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title: "拟合一次自由落体，测出重力加速度 | Sandbox Physics"
description: "用一次下落的记录拟合释放高度、初速度和重力加速度，读懂残差，分清精密与准确。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/learn/mechanics/testing-constant-acceleration/"
last_modified: "2026-10-28"
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[第一卷 · 运动、力与能量](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/)

第一卷 · 第 3 章

# 怎样检验匀加速模型？

用一次下落的记录拟合释放高度、初速度和重力加速度，读懂残差，分清精密与准确。

先修：第 1、2 章。拟合与残差在本章引入，矩阵推导放在选读节。

读完本章，你能：推出匀加速模型，用它拟合一次下落，再用残差和重复下落判断模型和结果是否可信。

一次下落的相机记录就能测出重力加速度。先假设加速度恒定，推出高度随时间变化的二次函数；再找出与记录最接近的那条曲线，它的二次项给出重力加速度。结果是否可信要看两件事：拟合后剩下的偏差有没有规律，重复下落时结果是否稳定、是否接近独立已知的值。

设想在一座 30 米高的落体塔顶释放一个小球。侧面的相机每秒拍 20 帧，每帧给出小球的高度，误差约 1 厘米；相机已经按第 2 章的方法标定好。塔的中段还装着一个光电门。

本章的数据来自[自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/) Lab。和上一章一样，Lab 知道真实运动，所以能告诉我们估计偏了多少；真实实验只能靠本章的检查方法。这里把重力加速度当作已知的常数，它为什么对所有物体都相同，要等第 6 章讲力、第 14 章讲引力时再回答。

## 3.1 坐标与已知条件

取竖直向上为正，地面为原点，小球的高度记作 $y$，单位是米。释放高度为 $h$，初速度为 $v_0$，向上为正。小球视为一个点，先不计空气阻力。

在这些条件下，假设小球的加速度在整段下落中保持不变，等于 $-g$。负号表示加速度向下。地面附近 $g$ 约为 $9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，这也是 Lab 的默认值。本章要做的，就是从一份记录检验这个假设，并测出 $g$。

## 3.2 从恒定加速度推出速度和位置

第 1 章说过，速度的改变量等于加速度图下的面积，位移等于速度图下的面积。加速度恒为 $a$ 时，加速度图是一条水平线，零到 $t$ 之间的面积是 $at$，所以

$$
v(t)=v_0+at.
$$

速度图因此是一条斜线。零到 $t$ 之间速度图下的区域是一个梯形，两条平行边分别是 $v_0$ 和 $v(t)$，高是 $t$：

$$
y(t)-h=\frac{v_0+v(t)}{2}\,t=v_0t+\tfrac12at^2.
$$

对自由下落，取 $a=-g$：

$$
y(t)=h+v_0t-\tfrac12gt^2,
\qquad
v(t)=v_0-gt.
$$

从这两式消去 $t$ 还能得到一个有用的关系。由第一式解出 $t=(v-v_0)/a$，代入梯形面积，得到 $y-h=(v^2-v_0^2)/(2a)$，即

$$
v^2=v_0^2+2a(y-h).
$$

这些关系可对照 [OpenStax《University Physics》第一卷第 3.4 节](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-4-motion-with-constant-acceleration)和[第 3.5 节](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-5-free-fall)。检查一下：每一项的单位都是米或米每秒；令 $a=0$，结果回到第 1 章的匀速运动。

## 3.3 初始条件决定是哪一条抛物线

在同一个 $g$ 下，高度随时间的曲线都是开口向下、形状相同的抛物线。$h$ 决定曲线从哪个高度出发，$v_0$ 决定出发时的斜率。两者合称初始条件。只知道 $g$，还不能预测一次具体的运动。

举例来说，从 15 米高处以 $14\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向上抛出小球。速度为零时到达最高点：

$$
t_{\mathrm{top}}=\frac{v_0}{g}\approx1.43\,\mathrm s,
\qquad
y_{\max}=h+\frac{v_0^2}{2g}\approx24.99\,\mathrm m.
$$

落地时 $y=0$，解二次方程 $15+14t-4.905t^2=0$，取正根得 $t\approx3.684\,\mathrm s$。用速度与高度的关系，落地速度为 $-\sqrt{v_0^2+2gh}\approx-22.14\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，负号表示向下。

Lab 的“向上抛出”预设正是这组初始条件，给出的落地时刻是 $3.68427\,\mathrm s$。Lab 以 $0.01\,\mathrm s$ 的步长数值求解运动，结果与上面的公式在这些位数上相同。

## 3.4 例题：预测一次落体

从 30 米高的塔顶由静止释放小球，$g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。求落地时刻、落地速度，以及小球经过 15 米高的光电门时的速度。光电门测速的方法是让小球带着一片 10 厘米长的遮光片通过，求遮光时间。

由静止释放，$v_0=0$。落地时 $y=0$，所以

$$
t_{\mathrm{impact}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{60\,\mathrm m}{9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}}}\approx2.473\,\mathrm s.
$$

落地速度是 $-gt\approx-24.26\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。用 $v^2=2g(h-y)$ 独立检查：$\sqrt{2\times9.81\times30}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx24.26\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，一致。

到光电门时下落了 15 米，速率为 $\sqrt{2\times9.81\times15}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx17.16\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。遮光片通过所需时间约为

$$
\frac{0.1\,\mathrm m}{17.16\,\mathrm{m\,s^{-1}}}\approx5.83\,\mathrm{ms}.
$$

这里把通过期间的速度当作不变。这段时间里速度只改变 $g\times5.83\,\mathrm{ms}\approx0.057\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，约为速度本身的 0.3%，近似是合理的。

相机每 $0.05\,\mathrm s$ 拍一帧，从 0 到 $2.45\,\mathrm s$ 共 50 帧有记录。Lab 的“地球落体塔”预设给出落地时刻 $2.4731\,\mathrm s$、光电门速度 $17.1552\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、遮光时间 $5.8292\,\mathrm{ms}$，与预测相符。

## 3.5 从记录反推参数：拟合

现在把问题反过来：手里有 50 个带噪声的高度 $y_n$ 和它们的时刻 $t_n$，要求 $h$、$v_0$ 和 $g$。

对任何一组试探值，每一帧都有一个残差，即记录值减去模型值：

$$
r_n=y_n-\Bigl(h+v_0t_n-\tfrac12gt_n^2\Bigr).
$$

最小二乘拟合选取让 $S=\sum r_n^2$ 最小的那组参数。取平方有三个好处：正负残差不会互相抵消；偏得越远的点权重越大；参数以一次方出现在模型里，所以最小值由三个一次方程唯一确定。这套方法的说明见 [NIST 工程统计手册第 4.1.4.1 节](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section1/pmd141.htm)。

先看最简单的情形，体会它为什么合理。若模型只是一个常数 $c$，那么

$$
S(c)=\sum_{n=1}^N(y_n-c)^2=Nc^2-2c\sum y_n+\sum y_n^2.
$$

这是 $c$ 的二次函数，开口向上，最低点处斜率为零，于是 $c=\frac1N\sum y_n$。用一个常数拟合数据，最小二乘给出的正是平均值。三个参数的情形道理相同，只是要同时满足三个“斜率为零”的条件，推导放在 3.9 节。

对“地球落体塔”的默认记录，拟合结果是

$$
\hat g=(9.8182\pm0.0055)\,\mathrm{m\,s^{-2}},
\qquad
\hat h=29.9975\,\mathrm m,
\qquad
\hat v_0=0.0106\,\mathrm{m\,s^{-1}}.
$$

“$\pm$”后面的数叫标准误。它由残差大小和记录时刻的分布算出，表示同样的实验重复做时结果大约散开多少。3.7 节会用重复下落检查它。

## 3.6 残差：模型还缺什么

拟合总能给出一组参数，哪怕模型是错的。要判断模型是否够用，就要看拟合后剩下的残差。

模型完整、噪声随机时，残差应当围绕零上下散布，看不出趋势，均方根接近噪声本身的大小。默认记录的残差均方根是 $8.7\,\mathrm{mm}$，与设定的 $1\,\mathrm{cm}$ 噪声相当。三个参数已经吸收了一部分噪声，所以残差略小一些是正常的。

“阻力让拟合偏离”预设加入线性空气阻尼，阻尼率为 $0.5\,\mathrm{s^{-1}}$，其他条件与地球落体塔相同。小球受到的阻力随速度增大，加速度不再恒定。仍用同一个二次模型拟合，得到

$$
\hat g=(4.73\pm0.08)\,\mathrm{m\,s^{-2}},
\qquad
\hat h=30.61\,\mathrm m,
\qquad
\hat v_0=-2.68\,\mathrm{m\,s^{-1}}.
$$

$\hat g$ 偏低一半以上；小球明明由静止释放，拟合却给出一个向下的初速度。这些参数都在替模型缺少的阻力“打补丁”。

**图 3.1** 两次 30 米落体的拟合残差，都用同一个匀加速模型拟合。上图没有空气阻力，残差随机散布，都不超过 $22\,\mathrm{mm}$；下图加入线性空气阻尼，残差先负后正、再负再正，幅度达到半米。 两图的纵轴单位都是毫米，但比例尺不同。数据来自自由落体 Lab 的模型代码，噪声样本相同。

残差的形状说明了问题。下图的残差均方根是 $232\,\mathrm{mm}$，是噪声的二十多倍，而且呈波浪形：开头约 $-618\,\mathrm{mm}$，第 10 帧和第 20 帧为正，第 40 到 50 帧为负，最后一帧约 $+499\,\mathrm{mm}$。随机噪声不会排成这样。有规律的残差说明模型漏掉了某种物理过程。

这里的标准误只有 $0.08\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，看上去很精确，结论却错了一半。标准误只描述数据的分散，不检查模型对不对；检查模型要看残差，判断残差的方法见 [NIST 手册第 4.4.4 节](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section4/pmd44.htm)。

## 3.7 精密度与准确度

计量学区分两个常被混用的词。精密度说的是重复测量的结果彼此接近的程度；准确度说的是测量结果与真值接近的程度，见国际计量学词汇 [VIM 第 2.15 条](https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.15.html)与[第 2.13 条](https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.13.html)。一个结果可以很精密却不准确。

在 Lab 中点“采集新的一次落体”，物理参数不变，只换一组噪声。我们对地球落体塔重复了 500 次，噪声样本编号从 431 到 930：

**表 3.1** 地球落体塔 500 次重复下落的拟合结果。

| 量 | 数值（米每二次方秒） |
| --- | --- |
| 500 次 $\hat g$ 的平均值 | 9.80988 |
| 500 次 $\hat g$ 的标准差 | 0.00621 |
| 每次报告的标准误的平均值 | 0.00606 |

一次下落报告的标准误约为 0.0061，500 次结果的实际标准差约为 0.0062，两者相符。这说明在模型正确、噪声独立的条件下，单次拟合的标准误能可靠地预言重复实验的分散，也就是精密度。

500 次的平均值与真值 9.81 相差 0.00012。平均值本身的不确定度约为 $0.00621/\sqrt{500}\approx0.00028$，差值比它还小，看不出系统偏差。在这组条件下，结果既精密又准确。

加入阻力后情况相反：标准误 0.08，偏差却是 $-5.08\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，相当于六十多个标准误。结果精密，但不准确。“不理想相机”预设又是另一种情况：$\hat g=9.29\pm0.43$，偏差约为 1.2 个标准误，单次结果不够精密，这个偏差仍在它允许的范围内。

## 3.8 光电门与时钟分辨率

光电门不拍照，它记录遮光片挡住光束的时长 $\Delta t_{\mathrm{gate}}$，速度估计为遮光片长度除以这个时长。它测的是单个时刻附近的速度，正好可以独立检查相机拟合：由拟合出的 $\hat g$ 和 $v^2=2g(h-y)$，可以预言过门速度。

计时器只能把时间读到某个最小单位，这叫时钟分辨率。读数被舍入到这个单位的整数倍，舍入误差最多是它的一半。测量的时间间隔越短，这个误差占的比例越大。

“时钟分不清过门”预设把时钟分辨率设为 $0.05\,\mathrm s$。遮光时间只有 $5.83\,\mathrm{ms}$，舍入后变成零，光电门无法给出速度。相机拟合却完全不受影响：相机本来就每 $0.05\,\mathrm s$ 拍一帧，帧时刻恰好是时钟单位的整数倍，舍入不改变它们。

“不理想相机”预设的时钟分辨率是 $0.02\,\mathrm s$，释放高度 8 米，光电门在 4 米处。真实过门速度约 $8.86\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，遮光时间约 $11.3\,\mathrm{ms}$，被舍入成 $20\,\mathrm{ms}$，于是光电门报告 $5.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，偏低 44%。同一个时钟还把相机每帧的时刻舍入，最多差 $0.01\,\mathrm s$，这也进入了拟合误差。

经验规则是：时钟分辨率要比所测的时间间隔小得多。想让舍入造成的相对误差小于 1%，分辨率就要小于所测间隔的 2%。

## 3.9 选读：最小二乘的矩阵写法与标准误

本节需要矩阵乘法、转置和逆矩阵，以及 2.4 节的方差概念。跳过本节不影响后续章节。

把 $N$ 帧记录写成列向量 $\mathbf y$，参数写成 $\boldsymbol\beta=(h,v_0,g)^{\mathsf T}$。设计矩阵 $X$ 有 $N$ 行，第 $n$ 行是 $(1,\ t_n,\ -t_n^2/2)$。模型和残差平方和为

$$
\mathbf y=X\boldsymbol\beta+\mathbf e,
\qquad
S(\boldsymbol\beta)=(\mathbf y-X\boldsymbol\beta)^{\mathsf T}(\mathbf y-X\boldsymbol\beta).
$$

固定其他参数、只改变第 $j$ 个参数，$S$ 的斜率叫偏导数。最小值处三个偏导数都为零。对第 $j$ 个参数求偏导，得到 $-2\sum_n X_{nj}\bigl(y_n-(X\boldsymbol\beta)_n\bigr)=0$，三式合写成

$$
X^{\mathsf T}X\,\hat{\boldsymbol\beta}=X^{\mathsf T}\mathbf y,
\qquad
\hat{\boldsymbol\beta}=\bigl(X^{\mathsf T}X\bigr)^{-1}X^{\mathsf T}\mathbf y.
$$

这叫正规方程。它的含义是：最优拟合的残差与 $X$ 的每一列“正交”，即对应乘积之和为零。

标准误来自噪声怎样传到参数上。把 $\mathbf y=X\boldsymbol\beta+\mathbf e$ 代入，得到 $\hat{\boldsymbol\beta}-\boldsymbol\beta=(X^{\mathsf T}X)^{-1}X^{\mathsf T}\mathbf e$，参数误差是各帧噪声的加权和。若各帧噪声互不相关、平均为零、标准差同为 $\sigma$，用 2.4 节“平方相加”的规则，得到

$$
\operatorname{Var}\bigl(\hat{\boldsymbol\beta}\bigr)=\sigma^2\bigl(X^{\mathsf T}X\bigr)^{-1}.
$$

实际的 $\sigma$ 未知，用残差估计：$s^2=S_{\min}/(N-3)$。除以 $N-3$ 而不是 $N$，是因为三个参数已经贴合掉了一部分噪声，残差系统性地偏小。于是 $\hat g$ 的标准误是 $s$ 乘以 $(X^{\mathsf T}X)^{-1}$ 中对应 $g$ 的对角元的平方根。

独立检查：地球落体塔的记录有 50 帧，$t_n=n/(20\,\mathrm{Hz})$，$\sigma=0.01\,\mathrm m$。直接计算这个矩阵，得到 $\hat g$ 的标准差应为 $0.00608\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，与表 3.1 中 500 次重复的 0.00621 相符。

这个结果有前提。它要求模型正确，各帧误差互不相关且大小相同。模型漏掉阻力时，公式仍能算出重复实验的分散，却完全看不见偏差；误差彼此相关时，例如时钟舍入让相邻帧一起偏，公式也可能低估真实的不确定度。这就是 3.6 节要先看残差、再相信标准误的原因。

## 3.10 在自由落体 Lab 中检验

打开[自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/) Lab。页面打开时已有一次完整记录，下方的数据行给出相机记录和“拟合残差 · 系统偏差留下形状”图。

**预测，再比较。** 选择“地球落体塔”。先用 3.4 节预测落地时刻、光电门速度和遮光时间，再与读数“完整记录时长”“光电门速度”“遮光片通过时间”比较。

**重复下落。** 点五次“采集新的一次落体”，每次记下“重力拟合与标准误”。算出五个 $\hat g$ 的平均值和标准差，与单次报告的标准误比较。五次的标准差会有相当大的起伏，这本身就说明为什么需要更多次重复。

**让模型出错。** 选择“阻力让拟合偏离”。操作前预测 $\hat g$ 会偏高还是偏低。查看残差图的形状，并把“光电门速度”与 3.4 节没有阻力时的预测比较，说明是哪一个假设失效了。

**检查时钟。** 选择“时钟分不清过门”，解释为什么光电门没有速度、相机拟合却没变。在高级区逐步减小“时钟分辨率”，找出光电门开始给出速度的分辨率，再看它在 $1\,\mathrm{ms}$ 时偏差有多大。

**迁移到月球。** 选择“月球落体塔”。它的 $g=1.62\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，位置噪声为 $2\,\mathrm{mm}$。先预测落地时刻和相机帧数，再说明标准误为什么比地球小得多。

表 3.2 给出各预设在默认噪声样本下的结果，没有打开 Lab 的读者可以用它跟上推理。

**表 3.2** 自由落体 Lab 各预设的代表性结果（噪声样本 431）。

| 预设 | 相机帧数 | $\hat g$（米每二次方秒） | 相对真值的偏差 | 残差均方根（毫米） | 光电门速度（米每秒） |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 地球落体塔 | 50 | $9.8182\pm0.0055$ | +0.08% | 8.7 | 17.16 |
| 月球落体塔 | 122 | $1.61978\pm0.00011$ | −0.01% | 1.7 | 6.97 |
| 向上抛出 | 74 | $9.8121\pm0.0020$ | +0.02% | 8.8 | 18.52 |
| 不理想相机 | 11 | $9.29\pm0.43$ | −5.3% | 84 | 5.00 |
| 阻力让拟合偏离 | 63 | $4.73\pm0.08$ | −51.8% | 232 | 12.56 |
| 时钟分不清过门 | 50 | $9.8182\pm0.0055$ | +0.08% | 8.7 | 无法分辨 |

## 3.11 习题

1. 在自由落体 Lab 中，哪些量是直接记录的，哪些是估计的？把相机帧时刻、高度、遮光时间、$\hat g$、$\hat h$、光电门速度分别归类。
2. 从 2 米高处以 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上抛出小球，取 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。求到达最高点的时刻、最大高度、落地时刻和落地速度。
3. 光电门装在释放点下方 1.2 米处，小球由静止释放，遮光片长 2 厘米。求遮光时间。若时钟分辨率是 $1\,\mathrm{ms}$，速度的相对误差最多可能是多少？
4. 有人用一条直线（匀速运动模型）拟合一次落体的高度记录。残差会呈现什么形状？这个形状说明缺了哪一项，它的符号是什么？
5. 两组学生测 $g$。甲组重复五次，结果为 $9.62\pm0.02\,\mathrm{m\,s^{-2}}$；乙组为 $9.9\pm0.3\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。哪一组更精密？哪一组与 9.81 相符？甲组的差别可能来自什么？
6. 承上题。如果甲组的相机比例假定得比真实值大 2%，拟合出的 $g$ 会偏多少？与甲组的结果比较。
7. 单次下落的标准误是 $0.0055\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。要让平均值的不确定度降到 $0.001\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，大约需要多少次独立下落？这个估计依赖什么前提？
8. 迁移题。一辆小车从斜面上由静止释放，每隔 1 秒记录一次位置：0.00、0.31、1.18、2.72、4.80 米。用第 2 章的差分检验它是否近似匀加速运动，并估计加速度。如果相邻的二次差分越来越小，你会怀疑什么？
9. 选读，需要 3.9 节。用矩阵公式说明：只用一个常数拟合 $N$ 个噪声标准差为 $\sigma$ 的数据时，平均值的标准差是 $\sigma/\sqrt N$。

## 3.12 答案与解释

第 1 题

直接记录的是相机帧时刻、每帧的高度和遮光时间。$\hat g$ 和 $\hat h$ 是用模型拟合得到的估计值；光电门速度是用遮光片长度除以遮光时间算出的估计值，它假设通过期间速度不变。注意帧时刻经过时钟舍入，高度经过相机标定，所以“直接记录”的量本身也有误差。

第 2 题

最高点在 $t=v_0/g\approx0.815\,\mathrm s$，最大高度 $2\,\mathrm m+v_0^2/(2g)\approx5.26\,\mathrm m$。

落地时解 $2+8t-4.905t^2=0$，正根为 $t\approx1.85\,\mathrm s$。落地速率 $\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{64+39.24}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx10.16\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向向下。可以用 $v=v_0-gt$ 再算一次检查：$8-9.81\times1.85\approx-10.15$，在舍入范围内一致。

第 3 题

过门速率 $\sqrt{2\times9.81\times1.2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx4.85\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，遮光时间约 $0.02/4.85\,\mathrm s\approx4.12\,\mathrm{ms}$。

舍入误差最多 $0.5\,\mathrm{ms}$，相对误差最多约 $0.5/4.12\approx12\%$。实际上 4.12 被舍入成 4，速度偏高约 3%。要更准，可以换更精细的时钟，或者用更长的遮光片。

第 4 题

落体的高度曲线向下弯，直线只能穿过它的中间。最优直线在记录两端高于曲线，在中间低于曲线，所以残差两端为负、中间为正，形成一个拱形。

这个拱形说明缺少一个随 $t^2$ 变化的项，而且它让曲线向下弯，对应的系数为负，也就是 $-\tfrac12gt^2$。加入这一项后残差应变得没有规律。

第 5 题

甲组的标准误小得多，更精密。乙组的结果与 9.81 相差 0.09，不到一个标准误，彼此相符；甲组相差 0.19，超过九个标准误，不能用随机误差解释。

甲组很可能有系统误差，例如标定比例偏了，或者空气阻力不可忽略。只靠重复同一实验发现不了这类误差，要检查残差、换一种方法测量，或核对标定。

第 6 题

比例假定偏大 2%，所有高度都被除以 1.02。模型对高度是线性的，拟合出的参数也一起除以 1.02，$\hat g\approx9.81/1.02\,\mathrm{m\,s^{-2}}\approx9.62\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，正好与甲组的结果相同。这是一个合理的怀疑方向，但要拍一把尺重新标定才能确认。

第 7 题

平均值的不确定度按 $1/\sqrt N$ 下降，所以 $N\approx(0.0055/0.001)^2\approx30$ 次。

前提是各次下落的误差互不相关，并且模型没有系统偏差。系统偏差不会因为平均而减小；若有阻力，再多次重复也只是更精密地得到一个错误的数。

第 8 题

一次差分是 0.31、0.87、1.54、2.08 米，二次差分是 0.56、0.67、0.54 米。匀加速运动的二次差分应当处处等于 $a(\Delta t)^2$。这三个数在 $0.59\,\mathrm m$ 附近上下波动，没有趋势，可以认为近似匀加速，$a\approx0.59\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

二次差分的波动约 $\pm0.06\,\mathrm m$，若位置误差约 $2\,\mathrm{cm}$，第 2 章的规则给出二次差分的噪声约 $\sqrt6\times0.02\,\mathrm m\approx0.05\,\mathrm m$，量级相符。若二次差分越来越小，说明加速度随时间或速度减小，应当怀疑摩擦或空气阻力随速度增大，这时匀加速模型不够用。

第 9 题

只拟合常数时，$X$ 是一列 $N$ 个 1，$X^{\mathsf T}X=N$，正规方程给出 $\hat c=\frac1N\sum y_n$，就是平均值。方差公式给出 $\operatorname{Var}(\hat c)=\sigma^2/N$，标准差为 $\sigma/\sqrt N$。第 7 题用的 $1/\sqrt N$ 规律就是这个结果。

## 接下来：换一个观察者

第一单元到这里结束：我们学会了描述运动、从相机记录估计运动，并用一个模型检验记录。所有描述都来自地面上一台静止的相机。第 4 章（编写中）将问：换一个正在运动的观察者，位置、速度和加速度中哪些会变，哪些不变？

## 图表与数据说明

- 匀加速运动和自由落体的公式对照 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.4、3.5 节；最小二乘与残差检查对照 NIST 工程统计手册第 4.1.4.1 和 4.4.4 节；精密度与准确度采用 VIM 第 2.15、2.13 条的定义。
- 表 3.1、表 3.2 和图 3.1 由自由落体 Lab 的模型代码计算：质点、竖直向上为正、四阶 Runge–Kutta 数值求解、步长 $0.01\,\mathrm s$，相机噪声为高斯分布，默认噪声样本 431。“阻力让拟合偏离”在地球落体塔基础上只把线性空气阻尼设为 $0.5\,\mathrm{s^{-1}}$；“时钟分不清过门”只把时钟分辨率设为 $0.05\,\mathrm s$。
- 阻力情形的拟合另用线性阻力运动的解析解独立核对：无噪声时拟合得 $g\approx4.72\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、残差均方根约 $231\,\mathrm{mm}$，与 Lab 的带噪声结果一致。标准误的独立核对见 3.9 节。
- 表 3.2 中光电门速度在地球、月球和向上抛出时与真实过门速度相同到表中位数；“不理想相机”的 5.00 是时钟舍入后的读数，真实值约为 8.86。

## 到 Lab 里检验

每次只改一个设置，再把看到的结果和本章的表格、答案对照。

[自由落体与重力测量 → 拖动释放环，回放模拟下落，比较相机拟合与光电门速率。加上空气阻力，看精密的重力估计怎样偏离真值。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

## 来源与核读范围

1. [OpenStax, University Physics Volume 1, §3.4 Motion with Constant Acceleration](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-4-motion-with-constant-acceleration)

   对照恒定加速度下速度与位置的关系式，起始时刻取零。第三章从图像面积独立推导。

2. [OpenStax, University Physics Volume 1, §3.5 Free Fall](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-5-free-fall)

   对照向上为正、加速度取负 g 的约定，忽略空气阻力的条件，以及地表 g 约在 9.78 至 9.83 米每二次方秒之间的说明。

3. [NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §4.1.4.1 Linear Least Squares Regression](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section1/pmd141.htm)

   对照最小二乘法的含义：选取使数据与模型偏差平方和最小的参数。标准误公式及其前提在正文中另行写明。

4. [NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §4.4.4 How can I tell if a model fits my data?](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section4/pmd44.htm)

   对照用残差图检查模型：残差像随机散点，模型可能合适；残差留有规律，说明模型拟合得不好。

5. [JCGM 200:2012, International Vocabulary of Metrology (VIM), entries 2.13 measurement accuracy and 2.15 measurement precision](https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.13.html)

   对照“准确”（接近真值）与“精密”（重复测量彼此接近）的定义，以及“不应以精密度代指准确度”的注释。2.15 条见 https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.15.html。

[← 第 2 章 · 相机怎样测出运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/) 第 4 章 · 换一个观察者，什么会变？（编写中）

本卷章节

- [1. 怎样描述一次运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/describing-motion/)
- [2. 相机怎样测出运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/)
- [3. 怎样检验匀加速模型？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/testing-constant-acceleration/)
- 4\. 换一个观察者，什么会变？ 编写中
- 5\. 速度大小不变，为什么仍会加速？ 编写中
- 6\. 力怎样改变运动？ 编写中
- 7\. 接触面什么时候会滑？ 编写中
- 8\. 绳子和滑轮怎样连接运动？ 编写中
- 9\. 一段路上的力怎样改变动能？ 编写中
- 10\. 什么时候可以只比较初态和末态？ 编写中
- 11\. 碰撞时哪些量守恒？ 编写中
- 12\. 力作用在哪里，为什么重要？ 编写中
- 13\. 怎样判断转动会不会改变？ 编写中
- 14\. 同一条引力规律怎样解释下落和轨道？ 编写中