---
title: "算出一条密度波纹会长大还是消失"
description: "推导局域 MIPS 失稳条件，加入普通扩散，并用保存的粒子记录设计固定密度的尺寸比较。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/density-instability/"
language: "zh-CN"
page_type: "story"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/stories/active-matter/density-instability/"
last_modified: "2026-10-28"
---

[活性物质 · 边学边做实验](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/)

L3 · 第 4 章

# 算出一条密度波纹会长大还是消失

在密度缓变、速度只依赖局域密度且没有位置布朗扩散的近似下，速度对密度的对数斜率低于负一，微小起伏就会增长。这个条件判断的是均匀状态能否保持，并不给出最终稀相和稠相各有多密。

Sandbox Physics · 2026-10-28

这一章

[查看八章课程](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/)

开始前

先理解自由游动和拥挤减速。下面会用到空间导数，以及扩散系数的正负。

## 先写粒子流，再讨论失稳

密度表示单位面积里的粒子数，局部游动速度只随这个密度变化，方向持续时间固定。先看远大于持续长度的尺度：朝向已经来得及松弛，密度图案却还在慢慢变。

活性粒子流有两部分，一部分沿密度梯度向外摊开，另一部分向游得慢的地方积聚。把密度决定的速度代进去，两部分合成一个集体扩散系数。再加上独立的位置布朗扩散，就得到下式。粒子流的单位是每单位线长、每单位时间通过的粒子数。

$$
\begin{aligned}\mathbf J&=-\mathcal D(\rho)\nabla\rho,\\\mathcal D(\rho)&=D_t+\frac{v(\rho)^2\tau}{2}\left[1+\rho\frac{d\ln v}{d\rho}\right].\end{aligned}
$$

## 只给均匀分布加一条很浅的波纹

粒子数守恒告诉我们，哪里流出得多，密度就下降。在平均密度上叠加一个很小的正弦起伏，只保留一阶变化，集体扩散系数便可以取平均密度处的值。系数为正，波纹被抹平；系数为负，波纹长大。

没有位置布朗扩散时，方括号变负便会失稳。如果普通扩散还在，它会抵消一部分负的活性贡献。这也解释了为什么降低全部游动速度时，拥挤团块可能散开：主动反馈变弱，普通扩散还在。

$$
\delta\rho\propto e^{\sigma t}\cos(kx),\qquad\sigma=-k^2\mathcal D(\rho_0),\qquad D_t=0:\quad\rho_0\frac{d\ln v}{d\rho}\bigg|_{\rho_0}<-1
$$

完整例题

## 选一条能算到底的减速规律

让游动速度随密度指数下降。分母的密度尺度和实际密度单位相同，指数里的量便没有单位。对数斜率直接等于密度除以该尺度，再加负号。没有普通扩散时，平均密度达到该尺度的一点五倍，局域近似预测失稳。

再设此处方括号前的活性扩散率是 0.2，方括号为负 0.5，普通扩散率为 0.03，单位都按选定的长度和时间计算。合起来得到集体扩散率负 0.07。波数为 0.5 的微弱波纹，其增长率便是 0.0175。这是独立的解析例题；使用非局域密度平滑的浏览器模型，需要按自身的速度规律另算。

$$
v(\rho)=v_0e^{-\rho/\rho_*},\quad\mathcal D(\rho_0)=0.03+0.2(1-1.5)=-0.07,\quad\sigma=0.0175
$$

## 盒子决定哪些波纹放得下

周期盒子只容得下整圈接得上的波长。边长为二十时，最小非零波数约为 0.314。盒子边长加倍，就能容下波数减半的模式。按局域公式，即使扩散率为负，这个长波模式起初也会慢四倍长大。

短波需要考虑之前省略的密度平滑或高阶梯度项，否则公式会错误地预言波数越大、增长越快。比较盒子大小时，还要保存平滑核半径和时间步长，才能分清是尺寸变了，还是模型本身变了。

$$
k_{\min}=\frac{2\pi}{L},\qquad \rho_0=\frac{N}{L^2}
$$

## 把比较做在同一个平均密度上

盒子边长加倍，粒子数就增加到四倍。保持局部相互作用长度、时间步长和速度规律不变，用几个独立种子重复，并保存整段时间序列。只保留最后一帧，会丢掉增长过程。

每份记录用相同物理大小的小格统计粒子数，除以格子面积，再比较密度直方图、相关长度和选定傅里叶模式的幅度。报告最大团簇比例前，先写清楚相隔多近才算同一团。看完照片再挑距离阈值，很容易把视觉印象写成统计结论。

连续场条件检验缓慢、微弱起伏的极限，有限粒子记录检验具体的随机粒子模型。尺度分离和数值收敛都看得见，两者的比较才有说服力。

带着问题动手

## 先预测，再改变，最后解释

1. 先选定局域速度规律，判断弱密度波纹的增长率正负。
2. 固定平均密度和平滑长度，比较几种尺寸与多个种子的导出记录。
3. 分别说明线性失稳、一次有限团簇事件和大尺度共存各需要什么证据。

[观察游动粒子聚集](https://sandboxphysics.com/zh/labs/active-particle-clustering/)

这些 Lab 生成粒子或连续场的合成记录，页面模型说明列出实际动力学和单位。

## 试着自己解释

### 1. 指数减速例子中，密度恰好等于密度尺度，而且普通扩散不为零，波纹会怎样？

展开答案与解释

此时活性方括号恰好为零，只剩正的普通扩散，波纹会衰减。失稳阈值要移到更高密度。

### 2. 知道线性失稳条件，就知道最终稠密区的密度了吗？

展开答案与解释

还不知道。线性分析只判断一个选定的均匀状态能否保持。最终共存密度还取决于非线性规律、界面以及相应的共存选择。

## 可以放在旁边读的来源

1. [Cates & Tailleur, Motility-Induced Phase Separation, arXiv:1406.3533v1 (2014); Annual Review of Condensed Matter Physics 6 (2015)](https://arxiv.org/abs/1406.3533v1)

   第 2–4 节讨论方向持续性、慢速区积聚和局域密度失稳。课程里的数值例题从写明的假设自行推导。

2. [Fily & Marchetti, Athermal Phase Separation of Self-Propelled Particles with No Alignment, arXiv:1201.4847v2, Physical Review Letters 108, 235702 (2012)](https://arxiv.org/abs/1201.4847v2)

   研究无对齐、纯排斥自推进圆盘的原始数值论文。其微观受力模型与浏览器的密度减速模型不同。

3. [Stenhammar et al., A continuum theory of phase separation kinetics for active Brownian particles, arXiv:1307.4373v2, Physical Review Letters 111, 145702 (2013)](https://arxiv.org/abs/1307.4373v2)

   说明领先密度梯度项怎样扩展局域减速描述。课程的微弱波纹例题另按局域极限计算。

[上一章 没有吸引力，粒子也会越聚越多](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/crowding-without-attraction/) [下一章 绕缺陷一圈，为什么方向只转了半圈](https://sandboxphysics.com/zh/stories/active-matter/headless-order-and-defects/)