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title: "薄盘在哪里发热"
description: "从相邻圆环之间的力矩做功推导薄盘发热率，找出最热圆环，并计算上下两面的总光度。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/thin-disk-torque-temperature/"
language: "zh-CN"
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  en: "https://sandboxphysics.com/stories/accretion-disks/thin-disk-torque-temperature/"
last_modified: "2026-11-12"
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L2 · 推导与例题

# 薄盘在哪里发热

Sandbox Physics · 2026-11-12

薄盘的加热率由相邻圆环之间的力矩和转速差共同决定。内圈转得快，向外传递角动量时交出的能量，比外圈接到的多；差额变成热。若内边缘力矩为零，局部辐射也在那里降到零，温度最高的圆环会落在内边缘外侧。

先读《黑洞周围的气体为什么会发光》。这一章还会用到圆周运动、力矩和功率；导数、积分只取这里需要的意义，随用随解释。读完后，你应能从角动量传输推出单位表面的发热率，并解释为什么“离黑洞最近”未必等于“局部最热”。

## 先把两种流动分清

我们研究一张平坦、很薄、绕质量为 $M$ 的中心天体转动的气体盘。$R$ 是盘面内到中心的半径，单位为米；$G$ 是引力常量。取牛顿引力下的近圆轨道，忽略径向压力对绕转速度的修正。轨道角速度和单位质量的角动量分别为

$$
\Omega(R)=\sqrt{\frac{GM}{R^3}},\qquad
\ell(R)=R^2\Omega(R)=\sqrt{GMR}.
$$

角速度 $\Omega$ 表示每秒转过多少弧度，单位为弧度每秒。比角动量 $\ell$ 的单位是平方米每秒。半径越小，转得越快；但每千克气体所带的角动量越少。

现在让气体缓慢向内流。用 $\dot M>0$ 表示每秒向内通过一个圆周的质量，单位为千克每秒。上面的点是“每单位时间”的记号。我们要求盘处于稳态：同一段时间内，从一圈流入的质量与从另一圈流出的相同，盘内不持续堆积物质，因此 $\dot M$ 不随半径改变。

物质向内，内部力矩把角动量向外传。这是两个不同方向的输运。记向外传递角动量的力矩大小为 $\mathcal G(R)$，单位为牛顿米。一个圆周处，随物质向内带来的角动量率是 $\dot M\ell$，力矩向外带走的是 $\mathcal G$。两者之差在稳态下处处相同：

$$
\dot M\ell(R)-\mathcal G(R)=\text{常数}.
$$

把盘的内边缘记为 $R_{\rm in}$。若内边缘力矩为零，将上式在这里代入，常数就是 $\dot M\ell(R_{\rm in})$。于是

$$
\mathcal G(R)=\dot M\left[\ell(R)-\ell(R_{\rm in})\right].
$$

“零内力矩”没有把流入气体的角动量设为零。气体仍带着 $\ell(R_{\rm in})$ 穿过内边缘；消失的是边缘处额外的力矩传输。[Zimmerman 等人的第 2 节](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0408209v1)从同样的稳态和边缘条件得到薄盘温度分布。

## 力矩为什么能留下热

转动系统中，力矩乘角速度就是功率。取半径从 $R$ 到 $R+\mathrm dR$ 的一条窄圆环。向外的同一个角动量传递作用，在较快的一侧取走能量，在较慢的一侧交出能量。转速差决定了剩下的热功率：

$$
\mathrm dL_{\rm heat}
=\mathcal G(R)\left[-\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dR}\right]\mathrm dR.
$$

这里的导数 $\mathrm d\Omega/\mathrm dR$，就是把圆环取得很窄时，“转速改变了多少”除以“半径改变了多少”。开普勒转速向外降低，导数为负；前面的负号让热功率为正。

圆环每一面的面积约为 $2\pi R\,\mathrm dR$，上下两面合起来是 $4\pi R\,\mathrm dR$。若热在当地释放、从两面均匀辐射出去，**每一面** 单位面积的辐射功率为

$$
F(R)=\frac{\mathcal G(R)}{4\pi R}
\left[-\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dR}\right]
=\frac{3GM\dot M}{8\pi R^3}
\left(1-\sqrt{\frac{R_{\rm in}}R}\right).
$$

单位是瓦每平方米。分母里的两面面积已经用过一次：以后若算整张盘的光度，要再用两面实际面积乘这个单面通量。若只是求单面温度，就直接使用 $F$。

这个推导要求气体足够有效地把局部热量辐射出去，忽略随气流向内带走的热，也忽略外部照射。力矩还会在不同半径之间传递能量。计算某一圈的发热率，需要同时考虑气体轨道能和力矩带来的能量传输。

## 温度最高的圆环

有效温度 $T_{\rm eff}$ 用总辐射功率定义。令 $\sigma$ 为 Stefan–Boltzmann 常量，则

$$
T_{\rm eff}(R)=\left[\frac{F(R)}{\sigma}\right]^{1/4}.
$$

这一定义只涉及全部频率加起来的能量。光谱形状用的颜色温度，要到下一章才引入。[Li 等人的附录 E，式 E4–E5](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0411583v2#page=54)明确区分了这两个温度。

从单面通量的式子可以看出两个趋势：$R^{-3}$ 让靠内的圆环更热，括号里的边缘因子却让内端通量归零。两者竞争，出现了一个峰。设 $x=R/R_{\rm in}$，只需找函数 $x^{-3}(1-x^{-1/2})$ 的最大值。对它求导，令斜率为零：

$$
-3x^{-4}+\frac72x^{-9/2}=0,
\qquad
x=\frac{49}{36}.
$$

最热的地方在内边缘半径的约 1.36 倍处。内边缘变暗，来源是加热条件；它和黑洞的视界是两回事。

![保存的零内力矩薄盘有效温度与单面通量，分别按峰值归一化](https://sandboxphysics.com/_astro/temperature-profile.zh.CbEB_1zo.svg)

图 1：理想薄盘参考。半径以所选内边缘半径为单位；温度来自保存的单面发射模型。图中同时画出单面通量的相对值，便于比较温度的四次根怎样压缩变化幅度。 [打开完整图像](https://sandboxphysics.com/_astro/temperature-profile.zh.CbEB_1zo.svg)

### 例题：一张盘有多热

取 $M=2.00\times10^{31}\,\mathrm{kg}$、$\dot M=1.00\times10^{14}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$。定义引力长度 $r_g=GM/c^2$，并选 $R_{\rm in}=6r_g$、$R_{\rm out}=6000r_g$，其中 $c$ 是光速。先算半径，再代入发热率，最后取四次根：

$$
\begin{aligned}
r_g&=14.9\,\mathrm{km},&
R_{\rm in}&=89.1\,\mathrm{km},\\
R_{T_{\max}}&=121\,\mathrm{km},&
F_{\max}&=1.28\times10^{18}\,\mathrm{W\,m^{-2}},\\
T_{{\rm eff},\max}&=2.18\times10^6\,\mathrm K.
\end{aligned}
$$

温度取四次根，意味着发热率提高很多，温度才提高一点。把吸积率加倍，单面通量处处加倍，温度只增加约 19%。峰的位置保持不变，因为径向函数的形状没有变。

这里把牛顿发热律规定到所选内边缘。后续光传播计算使用 Schwarzschild 时空；这里的盘发热率并不是完整的相对论薄盘解。这种教学组合让我们可以分别研究发射和传播。

## 两个面总共放出多少能量

把每一条窄圆环的功率加起来，就是积分的意思。每条圆环用上下两面面积乘单面通量：

$$
L_{\rm two\ faces}=\int_{R_{\rm in}}^{R_{\rm out}}4\pi R F(R)\,\mathrm dR.
$$

代入前面的 $F(R)$，记 $q=R_{\rm in}/R_{\rm out}$，得到

$$
L_{\rm two\ faces}
=\frac{GM\dot M}{2R_{\rm in}}
\left(1-3q+2q^{3/2}\right).
$$

外边缘趋于无穷远时，括号趋于一，回到常见的总光度。半径有限时，最外面的凉环贡献被截去了，结果稍低。例题的半径比为千分之一，括号等于约 0.997063，两面总功率为 $7.47\times10^{29}\,\mathrm W$。

这个光度是各处按规定发热律释放的局部总功率。远方某个方向、某个孔径收到多少光，还要计算光路、频移和视角。下一章先把每处的总功率拆成不同频率的辐射。

## 练习与解释

**1. 内边缘的发热率是零，质量还能流过那里吗？**

能。质量流率和局部力矩是不同的量。气体带着非零轨道角动量穿过内边缘，而这项边缘条件只把那里的力矩设为零。

**2. 同一张盘的吸积率增为原来的 16 倍，最高温度和总光度各变多少？**

保持质量和半径不变，通量正比于吸积率，温度取通量的四次根。最高温度增为两倍，总光度增为 16 倍。这个计算还假定盘依然保持薄、局部辐射有效；若高吸积率破坏了这些条件，应换模型。

**3. 在一幅计算图中，内边缘比外面任何地方都热。你先检查什么？**

先检查内边缘的加热条件。有额外内力矩的模型可以在内边缘发热；零内力矩模型则应在那里降到零。然后再检查所画的是局部温度、每单位面积亮度，还是经过光路传播后的图像。这几种图回答的问题不同。

**4. 进阶迁移：若内边缘半径加倍，其余参数不变，最热温度和无限外盘光度怎样变？**

最高温度处的无量纲位置不变，通量尺度正比于内半径的负三次方；最高温度变为原来的 $2^{-3/4}\approx0.595$。无限外盘光度反比于内半径，减半。这是发射模型的解析比较；交互实验当前的离散状态统一使用 $R_{\rm in}=6r_g$。

## 来源

1. [Zimmerman 等人的第 2 节](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0408209v1)
2. [Li 等人的附录 E，式 E4–E5](https://arxiv.org/pdf/astro-ph/0411583v2#page=54)

## 继续阅读

吸积盘怎样发光 · 阅读路径

### 吸积盘怎样发光

1. [文章 **黑洞周围的气体为什么会发光**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/why-accretion-disks-shine/)
2. [当前页面 **薄盘在哪里发热**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/thin-disk-torque-temperature/)
3. [文章 **把不同温度的圆环加成一条光谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/adding-disk-blackbody-spectra/)
4. [文章 **光走到远方，频率和亮度怎样改变**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/photon-frequency-and-brightness/)
5. [文章 **一条光路先碰到哪一面盘**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/first-opaque-disk-crossing/)
6. [文章 **从保存的交点重算盘像与光谱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/recompute-frozen-disk-light/)
7. [文章 **怎样读一篇薄盘光谱论文**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/accretion-disks/reading-thin-disk-spectrum-paper/)

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### 用到同一实验的其他文章

本文用到、其他系列也在用的实验，后面跟着那些系列里的文章。

1. [实验 **黑洞吸积盘的光**](https://sandboxphysics.com/zh/labs/black-hole-light/)
2. [文章 **引力坍缩不需要一颗完美的球形恒星**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/astronomy-gravity/penrose-trapped-surfaces/)