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title: "读 Barnkob 等人 2012 年把辐射力和声流分开测量的论文"
description: "带着第五、六章的公式读 Barnkob 等人 2012 年的微粒测速论文：他们测了什么、怎样拟合、哪些比值支持理论，以及还有什么没解决。"
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last_modified: "2026-10-29"
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[声学与超声](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/)

L4 · 第 8 章

# 读 Barnkob 等人 2012 年把辐射力和声流分开测量的论文

Sandbox Physics · 2026-10-29

前两章的公式有一个漂亮的推论：辐射漂移正比于颗粒尺寸的平方，声流漂移与尺寸无关。Barnkob、Augustsson、Laurell 和 Bruus 在 2012 年用微粒图像测速直接检验了这一点。这一章按论文的顺序读下去，每一步都问：他们测的是什么，结论靠的是哪个数字，我们能复算哪些。

## 开始前需要什么

需要第三章的通道共振、第五章的辐射力和第六章的声流公式。读到误差棒和加权平均时，知道拟合参数有不确定度即可。

- 说出论文的实验设计、四组测量和用来检验理论的关键比值。
- 复算论文表 II 的对比因子、粘性穿透深度和临界直径，并指出论文与本课程模型各自的局限。

## 他们测了什么

实验对象是一条硅玻璃芯片上的直通道，宽 377 µm、高 157 µm，压电片在通道宽度方向激起驻波。他们在通道高度的水平对称面上拍摄聚苯乙烯微粒，直径从 0.6 µm 到 10 µm，用微粒图像测速（micro-PIV）求出每个位置的速度。

共四组测量：两组在纯水中、1.940 MHz、通道宽度为半个波长（第二组是第一组的重复）；一组在纯水中、3.900 MHz、宽度为一个波长；一组在 3:1 的水—甘油混合液中、2.027 MHz。不同电压下测得的速度按“速度正比于电压平方”统一换算到 1 V。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

## 他们检验的模型

在对称面上，颗粒速度的水平分量是辐射漂移与声流拖曳之和，二者都正比于 $\sin(2ky)$。每个颗粒尺寸只需拟合一个振幅 $u_a$。理论说 $u_a$ 对 $a^2$ 是一条直线，截距来自声流，斜率来自辐射力。

论文对平行板的 Rayleigh 系数做了两项修正：矩形截面乘 0.82，热粘效应乘 1.26，得到 $s\approx0.194$。辐射项还要除以壁面阻力修正因子 $\chi$，因为靠近壁面的颗粒受到更大的阻力。

$$
u_a=u_0\frac{a^2}{a_0^2}+u_0s,\qquad \frac{u^{\mathrm{rad}}}{u^{\mathrm{str}}}=\frac{1}{6s}\frac{\Phi}{\nu}\,\omega a^2
$$

论文式 12 和 13。右式说明比值只取决于频率、颗粒大小和 $\nu/\Phi$ 这一组合，与声场强度无关。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

## 数字怎样支持结论

第一，四组数据各自都呈现清楚的 $a^2$ 关系（图 8）。拟合给出的每伏声能密度在各组之间相差七百多倍，说明各组激起的共振强弱很不一样；而声流系数在 0.18 到 0.25 之间，按不确定度加权平均为 $0.192\pm0.010$，与理论 0.194 一致（表 IV）。

第二，把速度除以 $u_0$、尺寸平方除以 $a_0^2$ 后，三组、22 个测量点落在同一条直线上（图 9）。

第三，表 V 的比值。假定 0.6 µm 颗粒只受声流、10 µm 颗粒只受辐射力，二者速度之比在 1.940 MHz 为 49.6，在 3.900 MHz 为 88.4，增大 1.8 倍，而频率增大 2.0 倍。纯水与水—甘油之比约为 3.0（正文写作 48.6/16.4，表中为 49.6），理论按 $\nu/\Phi$ 预测为 3.2。再看 $(u_5-u_{0.6})/(u_{10}-u_{0.6})$：理论为 0.25，测得 0.27 到 0.29。

论文自己列出了误差来源：不同厂家和批次的颗粒密度与压缩率不同、粒径分布不完全是高斯、局部浓度起伏引起颗粒间相互作用、颗粒改变了液体粘度。他们也指出，真实通道里的声场可能远不如这里的一维驻波均匀，声流场还需要在整个截面和全长上测绘。

来源：R. Barnkob

## 完整例题：复算表 II 和临界直径

用表 II 的数据：聚苯乙烯 $\rho_p=1050\,\mathrm{kg/m^3}$、$\kappa_p=249\,\mathrm{TPa^{-1}}$，水 $\rho_0=997\,\mathrm{kg/m^3}$、$\kappa_0=448\,\mathrm{TPa^{-1}}$。$f_1=1-249/448=0.444$，$f_2=2(1.053-1)/(2\times1.053+1)=0.034$，$\Phi=0.444/3+0.034/2=0.165$，表中四舍五入为 0.17。

$\nu/\Phi$ 在纯水中为 5.25 mm²/s，在水—甘油中为 16.8 mm²/s（表 II）。取 $s=0.194$，由 $2a_c=\sqrt{24\nu s/(\omega\Phi)}$：纯水 1.940 MHz 得 1.42 µm，3.900 MHz 得 1.00 µm，水—甘油 2.027 MHz 得 2.48 µm。

再预测表 V 的第一个比值。纯水 1.940 MHz 时 $a_0=1.61\,\mu\mathrm{m}$，用测得的直径 10.16 µm 和 0.59 µm，式 13 给出两种颗粒的辐射与声流之比 $r_{10}=51.5$、$r_{0.6}=0.17$。按论文的假定（大颗粒纯辐射、小颗粒纯声流），速度比就是 51.5；若保留两种颗粒各自的另一部分，由式 12 得 $(1+r_{10})/(1+r_{0.6})=44.7$。测量值 49.6 在两者之间。两种预测都没有计入壁面阻力，这是本课程的复算，不是论文给出的数。

声镊实验复算了表 II 中的对比因子和穿透深度、式 5 与式 14 的数值，以及表 I 中的壁面修正因子。实验里的颗粒轨迹是由解析声场算出的模型输出。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

## 到实验里试一试

### [在实验里重做论文的尺寸扫描](https://sandboxphysics.com/zh/labs/acoustic-radiation-trap/)

1. 把颗粒直径依次设为 0.6、1、2、5、10 µm，记下“辐射漂移与声流漂移之比”的读数。
2. 把读数对 $(2a)^2$ 作图，检查它是否过原点、是否为直线；斜率应为 $1/(4sa_0^2)$。
3. 把通道内半波长个数改为 2，比较 5 µm 颗粒的比值变化与论文 1.940 MHz 到 3.900 MHz 的变化。

## 练习与解答

1. 论文为什么说开大压电片电压不能让 0.6 µm 颗粒聚焦？

   展开解答

   辐射漂移和声流漂移都正比于 $E_{\mathrm{ac}}$，而 $E_{\mathrm{ac}}$ 正比于电压平方，所以二者之比与电压无关。比值只取决于 $\omega a^2\Phi/\nu$，要改善只能提高频率、换低粘度液体或增大对比因子。

2. 表 V 中频率加倍时比值只增大 1.8 倍，这是否否定了理论？

   展开解答

   不能这样下结论。纯比值应增大 $3.900/1.940=2.01$ 倍，论文认为测得的 1.8 倍与之“符合良好”。而且 0.6 µm 颗粒仍带有辐射漂移，按式 13 在 1.940 MHz 约为其声流漂移的 0.17，在 3.900 MHz 约为 0.35；保留这些项（不计壁面阻力），由式 12 预测测得的速度比只增大约 1.73 倍，更接近实测。这是本课程的复算。

3. 如果只读了论文的摘要，能断定临界直径约为 1.4 µm 吗？

   展开解答

   不能。摘要只说比值与尺寸平方、频率和对比因子成正比，与运动粘度成反比。1.4 µm 来自正文式 14，取聚苯乙烯在水中、2 MHz、修正后的声流系数。换液体、频率或颗粒材料，这个数都会变。

[上一章：受声波驱动的气泡怎样从线性共振走向非线性振荡](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/bubble-dynamics/)

## 来源与复算范围

1. [R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)](https://arxiv.org/abs/1208.6534v1)

   2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。

2. [M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)](https://arxiv.org/abs/1110.6037v1)

   2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。