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title: "从地球轨道推到恒星的视差椭圆"
description: "定义天球切平面、视差和自行，逐步推导黄道坐标中的年度轨迹，并计算距离与横向速度。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[测出星空的深度](https://sandboxphysics.com/zh/stories/astrometry/)

L2 · 恒星天体测量

# 从地球轨道推到恒星的视差椭圆

Sandbox Physics · 2026-10-28

恒星的视差轨迹，是观测者轨道在天球切平面上的投影。先确定方向，再把地球位置分解到两个天空坐标上，就能得到椭圆的形状。

## 开始前需要什么

先读“天空中挨着的星，可能相隔多远”。需要直角三角形、正弦余弦和向量的分量；向量投影在下文从三个方向的分量相乘求和开始说明。

## 先把距离和角度说清楚

把太阳放在空间原点。黄道平面是水平面，恒星黄经取零，黄纬记为 $\beta$。从太阳指向恒星的单位方向向量是 $\boldsymbol n=(\cos\beta,0,\sin\beta)$。“单位”表示它只记录方向，长度为一。

距离记为 $r$，以秒差距计。地球轨道半径取一个天文单位，轨道周期取一年。时间 $t$ 从地球在正横轴的位置开始，用年计。暂时把轨道当作圆，观测者的位置以天文单位表示为 $\boldsymbol R=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t,0)$。

角位置只看垂直于恒星方向的变化。想象在星的方向上放一张与视线垂直的小纸片，这就是天球切平面。纸上的东向沿黄经增加的方向，北向沿黄纬增加的方向。

$$
\boldsymbol e_x=(0,1,0),\qquad\boldsymbol e_y=(-\sin\beta,0,\cos\beta)
$$

这两个基向量互相垂直，也都垂直于恒星方向。在很小的天空区域内，角位置可以沿这两根轴相加。

## 从另一处看，视线转过多少

恒星空间位置为 $D\boldsymbol n$，这里 $D$ 用天文单位表示。观测者从原点移动到 $\boldsymbol R$ 后，未归一化的视线变为 $D\boldsymbol n-\boldsymbol R$。距离远大于轨道半径，只保留轨道半径与距离比值的一阶项。

沿着原视线的移动主要改变距离；垂直部分才改变方向。方向改变量是 $-[\boldsymbol R-(\boldsymbol R\cdot\boldsymbol n)\boldsymbol n]/D$。点积的意思是：同一方向的分量相乘，再把三个结果加起来。它给出一个向量在另一方向上的分量。

分别投到东向和北向。因为这两根轴垂直于 $\boldsymbol n$，括号中的沿视线项都消失，剩下观测者位置在切平面上的负投影。一个天文单位在距离 $r$ 处对应的角度就是视差。

$$
\Delta x=-\varpi\sin(2\pi t),\qquad \Delta y=\varpi\sin\beta\cos(2\pi t)
$$

东向与北向角位移、视差使用同一角单位。负号来自观测者向一侧移动时，近星相对远处背景向另一侧移动。

对应阅读：Lindegren et al.

## 直线、椭圆和圆是同一个投影

东向摇摆的半幅为 $\varpi$，北向半幅为 $\varpi|\sin\beta|$。黄道上的星只有东向往复运动，极点上的星在两个方向具有相同半幅，走成圆。中间纬度给出椭圆。南北黄纬的符号改变了沿椭圆运动的方向。

取黄纬三十度、距离二十秒差距。视差为五十毫角秒，北向半幅为二十五毫角秒。隔半年选在东向位移的两端，两个位置相差一百毫角秒。恒星到太阳的真实距离并没有在半年内变成另一数值；变的是观察方向。

$$
\varpi\,[\mathrm{mas}]=\frac{1000}{r\,[\mathrm{pc}]},\qquad a=50\,\mathrm{mas},\quad b=50\sin30^\circ=25\,\mathrm{mas}
$$

秒差距按一个天文单位对应一角秒的视差来定义。恒星视差远小于一弧度，所以正切与角度的小角近似极其准确。

## 把恒星自身的漂移加回来

以参考时刻的切平面位置 $x_0$ 和 $y_0$ 为起点。自行 $\mu_x$ 与 $\mu_y$ 表示一年积累多少角位移。短时间内把它们视为常数，位置就是起点、匀速漂移和年度视差三项之和。

例如东向自行十八毫角秒每年，北向自行七点二毫角秒每年。两年后，椭圆中心向东移三十六毫角秒，向北移十四点四毫角秒。每次一年周期仍在，轨迹却不会闭合。

几何上得到距离以后，可以再求横向速度。把角速度换成弧度每年，乘距离，就得到一年走过的长度。一个天文单位每年约为每秒四点七四零四七千米，由此得到常用换算。

$$
x(t)=x_0+\mu_xt+\varpi P_x(t),\quad y(t)=y_0+\mu_yt+\varpi P_y(t)
$$

这里把两个正弦投影分别简写为视差因子。测量模型共有两个起始位置、两个自行和一个视差。

$$
v_\perp[\mathrm{km\,s^{-1}}]=4.74047\,r[\mathrm{pc}]\,\mu[\mathrm{arcsec\,yr^{-1}}]
$$

自行总量是两个切平面分量平方和的平方根。距离二十秒差距、自行总量一角秒每年，对应横向速度约每秒九十四点八千米。

## 这套近似在哪儿需要升级

圆轨道让投影关系容易看清。真实观测需要精确星历，卫星也不恰好待在地球中心。高精度模型还要处理光行差、光线被引力偏折，以及参考系和仪器校准。

匀速自行适合有限的时间跨度。很近且径向速度大的恒星会出现透视加速；双星的光心轨道也会叠加弯曲。下一章先研究在既定单星模型里如何拟合，最后的论文阅读再把这些现实问题接回来。

对应阅读：Lindegren et al. · JPL Horizons system manual

## 亲手试一试

### [先预测投影，再改变方向](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stellar-parallax-proper-motion/)

1. 固定距离为二十秒差距、自行为零。预测黄纬从零增到九十度时，轨迹两轴半幅怎样变化。
2. 选“黄道上的直线”和“极点附近的圆”，再把黄纬改为负值，比较沿轨迹运动的方向。
3. 保持距离不变，把东向自行调到十八，解释两年后的中心位移。

## 练习与答案

一颗星的年度往返最大幅度为四十毫角秒，它离我们多远？

四十毫角秒是全幅，半幅视差为二十毫角秒。用一千除以二十，距离为五十秒差距。

黄纬负三十度、视差四十毫角秒，两个半轴是多少？

东向半轴为四十毫角秒，北向半轴长度为二十毫角秒。负黄纬改变北向分量的相位符号，半轴长度仍取正值。

把恒星距离加倍、自行角速度保持不变，它的横向速度怎样变化？

横向速度是距离与角速度的乘积。距离加倍且角速度不变，横向速度也加倍。这与把同一颗匀速星移远后角自行减半，是两个不同的条件。

[上一篇：天空中挨着的星，可能相隔多远](https://sandboxphysics.com/zh/stories/astrometry/depth-of-sky/) [下一篇：从带噪位置里分出视差和自行](https://sandboxphysics.com/zh/stories/astrometry/five-parameter-fit/)

## 来源与计算范围

1. [Lindegren et al., Gaia EDR3 — The astrometric solution, arXiv:2012.03380v1](https://arxiv.org/html/2012.03380v1)

   第 3.1、5.3 至 5.7 节，公式二十三、图十至十二。核读固定版本的源模型与协方差约定；DR3 基础天体测量继承 EDR3。

2. [JPL Horizons system manual](https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons/manual.html)

   供升级精确星历时参考坐标系和观测者向量约定。浏览器采用已说明的圆轨道，没有把它称作 Horizons 星历。