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title: "声学与超声：辐射力、声流、回波与气泡"
description: "跟着水中的超声，从声压和声阻抗走到回波成像、驻波捕获微粒、声流和一个被驱动的气泡。"
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language: "zh-CN"
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last_modified: "2026-10-30"
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[声学与超声](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/)

FR33 · 连续互动课程

# 声学与超声：辐射力、声流、回波与气泡

Sandbox Physics · 2026-10-29

超声只让水挪动几纳米，却能把微珠排成一条线、把液体搅成涡、给它碰到的东西画像，还能让气泡发出新的频率。这门课跟着水中的同一种声场走过这四件事，每个公式都算出数来，并用可以动手的模拟检验。

[从声压和声阻抗开始](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/pressure-velocity-impedance/) 先动手试试

硬侧壁通道中的半波共振。青色：声压振幅，侧壁处最大、正中为零。琥珀色：速度振幅，侧壁处为零、正中最大。$\Phi>0$ 的微珠聚在声压节点上。原创示意图。

## 从一列声压波，到微珠、图像和气泡

第一章写清水中声波由什么构成，并引出声阻抗。第二章求声波在界面上反射回来多少；第三章把声波关在两堵墙之间形成驻波，并与鼓膜、金属板上的驻波对照。第四章把回波时间变成图像，算出一个点为什么会被拍成一团。第五、六章回到驻波：一章推导把微珠推向节点的力，另一章推导带着最小颗粒转圈的缓慢流动。第七章驱动一个气泡，从线性共振一直走到不对称的非线性振荡。最后一章读 2012 年那篇把辐射力和声流分开测量的论文。

需要导数、三角函数和阻尼振子的共振曲线。偏导数、高斯脉冲和 Rayleigh–Plesset 方程在第一次用到时再介绍。 [FR33](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/issues/63)

1. 01 · L1

   ## [水中超声的声压、质点速度和声阻抗](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/pressure-velocity-impedance/)

   从线性声学方程出发，算出 5 MHz 超声在水里让水移动多远、多快，以及声阻抗为什么决定一束声能带走多少能量。

2. 02 · L1

   ## [声波在界面上反射多少、透过多少](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/reflection-at-an-interface/)

   由界面两侧压强和速度连续，推出正入射的反射、透射系数，并用能量守恒检验水对塑料和玻璃的回波强弱。

3. 03 · L2

   ## [鼓膜、平板和充液通道里的驻波](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/standing-waves-and-resonators/)

   把两列反向的声波叠成驻波，求出微流道的共振频率和节点位置，并分清鼓膜、平板与液体声压场里“节点”各指什么。

4. 04 · L2

   ## [回波时间变成图像时，一个点为什么会被拍成一团](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/pulse-echo-imaging/)

   用往返时间把回波排成图像，再由脉冲带宽和阵列孔径算出一个点在深度和横向被模糊成多大，以及鬼影从哪里来。

5. 05 · L3

   ## [声辐射力怎样把微珠推到驻波节点上](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/acoustic-radiation-force/)

   由 Gor’kov 势推出驻波中小颗粒受的辐射力和声学对比因子，找出稳定平衡点，算出 5 µm 微珠回到节点的力、刚度和时间。

6. 06 · L3

   ## [驻波里的声流怎样让液体转圈](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/acoustic-streaming/)

   从壁面粘性边界层出发，写出微流道里 Rayleigh 声流的速度场，并算出辐射力和声流打平手的临界颗粒直径。

7. 07 · L3

   ## [受声波驱动的气泡怎样从线性共振走向非线性振荡](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/bubble-dynamics/)

   用 Rayleigh–Plesset 方程描述水中单个气泡，求出固有频率和阻尼，看强驱动下共振峰怎样左倾、气泡怎样发出倍频和半频声。

8. 08 · L4

   ## [读 Barnkob 等人 2012 年把辐射力和声流分开测量的论文](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/reading-barnkob-2012/)

   带着第五、六章的公式读 Barnkob 等人 2012 年的微粒测速论文：他们测了什么、怎样拟合、哪些比值支持理论，以及还有什么没解决。

## 沿途的实验

[01 **用驻波捕获微珠** 看微珠漂到微流道的声压节点上，把一颗拖出来看它多久回去，再找出声流开始占优的颗粒尺寸。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/acoustic-radiation-trap/) [02 **用回波成像** 向水槽发一个脉冲，用线阵记录回波，看带宽、孔径和阵元间距怎样让三根细丝和一块板变模糊。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ultrasound-pulse-echo/) [03 **驱动一个气泡** 用声波摇动一个微米气泡，把它的半径与线性理论比较，并找出它发出的谐波和次谐波。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/driven-bubble-oscillation/)

三个实验运行的都是模型，不是测量数据。微粒捕获用 Barnkob 等人（2012）的解析声场；成像水槽为点状细丝和流体平板模拟通道数据；气泡实验对单个球形气泡积分 Rayleigh–Plesset 方程。每个实验都把独立检验与模型输出并列，不作任何临床或工程性能上的断言。

## 来源与复算范围

1. [R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)](https://arxiv.org/abs/1208.6534v1)

   2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。

2. [M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)](https://arxiv.org/abs/1110.6037v1)

   2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。

3. [J. A. Jensen, Notes for the International Summer School on Advanced Ultrasound Imaging, Technical University of Denmark (21 May 2024)](https://home.healthtech.dtu.dk/jaj/aui_2024/reading_material/notes_aui_2024.pdf)

   第 2 章式 2.45—2.51（线性声学方程与波动方程）。第 3 章式 3.8—3.11（线孔径、第一零点、第一旁瓣）、式 3.15—3.17（栅瓣）与式 3.24（F 数）。第 5 章式 5.3—5.4（脉冲与往返延迟）。声阻抗反射系数不取自这份讲义。

4. [C. E. Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics, Oxford University Press (1995), online edition](https://resolver.caltech.edu/CaltechBOOK:1995.001)

   第 2 章：式 2.27（Rayleigh–Plesset 方程）、式 2.29（能量积分）、式 2.40（Rayleigh 塌缩时间）。第 3 章第 3.8 节：式 3.10（辐射声压）。第 4 章：式 4.1—4.8（线性响应与固有频率），第 4.4 节与式 4.13—4.14（阻尼；式 4.14 印作半径平方，按量纲改为立方），第 4.5 节（非线性效应，只读正文），第 4.2 节（300 K 水的物性）。书中引自 Lauterborn 和 Flynn 的图只看过，没有从图中读取数值。

5. [K. Maeda and A. D. Maxwell, Controlling the dynamics of cloud cavitation bubbles through acoustic feedback, arXiv:2003.05044v1; Physical Review Applied 15, 034033 (2021)](https://arxiv.org/abs/2003.05044v1)

   只读了摘要（2020 年 3 月 11 日 v1）：用模型估计气泡云的相干动力学，在反馈回路中设定脉冲超声的重复频率。课程只把它作为空化云研究的例子引用，没有取用其中的公式或数值。