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title: "慢慢转弯和突然掉头能散得一样快吗"
description: "从方向相关推导自由游动的位移曲线，比较布朗转向和随机翻滚，区分单条轨迹与总体统计。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[活性物质 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/)

L2 · 第 2 章

# 慢慢转弯和突然掉头能散得一样快吗

在自由运动中，只要速度和方向相关时间相同，两种模型的均方位移就相同，单条轨迹仍可以很不一样。把 Cates 与 Tailleur 的 arXiv:1406.3533v1 第 2.1 节放在旁边，下面逐步算出这个可检验的结果。

Sandbox Physics · 2026-10-28

这一章

[查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/)

开始前

先读上一章。会用时间积分，知道指数衰减，也知道重复模拟后求平均是什么意思。

## 先把方向、单位和随机量说清楚

粒子在平面上运动，位置用长度单位，时间另定单位；朝向角从水平正方向逆时针量起，采用弧度。活性布朗粒子以固定速度朝前游，角度不断受随机扰动。位置还可以叠加普通布朗扩散。

下面两个位置随机增量和一个角度随机增量彼此独立，平均值为零，方差等于时间步长。平动扩散系数的单位是长度平方除以时间，转动扩散系数的单位是时间的倒数。先把邻居、外力和墙都拿掉，只检验自由运动。

$$
d\mathbf r=v_0(\cos\theta,\sin\theta)\,dt+\sqrt{2D_t}\,d\mathbf W,\qquad d\theta=\sqrt{2D_r}\,dW_\theta
$$

## 两种转向都从一条相关曲线入手

角度做布朗扩散时，新旧角度之差服从高斯分布，方差随时间增长。对这个角度差的余弦求平均，得到指数衰减，衰减时间就是转动扩散系数的倒数。

另一种粒子先直行，等一次随机事件到来，再从所有方向里均匀抽取一个新朝向。这叫 run-and-tumble，中文常说游动—翻滚。只要翻滚已经发生，新方向就忘了旧方向；方向相关只来自“到现在还没翻滚”的那部分粒子。这个概率同样按指数衰减。

二维情况下，把瞬时、完全随机翻滚的速率设成转动扩散系数，两条方向相关曲线就重合了。若每次只转一小角，或者翻滚本身需要时间，就要按新的转向过程重新计算。

$$
C(t)=\langle\mathbf n(t)\cdot\mathbf n(0)\rangle=e^{-t/\tau},\qquad \tau_{\rm ABP}=D_r^{-1},\quad\tau_{\rm RTP}=\alpha^{-1}
$$

## 把速度积起来，再把位移平方

位移等于速度随时间的积分。把位移平方，会得到对两个时刻的二重积分；稳定自由运动中，速度相关只依赖两时刻相差多久，二重积分便可化成下面的一重积分。

结果里第一项是平动布朗扩散，第二项来自自推进。短时间展开指数，活性部分随时间平方增长；长时间看曲线斜率，有效扩散系数等于平动扩散系数，再加上速度平方乘持续时间的一半。这里的一半来自二维。

$$
\begin{aligned}\langle|\Delta\mathbf r(t)|^2\rangle&=4D_t t+2v_0^2\int_0^t(t-s)e^{-s/\tau}\,ds\\&=4D_t t+2v_0^2\tau\left[t-\tau(1-e^{-t/\tau})\right].\end{aligned}
$$

完整例题

## 给模拟一个明确的数字

选定长度和时间单位，让游动速度为 2，持续时间为 0.5，平动扩散系数为 0.1。经过一个时间单位，被动部分贡献 0.4，活性部分约贡献 2.271，总均方位移约为 2.671。

用许多独立种子重复模拟，再拿平均结果来比较。缩小时间步长，系统误差应当减小；增加重复次数，抽样波动应当变小。还可以把自推进关掉，此时只剩普通二维布朗扩散，检验更直接。

邻居之间的对齐是另外一种相互作用。极性对齐让大家朝同一个方向，向列对齐则把一个方向和它的反向当成等价。检验自由运动公式时先关掉对齐，才知道偏差来自运动算法还是相互作用。

$$
\langle|\Delta\mathbf r(1)|^2\rangle=0.4+4\left[1-\tfrac12(1-e^{-2})\right]\approx2.671
$$

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 速度加倍后，短时间的活性位移平方会怎样变化？
2. 把布朗转向和随机翻滚设到相同持续时间，用不同种子导出多次自由运动记录。
3. 指出哪项总体统计应该相同，再指出单条轨迹上哪种形状仍会不同。

[观察游动粒子聚集](https://sandboxphysics.com/zh/labs/active-particle-clustering/)

这些 Lab 生成粒子或连续场的合成记录，页面模型说明列出实际动力学和单位。

## 试着自己解释

### 1. 周期盒子里的粒子可以绕很多圈。为什么不能用屏幕上折回盒内的位置计算长时间位移？

展开答案与解释

折回后的位置丢掉了绕盒次数，走了很远也可能看起来回到起点。位移要用展开轨迹，绘图和局部邻居计算再用盒内坐标。

### 2. 两种运动的长时间扩散系数相同，短时间也一样吗？

展开答案与解释

不一定。普通布朗扩散从一开始就随时间线性增长，自推进贡献在短时间随时间平方增长。晚期斜率相同仍会有不同的早期曲线。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Cates & Tailleur, Motility-Induced Phase Separation, arXiv:1406.3533v1 (2014); Annual Review of Condensed Matter Physics 6 (2015)](https://arxiv.org/abs/1406.3533v1)

   第 2–4 节讨论方向持续性、慢速区积聚和局域密度失稳。课程里的数值例题从写明的假设自行推导。

2. [Howse et al., Self-Motile Colloidal Particles: From Directed Propulsion to Random Walk, Physical Review Letters 99, 048102 (2007)](https://arxiv.org/abs/0706.4406v1)

   为短时定向、长时扩散提供实验背景。课程数值为理想例题，不是从论文提取的测量。

[上一章 会游泳的粒子记得自己朝哪儿走](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/persistent-random-walks/) [下一章 没有吸引力，粒子也会越聚越多](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/crowding-without-attraction/)