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title: "位置、速度和加速度图像：怎样描述运动 | Sandbox Physics"
description: "位置图的高度是位置，斜率是速度；速度图下的带符号面积是位移。学会从图像读出方向、快慢和路程。"
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last_modified: "2026-10-28"
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[第一卷 · 运动、力与能量](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/)

第一卷 · 第 1 章

# 怎样描述一次运动？

位置图的高度是位置，斜率是速度；速度图下的带符号面积是位移。学会从图像读出方向、快慢和路程。

先修：坐标与函数图像。

读完本章，你能：从位置图判断运动方向，分别算出位移和路程，用速度图说明小车何时变快、何时变慢。

一条位置随时间变化的曲线，既告诉我们物体在哪里，也能告诉我们它朝哪边运动、速度怎样变化。关键是分别读出曲线的高度和斜率。

设想一辆沿直轨移动的小车。它先向右走，逐渐慢下来，随后掉头向左。只说“小车最后回到了起点”，会丢掉中间的大部分信息。我们希望用一套说法，把整段运动交代清楚。

这一章只研究沿一条直线的运动，用小车上的一个固定点表示它的位置。暂时不讨论小车为什么这样运动。导数和积分会从图像中逐步引入，不需要提前学过。

## 1.1 先说清楚从哪里量

在轨道上选一个原点，规定向右为正方向。小车的位置用 $x$ 表示，单位是米；时刻用 $t$ 表示，单位是秒。

小车在原点右侧三米时，位置是 $x=3\,\mathrm m$；在左侧三米时，位置是 $x=-3\,\mathrm m$。负号告诉我们它在原点的哪一边。

位置本身不能告诉我们小车正在朝哪里走。经过右侧三米的位置时，它可能继续向右，也可能正在返回。判断运动方向，需要比较相邻时刻的位置。

若起始和结束时刻分别为 $t_1$、$t_2$，位移定义为末位置减去初位置：

$$
\Delta x=x(t_2)-x(t_1).
$$

符号 $\Delta$ 表示两个时刻之间的变化。位移可以为正、为负，也可以为零。

路程则把沿途走过的长度都算进去。小车从原点向右走四米，再沿原路返回，路程是八米，位移是零。这里采用的是一维运动中常用的位置、位移和路程定义，参见 [OpenStax《University Physics》第一卷第 3.1 节](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-1-position-displacement-and-average-velocity)。

## 1.2 一次往返怎样画成曲线

先看下面这段专门为本章设定的运动。表中数字由给定的数学模型计算，表示理想位置，不是相机采集的数据。

**表 1.1** 一次往返运动在五个时刻的位置。

| 时刻（秒） | 位置（米） |
| --- | --- |
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 0 |

为了交代两个记录时刻之间的运动，我们进一步规定：在零到四秒内，位置遵循

$$
x(t)=ut-bt^2,
\qquad
u=4\,\mathrm{m\,s^{-1}},
\qquad
b=1\,\mathrm{m\,s^{-2}}.
$$

这里 $u$ 和 $b$ 是给定的常数。两项都具有长度单位，因此可以相减。现在不必先学求导；把时刻代进去，就能核对表中的每一个位置。

**图 1.1** 上图是位置，中图是速度，下图是加速度；横轴都是时间。虚线标出两秒时的转向。中图两块阴影的带符号面积分别为正四米和负四米。 三条曲线均由本章给定的理想运动计算；圆点是表 1.1 的位置，不代表额外的测量。

先只看最上面的图。前两秒，位置一直增加；后两秒，位置一直减少。小车到达最右边时，位置曲线先升后降。

这张图的横轴是时间，纵轴是位置，纸上的弯曲形状并不是轨道形状。小车从始至终都沿直轨运动。

只有表中的五个位置，还不足以确定完整运动。小车可能在相邻记录之间多走一段再回来。这里之所以能画出确定的平滑曲线，是因为我们还给定了位置函数。下一章会专门讨论，只有离散记录时能推断到哪一步。

## 1.3 速度来自位置图的斜率

从零秒到一秒，小车向右移动了三米。这一秒的平均速度是三米每秒。任取两个时刻，平均速度都这样定义：

$$
\overline v
=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1},
\qquad t_2>t_1.
$$

位置图上连接这两个时刻的直线，其斜率正是这段时间的平均速度。纵向变化的单位是米，横向变化的单位是秒，相除后得到米每秒。

小车的运动不均匀，一整秒的平均值未必等于某一瞬间的速度。要问“一秒时有多快”，可以先比较一秒到一点五秒，再比较一秒到一点一秒，逐渐缩短时间间隔。

把本章的位置函数代入，有

$$
\begin{aligned}
\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
&=\frac{u\Delta t-b\bigl(2t\Delta t+(\Delta t)^2\bigr)}{\Delta t}\\
&=u-2bt-b\Delta t.
\end{aligned}
$$

取 $t=1\,\mathrm s$，结果列在表 1.2 中。

**表 1.2** 从一秒开始、长短不同的时间间隔内的平均速度。

| 随后比较的时间间隔（秒） | 这段时间的平均速度（米每秒） |
| --- | --- |
| 0.5 | 1.5 |
| 0.1 | 1.9 |
| 0.01 | 1.99 |

时间间隔越小，结果越接近二米每秒。我们把时间间隔趋近于零时的极限称为瞬时速度，通常就简称速度。这也是位置函数对时间的导数：

$$
v(t)=\lim_{\Delta t\to0}
\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}
=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}.
$$

从图上看，连接两点的直线逐渐接近该处的切线。切线的斜率给出那一瞬间的位置变化率。瞬时速度与速率的定义可对照 [OpenStax 第一卷第 3.2 节](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-2-instantaneous-velocity-and-speed)。

对本章的运动，刚才的代数计算已经给出

$$
v(t)=u-2bt.
$$

于是，一秒时的速度为正二米每秒，三秒时为负二米每秒。两次经过同一个位置，运动方向却相反。

在一维运动中，速度的正负说明方向；速率只取速度的大小，记作 $\lvert v\rvert$。这两个时刻的速率都是二米每秒。

读位置图时，可以依次问：曲线正在上升还是下降？斜率有多大？斜率的大小又在怎样变？曲线的高度只回答位置，后面这些问题才涉及速度。

## 1.4 加速度说明速度怎样改变

速度图也有斜率。它表示速度变化的快慢，称为加速度：

$$
\overline a=\frac{\Delta v}{\Delta t},
\qquad
a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}.
$$

加速度的单位是米每二次方秒，意思是速度每秒改变多少米每秒。它同时保留方向，参见 [OpenStax 第一卷第 3.3 节](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-3-average-and-instantaneous-acceleration)。

本章的速度每过一秒就减少二米每秒，因此整段运动的加速度恒为

$$
a=-2b=-2\,\mathrm{m\,s^{-2}}.
$$

前两秒，小车向右，速度为正。负加速度让速度逐渐接近零，小车变慢。后两秒，小车向左，速度为负；速度继续减小，绝对值反而增大，小车越走越快。

可见，负加速度并不总表示减速。沿直线运动且速度不为零时，速度与加速度同向，速率增大；方向相反，速率减小。

在转向那一瞬间，速度为零，加速度仍为负二米每二次方秒。小车只是瞬时停住，紧接着就向左运动。要判断是否在一段时间内静止，应当看这段时间的位置是否一直不变。

## 1.5 从速度图找回位移

假如速度恒定，位移等于速度乘以经过的时间。画在速度图上，就是一个矩形的带符号面积。

速度变化时，可以把时间分成许多小段，每段暂用一个代表速度估计位移，再把它们相加。时间段不断缩小时，这样的累积给出速度对时间的积分：

$$
x(t_2)-x(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,\mathrm dt.
$$

现在只需把积分理解为连续累积。速度图横轴下方的面积要带负号，因为那一段运动让位置减小。

图 1.1 中，前两秒是一个底为两秒、高为四米每秒的三角形，其面积是四米。后两秒的三角形位于横轴下方，带符号面积为负四米。两段相加，位移是零。

计算路程时，回程也要增加总长度。分别取两段运动长度的大小相加，得到八米。也可以写成

$$
D=\int_0^{4\,\mathrm s}\lvert v(t)\rvert\,\mathrm dt=8\,\mathrm m.
$$

速度图决定的是位置改变了多少。要知道小车的实际位置，还需要起始位置：

$$
x(t)=x(0)+\int_0^t v(s)\,\mathrm ds.
$$

积分里的 $s$ 只是用来遍历时间的变量，单位仍是秒。两辆车可以有完全一样的速度图，只是一直相隔两米。这个位置差只能由初始位置给出。

## 1.6 例题：回到起点的一次运动

仍考虑图 1.1 中零到四秒的运动。求转向时刻、总位移、总路程、全程平均速度和平均速率。

先判断如何分段。转向前后，小车沿不同方向运动，所以计算路程时应在转向处分开。由速度关系求转向时刻：

$$
u-2bt=0
\quad\Longrightarrow\quad
t=\frac{u}{2b}=2\,\mathrm s.
$$

把它代回位置函数，得到最右位置为四米。小车由零米走到四米，再从四米回到零米，所以

$$
\begin{aligned}
\Delta x&=0\,\mathrm m,\\
D&=4\,\mathrm m+4\,\mathrm m=8\,\mathrm m.
\end{aligned}
$$

平均速度用位移除以总时间，平均速率用总路程除以总时间：

$$
\overline v=\frac{0\,\mathrm m}{4\,\mathrm s}=0\,\mathrm{m\,s^{-1}},
\qquad
\overline{\lvert v\rvert}
=\frac{8\,\mathrm m}{4\,\mathrm s}
=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}.
$$

平均速度为零，与小车最后回到起点相符。平均速率为正，与它确实走过八米相符。再看速度图，两块带符号面积恰好抵消，也能独立检查位移结果。

## 1.7 在运动图像工作台中比较

打开[运动图像工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/motion-graph-studio/)。这里可以给定位置、速度或加速度曲线，查看另外两条曲线和小车运动。

**先看匀速运动。** 选择“匀速运动”，拖动金色时钟。操作前，先画出你预想的位置图、速度图和加速度图。查看后说明：哪条图是倾斜直线，哪条图是水平线？水平线的高度分别表示什么？

**再看返回。** 选择“反向与返回”。先根据速度曲线预测小车在哪些时间段向右、在哪些时间段向左，再拖动时钟比较。把时钟移到末尾，分别记录“带符号速度面积”和“已行路程”。解释为什么这两个读数可以不同。

**最后改变起点。** 重新选择“匀速运动”，记录初始位置。保持速度曲线不变，只把“积分初始位置”增加两米，然后比较整段位置图、速度图、位移和路程。用一句话说明，哪种信息必须由初值补上。

没有打开工作台的读者，可以用表 1.3 跟上推理。时钟都放在记录末尾。

**表 1.3** 运动图像工作台三种设置在记录末尾的结果。

| 设置 | 时长（秒） | 末位置（米） | 带符号速度面积（米） | 已行路程（米） |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 反向与返回（默认） | 6 | 0 | 0 | 8.8 |
| 匀速运动 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 匀速运动，积分初始位置为 2 米 | 6 | 8 | 6 | 6 |

“反向与返回”中，小车在三秒时到达最右的 4.4 米，随后返回原点，所以位移为零，路程是 8.8 米。改变积分初始位置后，整条位置图向上平移两米；速度图、位移和路程都不变。

这里的曲线由七个节点之间的平滑插值确定，节点之间也可能出现转向，要看完整曲线。工作台给定的是理想运动，不计算产生这种运动所需的力；“导出模型 CSV”保存的是模型数值。图 1.1 的解析例子是本章另行设定的运动，参数与工作台的默认曲线不同。

## 1.8 习题

1. 一辆车位于原点右侧三米。仅凭这个位置，能否判断它向左还是向右？说明还需要什么信息。
2. 小车从左侧两米走到右侧三米，途中一直向右，用时五秒。求位移、路程、平均速度和平均速率。
3. 一条位置图在一段时间内高于横轴，但一直向下倾斜。位置和速度的正负分别是什么？小车在靠近原点吗？
4. 对图 1.1 的运动，只考虑一秒到三秒。求这段时间的位移、路程、平均速度和平均速率。
5. 小车某时刻的速度为负二米每秒，加速度为正一米每二次方秒。就在该时刻附近，它的速率正在增大还是减小？如果加速度持续不变，两秒后会怎样？
6. 两辆车的速度图完全相同，初始位置相差两米。它们的位置图、位移和路程分别有什么关系？
7. 相机每秒记录一次位置，五个位置恰好是表 1.1 的数字。能否由此断定两秒时的瞬时速度一定为零？说明你的判断依赖什么假设。
8. 自己设计一段先向右、后向左且最终回到起点的运动。给出两段各自的恒定速度和持续时间，计算平均速度与平均速率。这个分段模型在转向时有什么理想化？
9. 迁移题。一部电梯从地面上升 30 米用了 15 秒，在楼层停 10 秒，再下降 12 米用了 8 秒。取向上为正，把每段运动近似为匀速，画出速度图的形状，并求全程的位移、路程、平均速度和平均速率。启动和停止时，这个近似忽略了什么？

## 1.9 答案与解释

第 1 题

不能。位置只说明车在哪里。还需相邻时刻的位置变化，或该时刻的速度，才能判断运动方向。

第 2 题

位移是正五米；因为全程向右，路程也是五米。平均速度为正一米每秒，平均速率为一米每秒。若中途有折返，路程可能增加，末位置与位移仍可相同。

第 3 题

位置为正，速度为负。只要曲线仍在横轴上方，小车就在从右侧靠近原点。经过原点后若继续向左，它会离原点越来越远。

第 4 题

一秒和三秒的位置同为三米，所以位移与平均速度都是零。小车先从三米到四米，再返回三米，路程为两米；经过两秒，平均速率为一米每秒。

第 5 题

当时速度与加速度方向相反，速率正在减小。若加速度保持不变，两秒后速度达到零；继续保持这一加速度，小车随后向右运动。两秒后的瞬时静止不代表此后一直静止。

第 6 题

位置图在纵向上始终相差两米。同一段时间内，它们的位置变化相同，速度大小也处处相同，因此位移与路程分别相同。

第 7 题

不能。五个记录没有唯一确定记录之间的运动。采用本章给定的二次位置函数时，两秒时的速度为零。若只有离散位置，还可以构造经过同样五点、却在两秒时斜率不同的平滑曲线。

例如取 $x(t)=ut-bt^2+k\sin(\pi t/\tau)$，其中 $\tau=1\,\mathrm s$，$k$ 是任意长度。整数秒时正弦项为零，五个位置不变；两秒时的速度却变成 $k\pi/\tau$。要选出唯一曲线，必须另外假设运动足够平滑，或者记录得更密。

第 8 题

例如，先以正二米每秒走两秒，再以负一米每秒走四秒。位移为正四米加负四米，等于零；总路程八米，总时间六秒，所以平均速率为三分之四米每秒，平均速度为零。

转向点处速度不连续，普通的瞬时加速度没有定义。真实小车需要一段有限时间完成速度变化。

第 9 题

速度图由三段水平线组成：零到十五秒为正二米每秒，十五到二十五秒为零，二十五到三十三秒为负一点五米每秒。

位移是 $30\,\mathrm m-12\,\mathrm m=18\,\mathrm m$，路程是 $30\,\mathrm m+12\,\mathrm m=42\,\mathrm m$，总时间 33 秒。平均速度约为 $0.55\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向向上；平均速率约为 $1.27\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。停留的十秒不产生位移，但要计入总时间。

匀速近似让速度在启动和停止的瞬间跳变，相当于假设加速度无限大。真实电梯要用几秒加速和减速。只要每段的位移不变，位移、路程和平均值不受影响，但速度图在拐角处会变成斜坡。

## 接下来：相机实际记录了什么

本章从一条已知的位置曲线出发，用斜率找速度，用速度图下的带符号面积找位移。真实相机只给出有限时刻的记录。下一章将从这些记录出发，看看标定、帧率和位置噪声怎样影响对运动的判断。

## 图表与数据说明

- 本章的基本定义已对照 OpenStax《University Physics》第一卷第 3.1、3.2、3.3 节；例题、习题及其参数独立编写。
- 图 1.1 的曲线按本章位置函数及其解析导数绘制，时间范围为零到四秒；圆点间隔一秒。没有使用测量数据。
- 表 1.3 由运动图像工作台的模型代码在默认时长下计算，时钟位于记录末尾。该模型没有随机量，重新运行得到相同结果。

## 到 Lab 里检验

每次只改一个设置，再把看到的结果和本章的表格、答案对照。

[运动图像工作台 → 画出位置、速度或加速度曲线，看三维小车照着运动。带正负号的斜率和面积告诉你小车什么时候掉头，路程和位移又为什么不同。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/motion-graph-studio/)

## 来源与核读范围

1. [OpenStax, University Physics Volume 1, §3.1 Position, Displacement, and Average Velocity](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-1-position-displacement-and-average-velocity)

   对照一维运动中位置、位移、路程和平均速度的定义。本章例题与习题独立编写。

2. [OpenStax, University Physics Volume 1, §3.2 Instantaneous Velocity and Speed](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-2-instantaneous-velocity-and-speed)

   对照瞬时速度作为平均速度极限和位置导数的定义，以及速率是速度大小的定义。

3. [OpenStax, University Physics Volume 1, §3.3 Average and Instantaneous Acceleration](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-3-average-and-instantaneous-acceleration)

   对照一维运动中平均加速度、瞬时加速度的定义、单位和正负号。

[← 第一卷 · 运动、力与能量](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/) [第 2 章 · 相机怎样测出运动？ →](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/)

本卷章节

- [1. 怎样描述一次运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/describing-motion/)
- [2. 相机怎样测出运动？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/measuring-motion-with-a-camera/)
- [3. 怎样检验匀加速模型？](https://sandboxphysics.com/zh/learn/mechanics/testing-constant-acceleration/)
- 4\. 换一个观察者，什么会变？ 编写中
- 5\. 速度大小不变，为什么仍会加速？ 编写中
- 6\. 力怎样改变运动？ 编写中
- 7\. 接触面什么时候会滑？ 编写中
- 8\. 绳子和滑轮怎样连接运动？ 编写中
- 9\. 一段路上的力怎样改变动能？ 编写中
- 10\. 什么时候可以只比较初态和末态？ 编写中
- 11\. 碰撞时哪些量守恒？ 编写中
- 12\. 力作用在哪里，为什么重要？ 编写中
- 13\. 怎样判断转动会不会改变？ 编写中
- 14\. 同一条引力规律怎样解释下落和轨道？ 编写中