自行给定的教学输入与方程来源。 ``` python3 -W error replay-wind.py --input escape-input.json --out wind-replay-rerun.json # 可选解析参考，在虚拟环境中安装固定依赖： python3 -m venv .venv source .venv/bin/activate python3 -m pip install -r requirements-reference.txt python3 reference-lambert.py --out lambert-reference-rerun.json ``` 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 · Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 ## 把分子变零的位置括起来 对 $2c^2/r-GM/r^2$ 在 $0.01R_{\rm b}$ 到 $100R_{\rm b}$ 间做二分：每次保留两端异号的半区间。如果没有异号，脚本直接报错。固定五个例子均在范围内；换新输入时要重新确认。 把根与 $GM/(2c^2)$ 比较，默认得到 $2.41574013\times10^7\,\mathrm m$。找到这个位置，只是让分子变零，速度还必须沿加速分支经过 $u=c$。若直接在该点做除法，分母也为零。 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 从正则斜率出发 积分变量取 $q=\ln\mathcal M$，这样极小的亚声速仍能保持有限的对数值。在 $x=1\pm10^{-5}$ 用局部展开给初值，再以四阶 Runge–Kutta 向内或向外积分。离声速点不足 $10^{-4}$ 的目标，直接使用展开。 最大径向步长为 $0.0015\min(x,1)$。每个目标半径都从声速附近独立积分。输出还在 $0.03r_{\rm s}$ 至 $12r_{\rm s}$ 的七个位置，把最大步长减半，保存对数 Mach 数的变化。这个检查衡量积分的步长敏感性；解析函数提供另一条求解路径，可以直接比较同一半径的 Mach 数。 $$ \frac{dq}{dx}=\frac{2(1/x-1/x^2)}{e^{2q}-1},\quad q=\delta-\delta^2+\frac{13}{12}\delta^3+O(\delta^4) $$ 远离精确临界点时，专门的指数减一函数减小分母相消误差；临界邻域本身由展开处理。 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 与两个解析分支比较 设 $D=x^{-4}e^{3-4/x}$。Lambert-W 函数由 $W(z)e^{W(z)}=z$ 定义，在这里有两个实分支。SciPy 将它们记为零与负一。 可选脚本在声速内取主分支，外侧取另一实分支；精确 $x=1$ 直接指定正则极限。它在十一个半径与 ODE 比较。在两倍声速半径，如果错取主分支，会得到亚声速的小根。两根都可能让隐式方程残差很小，因此还必须检查分支与加速方向。 $$ \mathcal M^2=-W_0(-D)\quad(x<1),\qquad\mathcal M^2=-W_{-1}(-D)\quad(x>1) $$ 整条加速跨声速解，在两个实分支共同的声速端点换支。 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 分别检查数值与物理条件 从底部边界恢复密度，逐点计算 $4\pi r^2\rho u$。另算等温动量积分 $u^2/2+c^2\ln(n/n_{\rm b})-GM/r$。前者检查密度归一，后者对独立积分的速度形状误差敏感。 固定默认解的质量通量相对极差约为十的负十五次方，动量积分极差以声速平方为单位小于十的负十次方。这些是数值残差，没有包含温度、碰撞截面或忽略冷却造成的不确定度。 下方表格与曲线直接读取公开重跑输出。强束缚例子的 Jeans 示例约为每秒十毫克，形式 Parker 声速区的 Knudsen 数却极大。功率不足例子在数值上平滑，所需机械功率约为可用 XUV 功率的752倍。临界点埋入底部的例子，从储气边界起就已超声速。输出保留这些解释失败的案例。 独立正则 ODE 的默认合成结果。横轴为半径与储气半径比，采用对数刻度；虚线为数值找到的临界半径。 replay-wind.py 的实际合成结果：固定类中性氢质量与有效碰撞截面，给定温度，储气半径为地球的两倍，外边界为储气半径的十二倍。输入列明每例全部设置；即使物理条件失效，表中仍列形式风解流量。 | 情形 | 声速与底部半径比 | 形式 Parker 流量 · 千克每秒 | 声速区 Knudsen 数 | 所需与可用功率比 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 默认风 | $1.9$ | $7.70\times10^{6}$ | $4.02\times10^{-3}$ | $2.28\times10^{-1}$ | | 罕见尾部 | $1.52\times10^{1}$ | $6.77\times10^{-4}$ | $1.83\times10^{8}$ | $2.05\times10^{-9}$ | | 稀薄气体 | $5.06$ | $7.90\times10^{2}$ | $9.05\times10^{1}$ | $2.80\times10^{-4}$ | | 热量不足 | $1.26$ | $1.84\times10^{7}$ | $1.37\times10^{-3}$ | $7.52\times10^{2}$ | | 临界点低于底部 | $2.11\times10^{-1}$ | $7.11\times10^{7}$ | $7.26\times10^{-5}$ | $3.78$ | 对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 · Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2 ## 只改一个条件试试 复制输入，只把默认例子的底部数密度加倍。运行前先预测风流量、声速区 Knudsen 数及所需与可用功率比。三者应分别乘二、除二、乘二。速度方程只含引力与声速，因此速度形状保持不变。 再把给定外半径从十二倍底部半径改为二十四倍，重跑机械能比较。气体走得更远，还要继续爬升并加速，需要供给更多能量。引用等温风的热量需求时，要带上这个外边界。 公开文件可按 README 中的科学教学材料许可复用。若要研究某颗具体行星，下一步应加入能量与化学方程，并为它建立合适的内外边界。 对应阅读：Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2 · Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 练习与解释性答案 1. 隐式方程残差很小，声速半径外的速度却低于声速，哪项检查能发现错误？ 展开解释 检查分支与加速方向。声速外的加速跨声速解必须选超声速 Lambert-W 分支；主分支也能满足同一隐式方程，仅看残差不能排除它。 2. 输入哈希与固定参考不同，还能直接比较所有末位数字吗？ 展开解释 先找到输入变化。边界、密度或温度变了，就是另一项计算。复现数值时先恢复固定输入，再把修改后的运行作为物理实验。 ## 动手检验预测 ### [把保存的风解与交互计算比较](https://sandboxphysics.com/zh/labs/planetary-atmospheric-escape/) 1. 重置实验并导出计算，比较默认临界半径、质量流量、功率比与声速区 Knudsen 数。 2. 选择“碰撞跟不上了”，指出流体解释失效后，哪些数学曲线仍然可以计算。 3. 只改变底部密度，先检验预测倍数，再尝试另一个温度。 [上一篇：让等温风穿过声速点](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/critical-wind/) [下一篇：沿着原论文读懂行星半径谷](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/radius-valley/) 把下列文件放在同一文件夹。数值重跑只需 Python3.10+ 标准库，只有可选 Lambert-W 比较需要固定 NumPy/SciPy 依赖。 - [独立临界 ODE 重跑](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/replay-wind.py) - [固定合成大气输入](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/escape-input.json) - [固定数值输出与失败情形](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/wind-replay.json) - [独立 Lambert-W 比较](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/reference-lambert.py) - [固定解析比较输出](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/lambert-reference.json) - [可选固定依赖](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/requirements-reference.txt) - [版本、单位、许可与校验值](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/provenance.json) - [独立运行说明与范围](https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/downloads/README.md) ## 来源与计算范围 1. [Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0406176v1) 2004 年 6 月 7 日第一版，AJP 72,1397–1403。核读全文第 III–IV 节、式12–16：等温动量方程、临界点与两个实 Lambert-W 分支。太阳风的电离氢声速约定在这里换成明确固定的单粒子质量。 2. [Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/1009.5110v1) 2010 年 9 月 26 日第一版，后发表于 ApJL729,L24（2011）。核读第2节与图1–5：硬球平均自由程、以半径或局部标高定义的不同 Knudsen 数、动力学逃逸及条件性的 Jeans 修正。其下边界以下加热不同于持续维持等温的风。实验碰撞截面是教学输入，不是来源中的氮分子取值。 3. [Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2](https://arxiv.org/pdf/0811.0006v2) 2008 年 11 月 18 日第二版，ApJ 693,23（2009）。核读第3.2节、式19/22与图7：吸收截面、能量限制尺度及冷却/复合对固定效率的限制。来源研究热木星辐射流体；低质量行星示例只采用明确列出的整体功率比较。