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title: "把径向输运和辐射冷却放到一起算"
description: "定义壳层、功率和能量，再比较气泡输运、尾流耗散与球面气体中的热释放。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/agn-feedback/cooling-and-transport/"
last_modified: "2026-11-12"
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[跟着能量走过黑洞气泡与星系团气体](https://sandboxphysics.com/zh/stories/agn-feedback/)

L2 · 气泡、波与星系团加热

# 把径向输运和辐射冷却放到一起算

Sandbox Physics · 2026-11-12

一个空腔的能量足够大，还要看它在哪里释放、多久释放一次。把星系团分成径向壳层，分别算得到的热和失去的辐射，才能看出哪一层仍在损失能量。

## 开始前需要什么

先读气泡焓一章。需要功率与能量的区别，并知道球壳体积如何随半径增加。这里先用完全电离的纯氢气体和自由—自由辐射建立可算的例子。

## 半径、壳层和比较的时间都要固定

向外的半径为$r$。第一个壳层从中心开始，之后每层由内、外半径定义。壳层内的辐射功率用瓦，累积损失用焦耳。比较两条曲线时，采用相同的外边界$R$和相同的起止时间。

功率描述此刻每秒传出多少能量，能量则描述某段时间累积了多少。把一场短爆发的总焓直接与持续辐射的功率相比，单位就不对。可以把焓除以明确的时间，或把辐射功率在同一时间内积分。

$$
L_{{\rm rad},k}(t)=\int_{r_k}^{r_{k+1}}\epsilon(r,t)\,4\pi r^2dr,\qquad E_{{\rm rad},k}=\int_{t_0}^{t_1}L_{{\rm rad},k}(t)\,dt
$$

体积因子把局部每立方米的辐射换成整层功率，再沿时间累积。

对应阅读：Rafferty et al. (2006)

## 密度加倍，冷却会怎样

纯氢完全电离后，每个质子对应一个电子。电子与离子都贡献热压强；自由—自由辐射的碰撞机会则随电子密度和离子密度的乘积增加。固定温度时，密度加倍，单位体积内能加倍，辐射却增加到四倍。

$$
u=3n_e k_BT,\qquad\epsilon_{\rm ff}=n_e^2\Lambda_{\rm ff}(T),\qquad t_{\rm cool,U}=\frac{u}{\epsilon_{\rm ff}}
$$

这里定义的是内能除以辐射功率的局部时间。采用焓或其他气体成分时，冷却时间的系数会改变，读取论文时应先查看定义。

| 同温度下的变化 | 原值的倍数 |
| --- | --- |
| 电子密度 | 2 |
| 单位体积内能 | 2 |
| 单位体积辐射功率 | 4 |
| 这里定义的冷却时间 | 0.5 |

## 气泡经过和热出现，可以相隔很久

每个壳层接收气泡在其中上浮时释放的焓。把这部分先存为尾流运动，再以一个给定时标耗散，就能分别追踪“已经交出去”与“已经成为热”。同一条路径，在较长耗散时间下会留下更多运动能量、更少热。

$$
\dot K_k=\dot W_k-\frac{K_k}{\tau_d},\qquad\dot Q_k=\frac{K_k}{\tau_d}
$$

流入尾流的是气泡释放的功率，流出尾流的是热化功率。逐层相加后，这种传递保留总能量。

$$
H_{\rm pair}(t)+\sum_k\bigl[K_k(t)+Q_k(t)\bigr]=0.95E_{\rm in}(t)
$$

这是配套规定源例子的气泡分支。这条关系描述气泡、尾流和热之间的转移，背景气体在此维持给定温度。

## 把一份输入分开，只能用一次

为比较气泡与温和热脉冲，例子把总输入的百分之九十五交给气泡，百分之五暂存，并在第十八至十九百万年释放到中心三千秒差距内。这个比例是教学设定。气体随后按球对称欧拉方程演化，同时受到引力和辐射冷却影响。

平均总功率取$10^{43}\,\mathrm{erg\,s^{-1}}$，输入持续十八百万年，累积总能量为$5.680368\times10^{50}\,\mathrm J$。气泡分支得到$5.3963496\times10^{50}\,\mathrm J$，中心热脉冲得到$2.840184\times10^{49}\,\mathrm J$。两部分相加正好回到总输入。

不能先让气泡用掉百分之百，再额外加百分之五热源；也不能把气泡已释放的尾流能量重复计入欧拉气体。这里两项计算共用初始大气与总输入，暂时不求解彼此的反作用。

对应阅读：Sandbox Physics

## 用匹配的纯冷却气体辨认这列波

热脉冲很弱，背景却一直在冷却和缓慢调整。只看总速度，可能把原本向内的冷却运动也算进波里。为此，从同一初态再算一份只有冷却、没有热脉冲的气体；在同一时刻、同一体积平均网格上比较两者。

差值帮助辨认压强扰动和速度变化，但两份解都是非线性演化的结果。换一个源功率，需要重新求解，不能把这份差值按功率放大。在六千万年末端，实际空间比较的最大相对误差约为百分之三点三二，同网格半时间步比较约为百万分之四点八六。

这些检查接纳了这组温和波的数值结果。是否把热送到需要的半径、是否在多个爆发周期里稳定补充损失，则要继续引入气体回流、耗散方式和源响应。下一步可以先用真实空腔表格，检查能量与时间的数量级。

对应阅读：Sandbox Physics · Rafferty et al. (2006)

## 亲手观察

### [固定时刻比较运输和热](https://sandboxphysics.com/zh/labs/agn-cavity-transport/)

1. 在气泡页选相同物理时刻，比较正常辐射与已经得到的热。
2. 换到声波页，把取样点放到同一半径，逐帧观察相对纯冷却的压强变化。
3. 解释为什么波经过某处，与该处已经获得足够热能，是两项不同的检查。

## 练习与答案

同温度、同体积气体的密度加倍，为什么“内能更多”仍不能阻止它更快冷却？

内能只随密度增加一倍，电子与离子碰撞造成的辐射却随密度平方增加到四倍。内能除辐射功率的时间因此减半。

一场爆发留下的气泡焓能抵偿五百万年的辐射。若类似爆发每两千万年才出现一次，这是否足够给出长期平衡？

按这些指定值，长期平均输入只覆盖四分之一的辐射损失；还需其他能量或更频繁的爆发。即使平均能量相等，释放半径与耗散时间仍会影响局部气体。

[上一篇：气泡上浮时把多少焓交给周围](https://sandboxphysics.com/zh/stories/agn-feedback/enthalpy-of-a-rising-bubble/) [下一篇：用英仙座的一对空腔复算能量与冷却](https://sandboxphysics.com/zh/stories/agn-feedback/perseus-cavity-replay/)

## 一手来源与计算说明

1. [Rafferty et al. (2006), The feedback-regulated growth of black holes and bulges](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0605323v2)

   固定二〇〇六年七月二十日版本：表A1英仙座行、表2对应行及脚注、3.1.2—3.1.3节。教程选取内侧一对空腔并明确自己的年龄估算方式。

2. [Sandbox Physics, frozen gentle-source numerical evidence (2026)](https://sandboxphysics.com/stories/agn-feedback/materials/wave-refinement-manifest.json)

   实际512/1024/2048/4096细化历史、原激波条件与匹配对照。源功率和科学门保持不变，最终仍无分辨的AGN激波。