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title: "气泡上浮时把多少焓交给周围"
description: "从内部能量和排开气体的功推出气泡焓，再计算绝热上浮时的能量释放与耗散延迟。"
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language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/agn-feedback/enthalpy-of-a-rising-bubble/"
last_modified: "2026-11-12"
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[跟着能量走过黑洞气泡与星系团气体](https://sandboxphysics.com/zh/stories/agn-feedback/)

L1 · 气泡、波与星系团加热

# 气泡上浮时把多少焓交给周围

Sandbox Physics · 2026-11-12

一个压力平衡的轻气泡往外升，外界压强下降，它便继续膨胀。气泡仍然可以带走大部分能量；要知道沿途交出了多少，应该追踪焓随压强的变化。

## 开始前需要什么

需要知道功、能量、压强和体积。下面会用到微分：把一次很小的变化写出来，再把关系从起点累积到终点。先读前两篇，可以把公式对应到气泡和压强波的图像。

## 先只算一个气泡

从星系团中心向外量距离$r$，向外为正。气泡体积为$V$，内部能量为$U$。压强$p$采用帕斯卡，体积采用立方米，功与能量采用焦耳。外界引力的大小$g$为正，方向朝内。

假设气泡比周围气体轻，膨胀和上升时都能近似保持压力平衡；气泡内部采用理想状态方程。比热比描述气体受压时内能怎样变化。这里气泡的比热比取三分之四；外部单原子热气体的比热比则是三分之五，两者不可互换。

$$
U=\frac{pV}{\gamma_b-1},\qquad H\equiv U+pV=\frac{\gamma_b}{\gamma_b-1}pV
$$

内能之外，气泡还必须推开外界，腾出自己占据的体积。内能加上这项排开介质的功，就是焓。

对应阅读：Rafferty et al. (2006) · Bîrzan et al. (2004)

## 四倍从哪里来

把比热比三分之四代入，内能等于三倍压强乘体积，再加一份排开气体的功，就得到四倍。这里算的是一个空腔；一对空腔应分别计算后相加。

这种估算把空腔的组成放进了一个状态方程。相对论性粒子占主导时，三分之四是常用近似；若改用普通单原子气体，系数会变成二点五。观测上估计体积与周围压强的误差，也会直接影响焓。

$$
\gamma_b=\frac43\quad\Longrightarrow\quad U=3pV,\qquad H=4pV
$$

系数四来自内部状态方程，图像则帮助估计体积。

对应阅读：Rafferty et al. (2006)

## 压强降低一半，焓会降低多少

气泡脱离源之后，先忽略与外界交换热和物质。第一定律说，气泡膨胀所做的功来自内部能量；把很小的体积变化代进去，可以得到绝热关系。

$$
dU=-p\,dV\quad\Longrightarrow\quad pV^{\gamma_b}=\mathrm{constant}
$$

这里假定内部比热比不变，变化足够缓慢以保持压力平衡。

$$
\frac{V}{V_d}=\left(\frac{p_d}{p}\right)^{1/\gamma_b},\qquad\frac{H}{H_d}=\left(\frac{p}{p_d}\right)^{(\gamma_b-1)/\gamma_b}
$$

下标表示脱离时的值。体积增长抵消了部分压强下降，因此焓下降得比压强慢。

$$
\gamma_b=\frac43:\qquad\frac{H}{H_d}=\left(\frac{p}{p_d}\right)^{1/4}
$$

外界压强减半，焓保留约百分之八十四点一，已经交出的部分约为百分之十五点九。

## 把数字带进去

取一个示例：脱离时压强为$5.00\times10^{-11}\,\mathrm{Pa}$，体积为$1.00\times10^{60}\,\mathrm{m^3}$。它的初始焓为$2.00\times10^{50}\,\mathrm J$。这组给定的示例参数用来演示计算步骤。

当外界压强降到一半，体积增长到原来的约一点六八二倍。若形状仍近似球形，半径增长到约一点一八九倍。此时焓约剩一点六八二乘十的五十次方焦耳，减少的约三点一八乘十的四十九次方焦耳已经可以带动周围气体。

| 量 | 初始值的倍数 |
| --- | --- |
| 外界压强 | 0.500 |
| 气泡体积 | 1.68 |
| 球形半径 | 1.19 |
| 气泡焓 | 0.841 |

## 交出去的焓还可能留在运动中

外部大气若接近静水平衡，压强梯度支撑着气体的重量。对绝热气泡求微分，能直接看到焓的减少与浮力做功的联系。

$$
\frac{dp}{dr}=-\rho g,\qquad dH=V\,dp\quad\Longrightarrow\quad-\frac{dH}{dr}=\rho gV
$$

右侧是气泡排开气体的重量。它说明释放了多少机械能，尚未规定这些能量多快变成热。

$$
\dot K=-\frac K\tau,\qquad Q(t)=E_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)
$$

这只是一个给定耗散时标的模型：一笔能量先进入尾流运动，再逐渐转成热。一个时标后约百分之六十三点二已热化，剩下的仍在运动中。

对应阅读：Rafferty et al. (2006)

## 亲手观察

### [把气泡位置和热化位置分开看](https://sandboxphysics.com/zh/labs/agn-cavity-transport/)

1. 先预测：耗散时间加长后，气泡会走得更远，还是只改变热出现的时间？
2. 在同一物理时刻比较“一对气泡上浮”和“热来得更晚”。
3. 看相同的气泡几何，再比较径向热化与尾流能量，解释能量暂时存在哪里。

## 练习与答案

把气泡的内部状态方程换成普通单原子气体，焓是几倍压强乘体积？压强减半后保留多少？

比热比为$5/3$，系数变为$5/2$；保留比例为$2^{-2/5}\simeq0.758$。状态方程改变了同一压强与体积对应的能量。

一笔能量进入尾流后，经过两个耗散时标，有多少已经转成热？气泡必须在原处等它吗？

已经热化的比例为$1-e^{-2}\simeq0.865$。气泡可以继续上浮；气体先前收到的运动能量仍会在经过的位置耗散。

[上一篇：压强波经过，气体一定留下热吗](https://sandboxphysics.com/zh/stories/agn-feedback/pressure-is-not-heat/) [下一篇：把径向输运和辐射冷却放到一起算](https://sandboxphysics.com/zh/stories/agn-feedback/cooling-and-transport/)

## 一手来源与计算说明

1. [Bîrzan et al. (2004), A systematic study of radio-induced X-ray cavities in clusters, groups, and galaxies](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0402348v2)

   固定二〇〇四年四月三十日版本：4.1节说明三种空腔年龄，5.2节式7—9推导浮力与焓的转移，5.3节比较机械功率和辐射损失。英仙座输入数值仍取自另外标明的Rafferty二〇〇六年表格。

2. [Rafferty et al. (2006), The feedback-regulated growth of black holes and bulges](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0605323v2)

   固定二〇〇六年七月二十日版本：表A1英仙座行、表2对应行及脚注、3.1.2—3.1.3节。教程选取内侧一对空腔并明确自己的年龄估算方式。