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title: "用相机逐帧测速度：标定、差分与噪声 | Sandbox Physics"
description: "相机只记下每一帧的像素。先标定成位置，再用差分或局部拟合估计速度，看清噪声和平滑各带来多少误差。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/"
last_modified: "2026-10-28"
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[第一卷 · 运动、力与能量](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/)

第一卷 · 第 2 章

# 相机怎样测出运动？

相机只记下每一帧的像素。先标定成位置，再用差分或局部拟合估计速度，看清噪声和平滑各带来多少误差。

先修：第 1 章。平均值和重复数据的分散程度在本章讲解。

读完本章，你能：把像素换算成位置，从逐帧记录估计速度，并判断误差来自运动、相机还是分析方法。

像素不能直接告诉我们速度。相机只记下每一帧里物体落在哪一列像素；要得到速度，先用标定把像素换成位置，再用相邻几帧的位置变化估计斜率。这样得到的速度同时带着运动本身、相机和分析方法的影响，需要分开检查。

上一章的位置曲线是给定的。现在换一个问题：一台固定相机对着直轨拍摄，每秒 30 帧。一个小球沿轨道来回振荡，同时缓慢向右漂移。我们手里只有每一帧的像素列号，能从这些数字读出小球每一刻的速度吗？

本章的数字都来自[运动测量与数值微分](https://sandboxphysics.com/zh/labs/motion-measurement/) Lab。Lab 里的运动由一个已知公式给出，所以可以把估计结果与真值比较。真实实验没有这样的真值，只能依靠本章介绍的检查方法。

## 2.1 相机记录了什么

相机以固定帧率 $f_s$ 拍摄，相邻两帧相隔 $\Delta t=1/f_s$。从零开始数，第 $n$ 帧的时刻是 $t_n=n\,\Delta t$。帧率为 $30\,\mathrm{Hz}$ 时，帧间隔约为 $0.033\,\mathrm s$。

每一帧里，跟踪程序找出小球中心所在的像素列 $u_n$。一份记录就是一列成对的数字 $(t_n,u_n)$。记录里没有位置，更没有速度：位置要经过标定换算，速度要经过计算估计。

这个区分贯穿全章。直接记下的量叫观测值，由观测值算出的量叫估计值。估计值的误差，一部分来自观测值本身，一部分来自我们选择的算法。

Lab 的默认记录长 $4\,\mathrm s$，共 121 帧。传感器宽 2048 列，第 1024 列对准轨道原点。小球的真实运动是

$$
x(t)=x_b+bt+\tfrac12ct^2+A\sin(\omega t+\phi),
\qquad
\omega=2\pi f.
$$

默认取 $x_b=0$、$b=0.15\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、$c=0$、$A=1.5\,\mathrm m$、$f=0.5\,\mathrm{Hz}$、$\phi=0$。频率 $f$ 是每秒振荡的周数，$\omega$ 叫角频率，单位是弧度每秒；正弦函数的自变量按弧度计算。这样的小球每两秒来回一次，同时以 $0.15\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向右漂移。

## 2.2 正弦运动的速度

要比较估计值和真值，先要知道这个运动的速度。前一章只求过多项式的斜率，这里用对称的平均速度求正弦函数的斜率。

取 $t$ 前后各 $h$ 的两个时刻。由三角恒等式 $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$，

$$
\frac{\sin\bigl(\omega(t+h)\bigr)-\sin\bigl(\omega(t-h)\bigr)}{2h}
=\omega\cos(\omega t)\,\frac{\sin(\omega h)}{\omega h}.
$$

当 $h$ 趋于零，$\sin(\omega h)/(\omega h)$ 趋于 1。这是小角度下正弦值与弧度近似相等的结果，例如 $\sin(0.01)=0.0099998$。于是

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t),
\qquad
v(t)=b+ct+A\omega\cos(\omega t+\phi).
$$

默认运动的最大速率约为 $A\omega=1.5\pi\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx4.71\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。上式中的比值 $\sin(\omega h)/(\omega h)$ 在 2.5 节还会出现，它决定差分会把速度低估多少。

## 2.3 标定：把像素换成位置

若相机比例为每米 $s$ 个像素，原点所在的列为 $u_0$，那么

$$
x_n=\frac{u_n-u_0}{s}.
$$

Lab 中 $s=120\,\mathrm{px\,m^{-1}}$，$u_0=1024$，一个像素约对应 $8.3\,\mathrm{mm}$。真实实验通常拍下一把已知长度的尺，数出它占多少像素，再据此确定 $s$。

标定会出两类错，影响很不一样。

比例假定错了，每个位置都按同一倍数缩放。若假定的比例比真实值大 10%，所有位置、位移和速度都被除以 1.1。误差和被测量的大小成正比：走得越远，位置误差越大。

原点假定错了，每个位置都平移同一段距离。原点偏 12 个像素，每个位置都偏 $12/120\,\mathrm m=0.1\,\mathrm m$。两帧位置相减时这段平移抵消，所以速度不受影响。

Lab 的“匀速运动”预设让小球以 $0.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 匀速移动，且不加噪声。比例误差设为 10% 时，速度的误差恰好是 $0.5\times(1-1/1.1)\,\mathrm{m\,s^{-1}}=0.0455\,\mathrm{m\,s^{-1}}$；原点误差设为 12 像素时，位置误差是 $0.1\,\mathrm m$，速度误差为零。两条结论都可以不依赖 Lab，用上面的公式直接算出。

## 2.4 怎样概括一列误差

一份记录有上百个估计值，每个都有误差 $e_k$。要比较两种方法，需要把一列误差概括成少数几个数。

平均值说明误差是否整体偏向一边，标准差说明误差围绕平均值散开多宽，均方根同时包括这两部分：

$$
\bar e=\frac1N\sum_{k=1}^N e_k,
\qquad
\sigma=\sqrt{\frac1N\sum_{k=1}^N(e_k-\bar e)^2},
\qquad
\mathrm{RMS}=\sqrt{\frac1N\sum_{k=1}^N e_k^2}.
$$

把 $e_k$ 写成 $(e_k-\bar e)+\bar e$ 再平方求和，交叉项的和为零，因为各个 $e_k-\bar e$ 加起来正好抵消。于是

$$
\mathrm{RMS}^2=\bar e^2+\sigma^2.
$$

原点偏 12 像素时，位置误差的平均值是 $0.1\,\mathrm m$，标准差为零，均方根也是 $0.1\,\mathrm m$。Lab 报告的各项“均方根误差”都是估计值与已知真值之差的均方根，只有在模拟中才能直接算出。

同样的推理说明另一件事。两个互不相关的误差相加，交叉项平均为零，标准差不直接相加，而是平方后相加。本章多次用到这条规则。

Lab 在每一帧加入一个落在 $\pm0.5$ 像素之间的扰动，再把结果取成整像素。这个扰动由确定的公式产生，不是真正的随机噪声，但在很多帧上大致均匀地铺满这个区间。均匀分布在 $\pm a$ 之间的量，标准差是 $a/\sqrt3$。这里直接使用这个结果，它的推导需要计算 $x^2$ 的积分。

扰动的标准差是 $0.5/\sqrt3\approx0.29$ 像素；取整误差落在 $\pm0.5$ 像素之间，标准差也约为 0.29 像素。两者平方相加再开方，约为 0.41 像素，即 $0.0034\,\mathrm m$。Lab 默认记录的原始位置均方根误差是 $0.00336\,\mathrm m$，与估算一致。

## 2.5 差分：用相邻帧估计速度

最直接的估计是相邻两帧的平均速度。为了让估计值对应一帧的时刻，通常取前后两帧，称为三点中心差分：

$$
\hat v_n=\frac{x_{n+1}-x_{n-1}}{2\Delta t}.
$$

这里的帽子记号表示估计值。它有两种误差，来源不同，随帧率的变化方向也相反。

第一种叫截断误差，来自用一段有限时间代替瞬时。对匀加速运动，这个公式完全准确：把 $x=p+qt+rt^2$ 代入，前后两项中的 $rt^2$ 部分相减后只剩 $q+2rt$，正是瞬时速度。对正弦运动，2.2 节已经算出，差分得到的是真实速度乘以 $\sin(\omega\Delta t)/(\omega\Delta t)$。

帧率为 $30\,\mathrm{Hz}$ 时，$\omega\Delta t=\pi/30\approx0.105$，这个比值为 0.99817。速度被低估约 0.18%，误差振幅约为 $0.0086\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，均方根约为 $0.0061\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。把 Lab 的噪声和取整都关掉，三点差分的速度均方根误差是 $0.00606\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

第二种误差来自位置噪声。两帧位置各有标准差为 $\sigma_x$ 的误差，相减后标准差是 $\sqrt2\,\sigma_x$，再除以 $2\Delta t$：

$$
\sigma_v=\frac{\sigma_x}{\sqrt2\,\Delta t}.
$$

代入 $\sigma_x=0.0034\,\mathrm m$、$\Delta t=1/30\,\mathrm s$，得到约 $0.072\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。Lab 默认记录用三点差分时，速度均方根误差为 $0.068\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。它比截断误差大十倍以上，可见这里的主要问题是噪声。

用像素直接看更清楚。三点差分可以写成 $(u_{n+1}-u_{n-1})/(2\Delta t\,s)$，在默认设置下分母是 8 像素秒每米。前后两帧只要差一个像素，速度估计就变化 $0.125\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

提高帧率能减小截断误差，却会放大噪声。帧率改为 $120\,\mathrm{Hz}$ 时，原始位置误差约为 $0.0031\,\mathrm m$，上式预计约 $0.27\,\mathrm{m\,s^{-1}}$；Lab 给出 $0.264\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，是 $30\,\mathrm{Hz}$ 时的四倍左右。拍得更密，三点差分反而更差。

加速度要再做一次差分，噪声被放大得更厉害。三点公式 $(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1})/\Delta t^2$ 在默认记录上的加速度均方根误差约为 $8.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，与真实加速度的振幅 $A\omega^2\approx14.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 相当。

## 2.6 局部拟合：多用几帧换取平滑

只用两帧，噪声无处平均。改进的办法是取以第 $n$ 帧为中心的 $2m+1$ 帧，用一条二次曲线贴近这些点，再取曲线在中心的斜率。

“贴近”的标准是让各点到曲线的竖直距离的平方和最小，这叫最小二乘拟合，第 3 章会详细讨论。用局部多项式拟合来平滑和求导，[Savitzky 与 Golay 在 1964 年](https://doi.org/10.1021/ac60214a047)给出了一套简便算法。

用帧序号 $k=-m,\dots,m$ 表示窗口里的偏移。窗口左右对称，$k$ 与 $k^3$ 的总和都是零，所以常数项和二次项不影响斜率，中心斜率等于直线拟合的斜率：

$$
\hat v_n=\frac{\sum_{k=-m}^{m}k\,x_{n+k}}{\Delta t\sum_{k=-m}^{m}k^2}.
$$

取 $m=1$，这个公式正好回到三点差分。窗口越宽，分母中的 $\sum k^2$ 增长得越快，噪声被平均掉的部分越多：

$$
\sigma_v=\frac{\sigma_x}{\Delta t\sqrt{\sum k^2}}.
$$

九帧窗口中 $\sum k^2=60$，噪声只剩约 $0.013\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。代价是平滑：九帧覆盖 $0.27\,\mathrm s$，在这段时间里速度已经变了不少，拟合斜率把速度的峰谷削低。表 2.1 列出不同窗口在默认记录上的结果。

**表 2.1** 默认记录（$30\,\mathrm{Hz}$，像素噪声上界 0.5 像素并取整）上不同求导方法的误差。

| 方法 | 有效估计数 | 速度均方根误差（米每秒） | 加速度均方根误差（米每二次方秒） |
| --- | --- | --- | --- |
| 三点差分 | 119 | 0.068 | 8.00 |
| 五帧拟合 | 117 | 0.037 | 1.59 |
| 九帧拟合（Lab 默认） | 113 | 0.069 | 0.357 |
| 十五帧拟合 | 107 | 0.190 | 0.467 |
| 三十一帧拟合 | 91 | 0.793 | 1.83 |

速度误差先降后升，在五帧附近最小。九帧拟合的误差主要来自平滑：关掉噪声和取整后，它的速度误差仍是 $0.069\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，与有噪声时几乎相同。加速度需要更宽的窗口才能压住噪声，所以两列的最佳窗口不同。

- 参考速度
- 三点差分
- 五帧拟合
- 三十一帧拟合

**图 2.1** 同一份默认记录上的三种速度估计。灰色曲线是 Lab 公式给出的参考速度；圆点是三点差分，细线是五帧拟合，粗线是三十一帧拟合。 三点差分围绕参考曲线跳动，三十一帧拟合很平滑，却明显削低了峰值。五帧拟合在两者之间。三种估计只用了记录的像素和标定。

窗口该多宽，取决于窗口持续的时间与运动变化快慢之比，而不只是帧数。帧率为 $120\,\mathrm{Hz}$ 时，三十一帧窗口只覆盖 $0.25\,\mathrm s$，速度均方根误差为 $0.052\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，比 $30\,\mathrm{Hz}$ 时的九帧窗口还好。

## 2.7 采样太稀：混叠

前面的方法都假设相邻帧之间运动变化不大。若振荡比帧率还快，记录本身就会误导人。

[Shannon 在 1949 年](https://doi.org/10.1109/JRPROC.1949.232969)证明，若信号不含高于 $f_{\max}$ 的频率，每隔 $1/(2f_{\max})$ 取一个样本就能完全确定它。反过来，帧率为 $f_s$ 时，比 $f_s/2$ 更快的振荡会在记录里冒充成较慢的振荡，这叫混叠。

Lab 的“混叠运动”预设让小球以 $3\,\mathrm{Hz}$ 振荡，相机每秒只拍 4 帧。第 $n$ 帧的正弦值是

$$
\sin\Bigl(2\pi\cdot3\cdot\frac n4\Bigr)
=\sin\Bigl(2\pi n-2\pi\cdot\frac n4\Bigr)
=-\sin\Bigl(2\pi\cdot1\cdot\frac n4\Bigr).
$$

记录与一个反相的 $1\,\mathrm{Hz}$ 振荡完全相同。从这些帧估计速度，误差的均方根达到 $15.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，而真实速度的振幅是 $18.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

“频闪静止”预设更极端：$4\,\mathrm{Hz}$ 的振荡，每秒拍 2 帧。每一帧都落在 $\sin(4\pi n)=0$，小球看起来一动不动。实际上每次拍摄时小球都以 $8\pi\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx25.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 穿过原点，这正是 Lab 报告的速度误差。

换什么求导方法都救不回来，因为需要的信息根本没有进入记录。唯一的检查是提高帧率，看记录是否随之改变。

## 2.8 速度积分回位置

第 1 章说过，位置等于初位置加上速度对时间的积分。手里只有一帧一个的速度估计时，可以把相邻两帧的速度平均，乘以帧间隔，逐段累加，这就是梯形法。

这样积分时，随机误差有正有负，会部分抵消；一个固定的速度偏差却会一直累积。“速度偏差漂移”预设在每个速度估计上加 $0.2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。积分从第一个有效估计开始，到最后一个结束，共 $3.733\,\mathrm s$，积分位置比原始位置多出

$$
0.2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\times3.733\,\mathrm s\approx0.747\,\mathrm m.
$$

这正是 Lab 读数“末段积分减原始位置”的值。默认九帧拟合没有加偏差，这个读数只有 $0.026\,\mathrm m$。

另一种问题是记录有缺口。“离开传感器”预设中，小球在快结束时跑出画面，121 帧里只有 114 帧有像素。九帧窗口里只要缺一帧就不给估计，所以只剩 106 个速度估计。可靠的估计方法让这些帧空着。

## 2.9 例题：从五帧像素估计速度

下面是 Lab 默认记录中第 13 到 17 帧的像素列号，时刻从 $0.433\,\mathrm s$ 到 $0.567\,\mathrm s$。已知 $s=120\,\mathrm{px\,m^{-1}}$，$u_0=1024$，$\Delta t=1/30\,\mathrm s$。求第 15 帧的三点差分速度和五帧拟合速度，并判断两者的差别是否异常。

**表 2.2** 默认记录中的五帧像素，以及换算出的位置。

| 帧号 | 像素列 | 位置（米） |
| --- | --- | --- |
| 13 | 1208 | 1.5333 |
| 14 | 1211 | 1.5583 |
| 15 | 1213 | 1.5750 |
| 16 | 1213 | 1.5750 |
| 17 | 1210 | 1.5500 |

先换算位置，例如第 13 帧是 $(1208-1024)/120\,\mathrm m=1.5333\,\mathrm m$。小球在这几帧附近到达最右端，接着往回走。

三点差分只用第 14 和第 16 帧：

$$
\hat v_{15}=\frac{1.5750\,\mathrm m-1.5583\,\mathrm m}{2/30\,\mathrm s}=0.25\,\mathrm{m\,s^{-1}}.
$$

用像素看，两帧相差 2 像素，除以 8 像素秒每米，也是 $0.25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

五帧拟合取 $k=-2,\dots,2$，$\sum k^2=10$：

$$
\begin{aligned}
\sum k\,x_{15+k}
&=-2(1.5333)-1.5583+1.5750+2(1.5500)\ \mathrm m\\
&=0.0500\,\mathrm m,\\
\hat v_{15}
&=\frac{0.0500\,\mathrm m}{(1/30\,\mathrm s)\times10}=0.15\,\mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
$$

两个估计相差 $0.10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。按 2.5 节，三点差分的噪声标准差约为 $0.072\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，五帧拟合约为 $0.032\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，所以这个差别在噪声允许的范围内，不说明哪一步算错。

最后与真值比较。按 2.2 节的公式，$0.5\,\mathrm s$ 时余弦项为零，真实速度正好是漂移速度 $0.15\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。五帧拟合这次恰好命中，三点差分多出不到一个像素的量。真实实验没有这个真值，只能依靠上一段那种噪声估计判断结果是否合理。

## 2.10 在运动测量 Lab 中检验

打开[运动测量与数值微分](https://sandboxphysics.com/zh/labs/motion-measurement/) Lab。进入页面时已经采集好一份记录，读数区直接给出整段记录的误差。“导出原始像素”保存的是相机记录，不含真值。

**比较求导方法。** 选择“带噪振荡”。先预测：把“导数：0 三点；1 二次拟合”设为 0，速度均方根误差会比默认的九帧拟合大还是小？再改回 1，把“二次拟合窗口帧数”依次设为 5、15、31。记录速度和加速度的均方根误差，与表 2.1 比较。然后把“取整前像素噪声上界”设为 0、“整像素取整”设为 0，看哪种窗口的误差几乎不变，并说明原因。

**改变帧率。** 仍用三点差分，把“帧率”从 30 提高到 120。操作前，用 2.5 节的公式预测速度误差会变成多少。

**检查标定。** 选择“匀速运动”，把“假定比例误差”设为 10%，记录原始位置和速度的均方根误差。点“重置”后再选“匀速运动”，改把“假定原点像素误差”设为 12。解释为什么一种误差影响速度，另一种不影响。

**检查采样。** 选择“混叠运动”和“频闪静止”。先根据 2.7 节预测相机看到的运动，再逐步提高帧率，找出记录开始跟上真实运动的帧率，并与 $2f$ 比较。

表 2.3 汇总这些设置的结果。Lab 的扰动和取整都是确定的，同样的设置总给出同样的数字。改变“确定性噪声样本”会换一组扰动：我们试过 8 个样本，三点差分的速度均方根误差在 0.059 到 $0.072\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 之间。

**表 2.3** 运动测量 Lab 几种设置的代表性结果。

| 设置 | 已追踪帧数 | 原始位置均方根误差（米） | 速度均方根误差（米每秒） |
| --- | --- | --- | --- |
| 带噪振荡，三点差分，帧率 120 | 481 | 0.0031 | 0.264 |
| 带噪振荡，九帧拟合，帧率 120 | 481 | 0.0031 | 0.042 |
| 匀速运动，假定比例误差 10% | 121 | 0.105 | 0.0455 |
| 匀速运动，假定原点像素误差 12 | 121 | 0.100 | 0 |
| 混叠运动 | 17 | 0 | 15.6 |
| 频闪静止 | 9 | 0 | 25.1 |
| 离开传感器 | 114 | 0 | 0.069 |

## 2.11 习题

1. 相机记录给出的是哪些量？位置和速度为什么都算估计值？
2. 一台相机的比例为每米 200 像素，原点在第 1024 列。小球在第 1124 列和第 1174 列各出现一次，两次拍摄相隔 $0.1\,\mathrm s$。求这段时间的平均速度。若原点其实在第 1030 列，结果变不变？若比例其实是每米 190 像素呢？
3. 某组误差的平均值是 $0.03\,\mathrm m$，均方根是 $0.05\,\mathrm m$。标准差是多少？这组误差主要是整体偏移还是分散？
4. 位置噪声的标准差是 $2\,\mathrm{mm}$，帧率 $60\,\mathrm{Hz}$。三点差分的速度噪声约为多少？改用七帧拟合呢？
5. 用 2.2 节的结果说明：小球做匀加速运动时，三点差分没有截断误差；做正弦振荡时，帧率越低，速度被低估得越多。帧率为 $10\,\mathrm{Hz}$ 时，默认运动的速度会被低估百分之几？
6. 一位同学说：“帧率越高，测出的速度越准。”用本章的结果说明这句话在什么条件下对，在什么条件下错。
7. 一个风扇每秒转 25 圈，在每秒 24 帧的视频里看起来慢慢倒转还是正转？每秒转多少圈？
8. 迁移题。你用手机以每秒 240 帧拍摄一辆沿桌面滑行的小车，比例约为每米 1000 像素，跟踪误差约 1 像素。小车速度约 $0.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，在 $0.2\,\mathrm s$ 内变化不大。你打算怎样选择求导方法和窗口？写出估计的速度噪声，并说明你会怎样检查选择是否合适。

## 2.12 答案与解释

第 1 题

相机记录的是每帧的时刻和像素列号。位置要经过比例和原点的标定才能得到，依赖标定假设；速度要由多帧位置计算，依赖求导方法和窗口。它们都是估计值，误差来源也比原始记录多。

第 2 题

两次位置分别是 $0.5\,\mathrm m$ 和 $0.75\,\mathrm m$，平均速度为 $0.25\,\mathrm m/0.1\,\mathrm s=2.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

原点错了，两次位置一起平移，差值不变，速度仍是 $2.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。比例错了，位移按比例改变：真实比例为每米 190 像素时，50 像素对应约 $0.263\,\mathrm m$，速度约为 $2.63\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，原来的结果偏低约 5%。

第 3 题

由 $\mathrm{RMS}^2=\bar e^2+\sigma^2$，标准差为 $\sqrt{0.05^2-0.03^2}\,\mathrm m=0.04\,\mathrm m$。分散部分比整体偏移略大，两者都不可忽略。

第 4 题

三点差分：$\sigma_v=0.002\,\mathrm m/(\sqrt2\times\tfrac1{60}\,\mathrm s)\approx0.085\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

七帧拟合取 $m=3$，$\sum k^2=2(1+4+9)=28$，$\sigma_v=0.002\times60/\sqrt{28}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx0.023\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。这只是噪声部分；七帧覆盖 $0.1\,\mathrm s$，若速度在这段时间里明显变化，还要加上平滑带来的偏差。

第 5 题

把 $x=p+qt+rt^2$ 代入三点差分，得到 $q+2rt$，与瞬时速度完全相同，所以没有截断误差。

对正弦运动，差分结果是真实速度乘以 $\sin(\omega\Delta t)/(\omega\Delta t)$。这个比值小于 1，且 $\omega\Delta t$ 越大越小，帧率越低低估越多。默认 $\omega=\pi\,\mathrm{s^{-1}}$，$10\,\mathrm{Hz}$ 时 $\omega\Delta t=0.314$，比值约为 0.984，速度被低估约 1.6%。

第 6 题

帧率越高，帧间隔越短，截断误差和混叠都会减小，在这个意义上更好。但三点差分的噪声与 $1/\Delta t$ 成正比，帧率提高四倍，噪声也大约四倍，Lab 中速度误差从 $0.068$ 升到 $0.264\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

只有同时按帧数加宽窗口、让它覆盖的时间大致不变，更多的帧才会变成更小的误差。这句话只在位置噪声很小、或者配合合适的拟合窗口时才对。

第 7 题

每帧之间风扇转过 $25/24$ 圈，也就是一圈再多 $1/24$ 圈。整圈看不出来，视频里每帧只前进 $1/24$ 圈，看起来按原方向慢慢转，每秒 1 圈。这是 $25\,\mathrm{Hz}$ 的转动混叠成了 $1\,\mathrm{Hz}$。若风扇有几片相同的叶片，每片转到下一片的位置也算一次重复，看到的速度还会不同。

第 8 题

位置噪声约为 $1\,\mathrm{mm}$。三点差分的速度噪声约为 $0.001\times240/\sqrt2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx0.17\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，是速度本身的三分之一，太大。

速度在 $0.2\,\mathrm s$ 内变化不大，所以可以用持续约 $0.1\,\mathrm s$ 的窗口，即 25 帧左右（$m=12$）。这时 $\sum k^2=1300$，噪声约为 $0.001\times240/\sqrt{1300}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx0.007\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

检查的办法有几种：把窗口减半再加倍，看速度曲线的形状是否稳定；拍一段已知匀速的运动，看速度是否平直；再拍一把尺，重新确定比例。可以接受的答案不必选同样的窗口，但要说明窗口时长与运动变化时间的关系，并给出噪声估计。

## 接下来：用模型检验一次下落

本章只从记录估计速度，没有假设运动遵循什么规律。下一章换一个思路：先假设加速度恒定，推出位置随时间的公式，再用整份记录检验这个假设，并测出重力加速度。

## 图表与数据说明

- 正弦函数的导数与三点差分的误差按本章推导独立计算；平均速度与瞬时速度的定义见 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.2 节。
- 表 2.1、表 2.2、表 2.3 和图 2.1 由运动测量 Lab 的模型代码按 Lab 默认参数计算：时长 $4\,\mathrm s$、帧率 $30\,\mathrm{Hz}$、比例 $120\,\mathrm{px\,m^{-1}}$、像素噪声上界 0.5 像素并取整、确定性噪声样本 17；表中另列的设置只改动所写的参数。参考速度来自 Lab 的运动公式，只用于比较。
- 文中的噪声估计把 Lab 的确定性扰动近似为均匀分布，用来检查数量级。它不是 Lab 噪声的精确描述。

## 到 Lab 里检验

每次只改一个设置，再把看到的结果和本章的表格、答案对照。

[运动测量与数值微分 → 用模拟相机记录运动物体的像素位置，再用有限差分或局部拟合估计速度和加速度，看看噪声、混叠、标定偏差和积分漂移怎样影响结果。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/motion-measurement/)

## 来源与核读范围

1. [OpenStax, University Physics Volume 1, §3.2 Instantaneous Velocity and Speed](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-2-instantaneous-velocity-and-speed)

   对照瞬时速度作为平均速度极限和位置导数的定义，以及速率是速度大小的定义。

2. [A. Savitzky and M. J. E. Golay, Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures, Analytical Chemistry 36(8), 1627–1639 (1964)](https://doi.org/10.1021/ac60214a047)

   核对了出版记录。作为“滑动局部多项式拟合求导”的标准文献引用；第二章的窗口公式在正文中独立推导。

3. [C. E. Shannon, Communication in the Presence of Noise, Proceedings of the IRE 37(1), 10–21 (1949)](https://doi.org/10.1109/JRPROC.1949.232969)

   核对了出版记录。作为采样定理的出处引用；第二章只用正文直接算出的特例：采样频率不超过正弦频率两倍时，记录可能像一段更慢的运动。

[← 第 1 章 · 怎样描述一次运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/describing-motion/) [第 3 章 · 怎样检验匀加速模型？ →](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/testing-constant-acceleration/)

本卷章节

- [1. 怎样描述一次运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/describing-motion/)
- [2. 相机怎样测出运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/)
- [3. 怎样检验匀加速模型？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/testing-constant-acceleration/)
- 4\. 换一个观察者，什么会变？ 编写中
- 5\. 速度大小不变，为什么仍会加速？ 编写中
- 6\. 力怎样改变运动？ 编写中
- 7\. 接触面什么时候会滑？ 编写中
- 8\. 绳子和滑轮怎样连接运动？ 编写中
- 9\. 一段路上的力怎样改变动能？ 编写中
- 10\. 什么时候可以只比较初态和末态？ 编写中
- 11\. 碰撞时哪些量守恒？ 编写中
- 12\. 力作用在哪里，为什么重要？ 编写中
- 13\. 怎样判断转动会不会改变？ 编写中
- 14\. 同一条引力规律怎样解释下落和轨道？ 编写中