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title: "声辐射力怎样把微珠推到驻波节点上"
description: "由 Gor’kov 势推出驻波中小颗粒受的辐射力和声学对比因子，找出稳定平衡点，算出 5 µm 微珠回到节点的力、刚度和时间。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/acoustic-radiation-force/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/acoustics-ultrasound/acoustic-radiation-force/"
last_modified: "2026-10-29"
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[声学与超声](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/)

L3 · 第 5 章

# 声辐射力怎样把微珠推到驻波节点上

Sandbox Physics · 2026-10-29

声压一个周期内正负各半，平均起来为零，可微珠却会稳稳地被推到通道中央。原因在于二阶效应：颗粒把声波散射开，散射波和入射波相乘后留下一个不为零的平均力。这一章把这个力写成一个势，看它的谷底在哪里、有多深、多硬。

## 开始前需要什么

需要第三章的驻波声压场和速度场，以及势能与力的关系：力指向势能下降最快的方向。复数只在粘性修正一处出现，可以先跳过。

- 用 Gor’kov 势和声学对比因子求出一维驻波中的辐射力，并判断颗粒聚到声压节点还是波腹。
- 在稳定平衡点附近求出势阱刚度和过阻尼回复时间，并用解析解检验数值积分。

## 平均为零的声场，怎么留下一个力

一阶声场 $p_1$、$\mathbf v_1$ 在一个周期内的平均都是零。但颗粒的密度和压缩率与水不同，会把入射波散射开；入射场与散射场的乘积是二阶量，它的时间平均不为零，这就是声辐射力。

当颗粒半径远小于波长（$ka\ll1$）时，这个力可以写成一个势的负梯度。势里有两项：颗粒比水更难压缩时，它在声压起伏大的地方能量更高（单极项，系数 $f_1$）；颗粒比水重时，它在液体来回晃得厉害的地方能量更低（偶极项，系数 $f_2$）。

$$
U=\frac{4\pi}{3}a^3\left[f_1\frac{\kappa_0}{2}\langle p_1^2\rangle-f_2\frac{3}{4}\rho_0\langle v_1^2\rangle\right],\qquad \mathbf F=-\nabla U
$$

Settnes 与 Bruus 式 48a—b。$a$ 是颗粒半径，尖括号是时间平均。

$$
f_1=1-\frac{\kappa_p}{\kappa_0},\qquad f_2=\frac{2(\tilde\rho-1)}{2\tilde\rho+1},\quad \tilde\rho=\frac{\rho_p}{\rho_0}
$$

这是不计粘性时的形式。计入粘性边界层后，$f_2$ 换成式 48d—e 的复数表达式，取实部。

来源：M. Settnes and H. Bruus · R. Barnkob

## 一维驻波中的力和对比因子

把第三章的驻波代入势，两项合并成一个正弦形状的力。所有材料性质都收进一个数：声学对比因子 $\Phi$。它的符号决定颗粒去哪里。

$\Phi>0$ 的颗粒被推向声压节点，聚苯乙烯微珠 $\Phi=0.165$，派热克斯玻璃珠约 0.54，按 Settnes 与 Bruus 表中参数估算的细胞约 0.068。$\Phi<0$ 的颗粒（比水更易压缩、或比水轻得多）被推向声压波腹；对 $n=1$ 的通道，波腹就在两侧壁上。

$$
F_y=4\pi\Phi\,ka^3E_{\mathrm{ac}}\sin(2ky),\qquad \Phi=\frac{f_1}{3}+\frac{f_2}{2}
$$

Barnkob 等人式 2，坐标原点放在左侧壁。力正比于 $a^3$，即颗粒体积。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

## 稳定平衡点、刚度与回复时间

力为零的地方在 $\sin(2ky)=0$。只有力的斜率为负的零点才是稳定的：颗粒偏右时被往左推。对 $\Phi>0$，这要求 $\cos(2ky)<0$，正好是声压节点；同一位置对 $\Phi<0$ 的颗粒是不稳定的。在稳定点附近展开，力像弹簧一样与偏离成正比。

微珠在水里极小、极慢，惯性在几十微秒内就消失，运动是过阻尼的：辐射力与 Stokes 阻力 $6\pi\eta a$ 平衡。在中平面上这个方程能精确解出来，不需要数值积分。实验把它当作独立的参照，检验数值积分器松手后的回复曲线，两者相差不到 $4\times10^{-13}\,\mathrm{m}$。

$$
\kappa_{\mathrm{trap}}=8\pi|\Phi|k^2a^3E_{\mathrm{ac}},\qquad \tau=\frac{6\pi\eta a}{\kappa_{\mathrm{trap}}}
$$

刚度是力在稳定点处斜率的绝对值，$\tau$ 是小偏离按指数衰减的时间常数。

$$
\dot y=A\sin(2ky)\;\Rightarrow\;\tan(ky)=\tan(ky_0)\,e^{2kAt},\qquad A=\frac{2\Phi ka^2E_{\mathrm{ac}}}{3\eta}
$$

分离变量即可积分。$A$ 是辐射漂移速度的幅值；中平面上的声流也有同样的正弦形状，计入时只需把它加到 $A$ 上。

硬侧壁通道中的半波共振。青色：声压振幅，侧壁处最大、正中为零。琥珀色：速度振幅，侧壁处为零、正中最大。$\Phi>0$ 的微珠聚在声压节点上。原创示意图。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

## 完整例题：5 µm 聚苯乙烯微珠

实验默认：通道 $w=377\,\mu\mathrm{m}$、$n=1$，$k=\pi/w=8.33\times10^3\,\mathrm{m^{-1}}$；$E_{\mathrm{ac}}=20\,\mathrm{J/m^3}$；直径 5 µm 的聚苯乙烯珠，$\Phi=0.165$；水的粘度 $\eta=0.890\,\mathrm{mPa\,s}$。

最大辐射力 $4\pi\Phi ka^3E_{\mathrm{ac}}=5.40\,\mathrm{pN}$，出现在节点与侧壁的正中间。除以 Stokes 阻力系数 $6\pi\eta a=4.19\times10^{-8}\,\mathrm{N\,s/m}$，最大漂移速度 129 µm/s。

稳定点在通道正中。刚度 $\kappa_{\mathrm{trap}}=9.00\times10^{-8}\,\mathrm{N/m}$，回复时间常数 $\tau=0.466\,\mathrm{s}$，与实验读数相同。从 $y_0=w/8$ 松手，由漂移方程的解析解，回到距节点 10 µm 以内要 1.45 s（计入声流）。

势阱深度 $F_{\max}/k=6.5\times10^{-16}\,\mathrm{J}$，约为室温热能的 $1.6\times10^5$ 倍；热运动让微珠在节点附近晃动的均方根幅度约 0.21 µm。对这么大的微珠，布朗运动可以忽略；对亚微米颗粒就不行了，实验对此不建模。

来源：R. Barnkob · M. Settnes and H. Bruus

## 到实验里试一试

### [拖动一颗微珠，看它回到节点](https://sandboxphysics.com/zh/labs/acoustic-radiation-trap/)

1. 在默认预设下，把探针微珠拖到通道左侧四分之一处再松手，在“松手后探针的回复”图里比较模拟曲线和精确解。
2. 关掉“计入声流”，重复一次，看回复时间变化多少。
3. 选“软颗粒逃向侧壁”，看对比因子变成负数后颗粒去了哪里；把一颗颗粒拖到通道中央松手，它会不会留在那里？

## 练习与解答

1. 同样的声场里换成 5 µm 的派热克斯玻璃珠，最大辐射力和回复时间各是多少？

   展开解答

   计入粘性修正后 $\Phi=0.562$（不计粘性为 0.539），最大力为 $5.40\times0.562/0.165=18.4\,\mathrm{pN}$，回复时间 $0.466\times0.165/0.562=0.137\,\mathrm{s}$，快 3.4 倍。

2. 把微珠直径减半到 2.5 µm，回复时间变成多少？为什么？

   展开解答

   力正比于 $a^3$，阻力正比于 $a$，所以漂移速度正比于 $a^2$，时间常数变为 4 倍，约 1.86 s。小颗粒难聚焦，正是下一章声流开始占优的原因。

3. 为什么 $\Phi<0$ 的颗粒在声压节点上不能稳定停留？

   展开解答

   在节点处 $\cos(2ky)=-1$，力的斜率为 $8\pi\Phi k^2a^3E_{\mathrm{ac}}\cos(2ky)$，当 $\Phi<0$ 时为正：颗粒偏右会被继续往右推。它会滑向斜率为负的声压波腹，在 $n=1$ 的通道里就是两侧壁。

[上一章：回波时间变成图像时，一个点为什么会被拍成一团](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/pulse-echo-imaging/) [下一章：驻波里的声流怎样让液体转圈](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/acoustic-streaming/)

## 来源与复算范围

1. [R. Barnkob, P. Augustsson, T. Laurell and H. Bruus, Acoustic radiation- and streaming-induced microparticle velocities determined by micro-PIV in an ultrasound symmetry plane, arXiv:1208.6534v1; Physical Review E 86, 056307 (2012)](https://arxiv.org/abs/1208.6534v1)

   2012 年 8 月 31 日 v1，通读全文。式 1（驻波场）、式 2（辐射力）、式 5—7（声流速度尺度与 Rayleigh 声流）、式 9—10（几何与热粘修正）、式 12—14（速度振幅、速度比、临界直径）、式 16—18 与表 I（壁面阻力）、表 II（材料参数）、表 IV—V 与图 8—9（测得的声能密度、声流系数和速度比）。理论数值由课程复算；测量数据只引用，不复现。

2. [M. Settnes and H. Bruus, Forces acting on a small particle in an acoustical field in a viscous fluid, arXiv:1110.6037v1; Physical Review E 85, 016327 (2012)](https://arxiv.org/abs/1110.6037v1)

   2011 年 10 月 27 日 v1，通读全文。式 1（粘性穿透深度）、式 4—5（一阶声压与压缩率）、式 48a—e（含粘性偶极系数的 Gor’kov 势）以及表 I（派热克斯玻璃和细胞参数）。