--- title: "让等温风穿过声速点" description: "从连续性与动量推导 Parker 方程，选择跨声速加速分支，再比较有限半径内所需热量与恒星 XUV 功率。" canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/critical-wind/" language: "zh-CN" page_type: "story" alternate_languages: en: "https://sandboxphysics.com/stories/atmospheric-escape/critical-wind/" last_modified: "2026-10-28" --- [行星大气怎样流成风](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/) AC13 · L3 # 让等温风穿过声速点 Sandbox Physics · 2026-10-28 一股平滑加速的等温风，必须在球对称压力项与引力平衡的半径穿过声速。连续性决定密度形状，底部密度决定质量流量；热量能否支持这股流动，要另行计算。 ## 开始前需要什么 前一章介绍了热速、束缚参数和局部 Knudsen 数。这一章把导数解释为很小径向区间内的变化率，用对数微分把乘积化为和。 ## 用连续性消去密度梯度 从固定球形储气边界 $R_{\rm b}$ 向外量半径 $r$。径向整体速度 $u$ 向外为正，质量密度 $\rho$ 以千克每立方米计。温度与粒子质量固定，因此 $P=\rho c^2$ 且 $c^2=kT/m$ 为常数。取稳态、球对称、无粘流动，沿途没有额外质量注入。 每个薄球壳中的质量不随时间增加，内外两面的质量流量便相等。对这个乘积取对数再微分，就能用速度梯度替换动量方程里的密度梯度。 $$ \dot M=4\pi r^2\rho u,\qquad\frac{d\ln\rho}{dr}=-\frac2r-\frac1u\frac{du}{dr} $$ 球面积带来两个半径幂次；几何膨胀与流动加速都会降低密度。 $$ u\frac{du}{dr}=-c^2\frac{d\ln\rho}{dr}-\frac{GM}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad\left(u-\frac{c^2}{u}\right)\frac{du}{dr}=\frac{2c^2}{r}-\frac{GM}{r^2} $$ 左侧原为流体沿路径的加速度，代入连续性后，把压强中含速度梯度的部分移到左边。 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 怎样平滑地穿过临界点 到 $u=c$ 时，速度导数前的系数为零。若斜率有限，右侧必须同时为零，于是 $r_{\rm s}=GM/(2c^2)$。这只找到临界位置，还没有决定穿越方向。 令 $x=r/r_{\rm s}$、$\mathcal M=u/c$。在临界点附近写 $\mathcal M=1+a(x-1)$，代入无量纲方程，最低阶得到 $2a^2(x-1)=2(x-1)$，故 $a=\pm1$。正号对应加速风。数值积分从临界点两侧很近的地方出发，用正斜率的局部展开给出初值。 $$ \left(\mathcal M-\frac1{\mathcal M}\right)\frac{d\mathcal M}{dx}=2\left(\frac1x-\frac1{x^2}\right),\quad\left.\frac{du}{dr}\right|_{\rm s}=\frac c{r_{\rm s}} $$ 原来的零除以零，用加速分支的正则斜率取代。 $$ \mathcal M=1+\delta-\frac{\delta^2}{2}+\frac{\delta^3}{4}+O(\delta^4),\qquad\delta=x-1 $$ 这条临界附近的展开，先于积分选定加速分支。 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 选根以后，再给气体多少 将无量纲方程积分一次，利用 $x=1$、$\mathcal M=1$ 定积分常数。设 $w=\mathcal M^2$，下面的式子通常有两个正根。加速风在临界点内选亚声速根，外侧选超声速根；若始终取小根，会得到另一条解。 浏览器对 $\ln w$ 分别在负区间、正区间求根。独立参考则在内外分别采用 Lambert-W 的主实分支与另一实分支。速度求出以后，把任意球面的连续性表达式除以底部表达式，就能恢复密度。 $$ w-\ln w=4\ln x+\frac4x-3 $$ 在声速点，两侧都等于一；对数根的正负选择相应分支。 $$ n(r)=n_{\rm b}\frac{u_{\rm b}}{u(r)}\left(\frac{R_{\rm b}}r\right)^2,\qquad\dot M_{\rm P}=4\pi R_{\rm b}^2mn_{\rm b}u_{\rm b} $$ 底部数密度决定质量流量的归一，与恒星加热比例独立。 对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 完整算例：默认大气 取 $GM=4(3.986004418\times10^{14})\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$、$R_{\rm b}=2(6.371\times10^6)\,\mathrm m$、$T=4000\,\mathrm K$ 与 $n_{\rm b}=10^{15}\,\mathrm{m^{-3}}$。粒子质量为 $1.6735\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$，声速算得 $5.7446\,\mathrm{km\,s^{-1}}$。临界半径是 $2.41574\times10^7\,\mathrm m$，即 $1.89589R_{\rm b}$。 在底部选亚声速根，将速度乘上密度与球面积，得到 $\dot M_{\rm P}=7.69715\times10^6\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$。声速点的对数密度变化长度为 $L_\rho=r_{\rm s}/3$：几何面积贡献两项，正则加速度贡献一项。采用给定碰撞截面，算得 $\mathrm{Kn}_{\rm s}=0.00402$。这里用低于 $0.1$ 作连续介质的必要检查。 下表来自公开独立 ODE 重跑，输入与场景预设相同。文件多留的数字方便复算，不代表真实大气具有相应精度。两个较冷例子尤其能看出，形式 Parker 流量虽可算出，却未必适合作物理解释。 replay-wind.py 的实际合成结果：固定类中性氢质量与有效碰撞截面，给定温度，储气半径为地球的两倍，外边界为储气半径的十二倍。输入列明每例全部设置；即使物理条件失效，表中仍列形式风解流量。 | 情形 | 声速与底部半径比 | 形式 Parker 流量 · 千克每秒 | 声速区 Knudsen 数 | 所需与可用功率比 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 默认风 | $1.9$ | $7.70\times10^{6}$ | $4.02\times10^{-3}$ | $2.28\times10^{-1}$ | | 罕见尾部 | $1.52\times10^{1}$ | $6.77\times10^{-4}$ | $1.83\times10^{8}$ | $2.05\times10^{-9}$ | | 稀薄气体 | $5.06$ | $7.90\times10^{2}$ | $9.05\times10^{1}$ | $2.80\times10^{-4}$ | | 热量不足 | $1.26$ | $1.84\times10^{7}$ | $1.37\times10^{-3}$ | $7.52\times10^{2}$ | | 临界点低于底部 | $2.11\times10^{-1}$ | $7.11\times10^{7}$ | $7.26\times10^{-5}$ | $3.78$ | ## 维持这股风需要多少热 入射高能辐照度 $F_{\rm XUV}$ 是垂直于光线的单位面积功率，行星截获的是一个圆盘。可用功率为 $P_{\rm av}=\eta\pi R_{\rm XUV}^2F_{\rm XUV}$。示例明确取 $R_{\rm XUV}=R_{\rm b}$；真实吸收半径可以不同于凌日半径。把功率除以底部每千克气体的束缚能，得到常用能量限制尺度。 给定温度的风则只比较到 $r_{\rm o}=12R_{\rm b}$。两端温度相同，比焓相同，净补热就是动能与引力势能的增加。若把等温条件一直延伸到无穷远，风将需要无界的总能量供给。 $$ \dot M_{\rm EL}=\frac{\eta\pi R_{\rm XUV}^2F_{\rm XUV}}{GM/R_{\rm b}} $$ 这是功率尺度，与按密度归一的输运解分别计算。 $$ P_{\rm req}=\dot M_{\rm P}\left[\frac{u_{\rm o}^2-u_{\rm b}^2}{2}+GM\!\left(\frac1{R_{\rm b}}-\frac1{r_{\rm o}}\right)\right] $$ 方括号单位为焦耳每千克。它给出有限半径的机械能需求，还没有求光怎样沉积热量。 对应阅读：Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2 · Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1 ## 使用结果前，读懂它的条件 默认 $F_{\rm XUV}=100\,\mathrm{W\,m^{-2}}$、$\eta=0.15$，得到 $\dot M_{\rm EL}=6.11443\times10^7\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ 与 $P_{\rm req}/P_{\rm av}=0.228$。可用功率有机会供给这段机械能增加；温度、电离与冷却仍需能量方程决定。 只改变辐照度，改变的是这个比较，因为输运温度已独立给定。“缺少的加热”预设中，比例约为752，意味着这条数学风解需要额外热源，或改用另一种温度结构。若临界点低于储气边界，所选分支在底部就已经超声速；若声速区碰撞稀少，应转用动力学处理。这些检查分别告诉我们下一步需要补什么物理。 对应阅读：Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2 · Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 ## 练习与解释性答案 1. 质量、半径、温度不变，底部密度加倍，Parker 流量与声速区 Knudsen 数怎样改变？ 展开解释 速度剖面不变，质量流量加倍，平均自由程减半，故声速区 Knudsen 数减半。所需功率加倍，恒星可用功率保持不变。 2. 粒子质量不变，温度加倍，$r_{\rm s}$ 与 $\lambda_{\rm b}$ 怎样改变？ 展开解释 声速平方与温度成正比，故两者都减半。整条速度曲线仍须重算，不能从这个简单倍数直接得到质量流失率。 3. 某条解的质量通量稳定到十二位数字，但声速区 Knudsen 数为九十。它是否已经验证为物理风？ 展开解释 它是在流体近似失效的地方，数值上自洽的流体解。守恒残差检查方程内部的算术，碰撞条件则检查这些方程能否描述气体。 ## 动手检验预测 ### [分开输运与加热](https://sandboxphysics.com/zh/labs/planetary-atmospheric-escape/) 1. 预测只把底部密度加倍会改变什么，再打开进阶设置检验。 2. 选择“缺少的加热”，增加 XUV 功率，比较功率比与保持不变的速度曲线。 3. 选择“埋入下边界的临界点”，指出储气边界处已经超声速的原因。 [上一篇：算出热运动尾部的逃逸通量](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/thermal-tails/) [下一篇：数值求出并检查临界风解](https://sandboxphysics.com/zh/stories/atmospheric-escape/solve-a-wind/) ## 来源与计算范围 1. [Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0406176v1) 2004 年 6 月 7 日第一版，AJP 72,1397–1403。核读全文第 III–IV 节、式12–16：等温动量方程、临界点与两个实 Lambert-W 分支。太阳风的电离氢声速约定在这里换成明确固定的单粒子质量。 2. [Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1](https://arxiv.org/pdf/1009.5110v1) 2010 年 9 月 26 日第一版，后发表于 ApJL729,L24（2011）。核读第2节与图1–5：硬球平均自由程、以半径或局部标高定义的不同 Knudsen 数、动力学逃逸及条件性的 Jeans 修正。其下边界以下加热不同于持续维持等温的风。实验碰撞截面是教学输入，不是来源中的氮分子取值。 3. [Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2](https://arxiv.org/pdf/0811.0006v2) 2008 年 11 月 18 日第二版，ApJ 693,23（2009）。核读第3.2节、式19/22与图7：吸收截面、能量限制尺度及冷却/复合对固定效率的限制。来源研究热木星辐射流体；低质量行星示例只采用明确列出的整体功率比较。