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title: "从一幅取向图算出周围的流动"
description: "沿着向列取向、活性应力、受力平衡和不可压缩条件，推导一个能独立检验速度求解器的正弦模式。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[活性物质 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/)

L3 · 第 6 章

# 从一幅取向图算出周围的流动

活性细棒会沿自身方向施加应力。应力从一个地方到另一个地方发生变化，就会给流体净作用力；压力、黏性和底面摩擦再与它平衡，决定低雷诺数流动。取向图与流线必须沿着这一条计算关系相接。

Sandbox Physics · 2026-10-28

这一章

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开始前

先理解无头尾的取向和半整数缺陷。下面会引入矩阵、空间导数和正弦模式，并逐个说明物理含义。

## 用两个数保存一根无头尾的轴

取一个对称、迹为零的二维矩阵。指向角决定两个独立分量，标量有序度表示排列有多整齐。把所有细棒掉头，矩阵不变。这里约定完全有序时标量为一，水平排列的对角分量则为二分之一。

有些论文把二分之一吸收到有序度定义中。比较活性参数前，应先对齐定义；下面的推导固定使用这个约定。

$$
Q=S\left(\mathbf n\mathbf n-\frac12I\right)=\frac S2\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}
$$

## 应力在空间里变化，才给体内净作用力

约定活性应力等于负的活性系数乘向列张量，正活性系数表示伸展型。周期区域里的均匀取向产生均匀应力，应力的散度为零，便没有体内净作用力。取向弯曲或有序度改变，才会出现应力梯度。

压力随之调节，流体不会在某处凭空挤紧。黏性抵抗速度梯度，底面摩擦抵抗速度本身。这就是带屏蔽的 Stokes 方程：每个时刻直接平衡受力，不保留流体加速度。摩擦是这里为教学模型增加的物理项，与 Giomi 2015 年论文的无底面摩擦背景有别。

$$
\sigma^{\rm a}_{ij}=-\zeta Q_{ij},\quad f_i=\partial_j\sigma^{\rm a}_{ij},\qquad -\nabla p+\eta\nabla^2\mathbf u-\Gamma\mathbf u+\mathbf f=0,\quad\nabla\cdot\mathbf u=0
$$

## 压力拿走了沿波矢的那部分力

傅里叶模式就是方向和波长已知的正弦图案，空间求导可以换成乘上对应波矢分量。把力拆成平行波矢和垂直波矢两部分，压力抵消前者，只剩后者驱动不可压缩速度。

把剩下的力除以“黏度乘波数平方，再加摩擦”，就得到速度的幅度和相位。周期模型没有外加净通流时，把零波数的平均速度设为零。

$$
\widehat{\mathbf u}(\mathbf k)=\frac{\left(I-\frac{\mathbf k\mathbf k^{\mathsf T}}{|\mathbf k|^2}\right)\widehat{\mathbf f}(\mathbf k)}{\eta|\mathbf k|^2+\Gamma}\quad(\mathbf k\ne0)
$$

完整例题

## 用一条正弦波逐步查到底

令非对角取向分量沿竖直方向按正弦变化，对角分量为零。应力散度给出沿水平方向、幅度按余弦变化的力。力与竖直波矢正交，压力不会把它抵消。

在一致的无量纲单位中，活性系数取 2，取向幅度取 0.1，黏度、摩擦和波数都取 1，水平速度幅度就是负 0.1。改变活性正负，流向反转；活性为零，流动消失。这个带符号的例子同时检验应力符号、求导和速度幅度。

网格导数只是连续导数的近似，要比较逐步加密的结果。配套基准保存了分辨率 16、32、64 相对连续解的误差。误差随加密下降，检验的是力到速度这一步，无须靠缺陷看起来“走得对”来判断。

$$
Q_{xy}=A\sin(ky),\quad Q_{xx}=0,\qquad u_x=-\frac{\zeta Ak}{\eta k^2+\Gamma}\cos(ky),\quad u_y=0
$$

## 再让细棒回应流动

动态向列场还需要一条演化方程。局部松弛让有序度趋向有限值，弹性抹平太急的空间变化，平流搬运图案，局部旋转带着取向转动，流动对齐还会让细棒偏向伸展方向。取向和流动就这样彼此影响。

浏览器模型按写明的最小松弛、平流、旋转和对齐规律演化两个取向分量，再从同一场的活性应力重新求流动。它是带摩擦的小型周期连续场模型，参数取无量纲教学值。生物组织的定量预测还需要测量对应材料系数。

缺陷轨迹从演化的取向场检测而来。正半整数纹理的不对称允许定向运动；理想负半整数纹理具有三重对称。多缺陷环境里，两者也会受邻居和整体平流影响。要区分自推进与被流场带走，先在受控初态中比较。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 初始取向固定时，活性符号反转会怎样改变起初的流向？
2. 用同一缺陷图案重置，比较伸展型和收缩型，再增大摩擦。
3. 沿“取向变化—应力梯度—横向流动”解释一处变化，同时查看保存的场和检测轨迹。

[同时追踪缺陷与流体](https://sandboxphysics.com/zh/labs/active-nematic-flow/)

这些 Lab 生成粒子或连续场的合成记录，页面模型说明列出实际动力学和单位。

## 试着自己解释

### 1. 周期区域里，均匀但很大的活性应力一定产生流动吗？

展开答案与解释

不一定。体内作用力来自应力散度，均匀应力的散度为零。有实体边界时，还需要另算边界牵引。

### 2. 某个力模式完全平行于自身波矢，不可压缩速度是多少？

展开答案与解释

这个模式的速度为零，压力平衡了全部纵向力。对力应用横向投影，也会直接得到零。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Giomi, Geometry and topology of turbulence in active nematics, arXiv:1409.1555v2 (2015), Physical Review X 5, 031003](https://arxiv.org/abs/1409.1555v2)

   方程（1）、第 I.2 节和图 2 提供连续场模型与活性长度背景。本站用人为指定的可解场检验流动计算，与论文的湍流模拟分开。

2. [Serra, Lemma, Giomi, Dogic & Mahadevan, Defect-mediated dynamics of coherent structures in active nematics, Nature Physics 19, 1355–1361 (2023)](https://doi.org/10.1038/s41567-023-02062-y)

   图 1 和方程（1）至（3）介绍流映射与有限时间拉伸；图 2 使用微管与驱动蛋白实验的速度场。这里作阅读引导，不复制图片，也未导入实验数据。

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