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title: "读懂 Wilson–Fisher 流图"
description: "复算四维附近的一圈流图，比较临界指数，追问哪些微观差异会留下来。"
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last_modified: "2026-10-27"
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[场、尺度与临界现象](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/)

FR01 · L4 · 第 8 章

# 读懂 Wilson–Fisher 流图

复算四维附近的一圈流图，比较临界指数，追问哪些微观差异会留下来。

先修：第 6—7 章、二元函数导数与微扰展开。

读完能做什么：读出固定点的稳定与不稳定方向，准确说明来源复算的范围。

微观细节不同的模型，如果粗粒化后走向同一个不动点，就可能拥有相同的长距离临界行为。Wilson–Fisher 计算在略低于四维的实标量场中，把这个想法变成了可以计算的参数流。它也解释了为什么要调节温度之类的参数，才能靠近临界点：附近有一个方向会把偏离不断放大。

先读[保留低能预测](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/keeping-low-energy-physics/)和[有限尺寸标度](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/finite-size-scaling/)。这里需要有效作用量、关联长度和临界指数的概念。接下来先把“参数随尺度改变”写成微分方程，再用局部线性近似判断哪些偏离会增长。

## 把尺度当作新的自变量

考虑一个实标量场：所有场值同时变号，概率不变。欧氏作用量包含梯度项、质量项，以及正的四次相互作用项。积分掉一段高动量模式后，各项系数会改变。再缩放坐标和场，把动量截断与梯度归一化恢复到相同约定，前后两组参数才方便比较。

记观察长度放大的倍数为 $\zeta$，取 $s=\log\zeta$。$s$ 增大表示走向更长距离，也就是红外方向。使用无量纲质量参数 $r=\mu^2/\Lambda^2$，以及 $u=9\widetilde g/(2\pi^2)$。其中 $\Lambda$ 是恢复后的动量截断，$\widetilde g$ 是 Tong 约定下四次项 $\widetilde g\phi^4$ 的无量纲系数。数值计算把截断取为一。

空间维度写成 $d=4-\epsilon$，$\epsilon$ 是小的正数。非整数维度出现在解析延拓的公式里，并不是说前面那条一维格点环突然变成了分数维空间。

先不算相互作用，仅从缩放就能看出趋势。把梯度项保持归一化后，质量项随 $\zeta^2$ 增长，四次项随 $\zeta^{4-d}$ 增长，它们的变化率因此含有 $2r$ 和 $\epsilon u$。短波涨落积分带来圈图修正。按 [Tong《统计场论》3.5节](https://davidtong.org/pdfs/teaching/statistical-field-theory/sft3.pdf)印刷页90的单圈方程，换成上述变量可得

$$
\frac{dr}{ds}=2r+\frac{u}{3(1+r)},\qquad \frac{du}{ds}=\epsilon u-\frac{u^2}{(1+r)^2}.
$$

右边叫 beta 函数，意思是参数随尺度变化的速率。它给参数平面上的每一点安排一个箭头；沿着箭头走，就得到一条粗粒化轨迹。

## 找一个走到那里就不再改变的点

不动点要求两个 beta 函数同时为零。原点 $r=u=0$ 是高斯不动点。若寻找正耦合的不动点，第二个方程给出

$$
u_* =\epsilon(1+r_*)^2.
$$

将它代入第一个方程，便有 $2r_*+\epsilon(1+r_*)/3=0$。解得所列截断方程的非零不动点：

$$
r_*=-\frac{\epsilon}{6+\epsilon},\qquad u_*=\epsilon\left(\frac6{6+\epsilon}\right)^2.
$$

只保留小参数的一阶时，它们是 $r_*=-\epsilon/6+O(\epsilon^2)$、$u_*=\epsilon+O(\epsilon^2)$。小 $\epsilon$ 让不动点仍停在小耦合处，微扰计算才有可控制的起点。

取 $\epsilon=0.1$ 做一道例题。截断方程给出 $r_*\approx-0.0163934$、$u_*\approx0.0967482$。把这两个数代回 beta 函数，得到的变化率在数值舍入范围内为零。上面的分式展开后会包含更高次的 $\epsilon$，这是精确求解截断方程留下的代数结果，并没有额外算出高圈修正。

## 附近的偏离会怎样

找到不动点，还要问周围的轨迹会不会靠近它。写 $r=r_*+\delta r$、$u=u_*+\delta u$，把 beta 函数对小偏离展开到一次项。由各个偏导数组成的矩阵，描述局部流向：

$$
J=\begin{pmatrix}2-\epsilon/3&1/[3(1+r_*)]\\2\epsilon^2(1+r_*)&-\epsilon\end{pmatrix}.
$$

左下角从 $\epsilon^2$ 起才出现。保留小参数的一阶时，两个本征值为 $y_t=2-\epsilon/3$ 和 $y_u=-\epsilon$。每个本征向量给出质量与耦合偏离的一种组合；沿那个方向，偏离随 $e^{ys}$ 改变。

正本征值让偏离越走越大，称为相关方向。负本征值让偏离逐渐缩小，称为无关方向。Wilson–Fisher 点附近各有一个。热方向通常混合了原来的两个参数，并不必然沿图上的横轴或纵轴。

调参和普适性现在有了同一幅图像。把相关方向的偏离调得足够小，轨迹就能在不动点附近停留更多尺度。沿无关方向带来的微观差异则逐渐衰减。起点虽然不同，长距离的临界指数仍可能相同。

## 从局部流向算出临界指数

用 $t$ 表示沿热方向离临界点的无量纲距离。尺度放大 $\zeta$ 后，它变成 $\zeta^{y_t}t$。等这个量长到一的量级，就离开了临界附近。由 $\zeta^{y_t}|t|\sim1$ 解得 $\zeta\sim|t|^{-1/y_t}$。关联长度随同一个倍数增长，于是

$$
\xi\sim|t|^{-\nu},\qquad \nu=\frac1{y_t}=\frac12+\frac{\epsilon}{12}+O(\epsilon^2).
$$

最后一步把倒数也一致地展开到一阶。$\epsilon=0.1$ 时，这一阶结果为 $\nu\approx0.508333$。

磁化率把空间中的连通关联加在一起。临界关联若随距离的 $-(d-2+\eta)$ 次方衰减，并在距离 $\xi$ 附近被截断，空间积分就随 $\xi^{2-\eta}$ 增长。这给出 $\gamma=\nu(2-\eta)$。这个标量展开的反常指数 $\eta$ 从二阶才开始贡献，得到

$$
\gamma=1+\frac{\epsilon}{6}+O(\epsilon^2).
$$

同样取 $\epsilon=0.1$，一阶值为 $1.016667$。系数 $1/6$ 也正是 [Wilson 与 Fisher 1972年论文《3.99维中的临界指数》](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.28.240)官方出版摘要给出的 Ising 类磁化率结果。

## 读一张重算的流图

打开[粗粒化与重整化参数流](https://sandboxphysics.com/zh/labs/renormalization-flow/)下方的流图。它按 Tong 印刷页91图30背后的方程重新积分。原图是示意图，这里的曲线来自方程计算，没有数字化原图坐标，也没有使用实验数据。

默认 $\epsilon=0.1$，金色起点为 $r=-0.011$、$u=0.065$。拖动这个点，先预测哪个方向的改变会让轨迹更快离开不动点附近，再看轨迹与周围箭头怎样对应。两轴都把参数除以 $\epsilon$，改变小参数时仍能看清小耦合附近的结构。

导出参数流 CSV，里面保存变量约定、小参数、步长和尺度坐标。参考轨迹采用四阶 Runge–Kutta，步长为 $0.025$。步长减半后，在 $s=1$ 处的质量坐标只改变约 $8.85\times10^{-11}$。这检验了数值积分的精度；公式略去的高圈项仍是另一种误差。

这次来源核读也有明确范围：Tong 的方程和图30已读，APS 出版摘要用于检查历史上的一阶指数。Wilson 与 Fisher 1972 年论文的完整 PDF 需要授权，这里的历史对照限于已读到的摘要结果。随数据保存的来源说明列出了计算参数和核读状态。

[![单圈标量场流图：调到临界后的轨迹靠近 Wilson–Fisher 不动点，附近一条保存的轨迹沿相关方向离开。](https://sandboxphysics.com/images/field-theory/wilson-fisher-flow.zh.png)](https://sandboxphysics.com/images/field-theory/wilson-fisher-flow.zh.png)

按 Tong 图 30 的方程独立积分，取 $\epsilon=0.1$。橙线直接使用保存的 CSV 数据，青线显示调到临界后沿稳定方向的靠近过程。点击可看大图。[矢量图](https://sandboxphysics.com/images/field-theory/wilson-fisher-flow.zh.svg)

## 照着论文，做一次离散递推

Wilson 与 Kogut 1974年的已发表综述，给了我们另一种走法：每次把观察尺度直接放大两倍。[第4节图4.5](https://theory.tifr.res.in/~tridib/ReferenceMaterial/WilsonKogut.pdf)位于印刷页108，一条调到临界的序列靠近不动点，旁边两条则转向不同的方向。按印刷页106的式(4.26)–(4.27)逐步计算，就能重画这种结构。

每一步先积分掉动量截断 $1/2$ 到 $1$ 之间的壳层，再把截断恢复到一。为了区分前面的耦合约定，把论文中的四次系数记为 $u_{\mathrm W}$，改用 $v=9c u_{\mathrm W}$。这里 $c=4\int_{1/2<|p|<1}d^d p/(2\pi)^d$ 是正的壳层体积因子。论文的截断递推式便成为

$$
r_{n+1}=4\left[r_n+\frac{v_n}{3(1+r_n)}\right],\qquad v_{n+1}=2^\epsilon\left[v_n-\frac{v_n^2}{(1+r_n)^2}\right].
$$

下图取 $\epsilon=0.1$。调到临界附近的初值为 $v_0=0.16$、$r_0\approx-0.0736025858656632$。先代入一次，得到 $r_1\approx-0.0641276051060$、$v_1\approx0.139513337325$。继续递推，会靠近这组截断方程的不动点 $r_*\approx-0.0289028753$、$v_*\approx0.0631518729$。原文的示意图没有给出数值初值；这里选定数值，重算靠近临界与离开临界的三条轨迹。

只改一个量试试：保持 $v_0$，把 $r_0$ 增加 $2\times10^{-9}$。先预测走向，再比较橙色B与绿色A；同样大小的减少画成紫色C。B、C起先都走向不动点附近，到第13步已经转向两侧。A则在保存的190步内继续靠近。配套记录保留了各步坐标和完整精度的初值。

为什么这么小的改动也会分开？把离散递推式线性化，得到约为 $0.923935$ 和 $3.91500$ 的两个倍率：一个让偏离每步缩小，另一个让偏离每步增长。这里一次迭代就把长度放大两倍，因此 $y_t=\log\lambda_t/\log2$，$\nu=\log2/\log\lambda_t$。一致地展开到一阶，仍得到论文中的 $\nu=1/2+\epsilon/12+O(\epsilon^2)$，与前面的连续计算相符。直接解这组截断递推式得到的代数值，在 $\epsilon=0.1$ 时约为 $0.507869$，其中还含有超出一阶的项。

临界轨迹也会放大舍入误差。CSV因而保存180位运算精度；若把初值四舍五入后用普通精度长时间递推，也可能离开A。数值检查比较了更高精度，以及离不动点更近的终端条件。物理预测仍受递推式略去项的限制。这里复现的是论文图4.5的临界与离开轨迹结构，以及一阶临界指数；参数和递推值都可以重算。

两种算法的不动点坐标为什么不同？

连续方程与有限步递推采用不同的耦合约定和壳层近似，不动点坐标会依赖这些约定。计入每步长度放大两倍后，一阶热指数仍然相同。比较时应先看这个指数，以及偏离增长或缩小的方向，再比较原始坐标。

[![Wilson 与 Kogut 的离散单圈递推：调到临界的序列靠近不动点，附近序列向两侧离开。](https://sandboxphysics.com/images/field-theory/wilson-kogut-zh.png)](https://sandboxphysics.com/images/field-theory/wilson-kogut-zh.png)

按 Wilson 与 Kogut（1974）式 4.26—4.27 新算的轨迹，重现图 4.5 的定性结构，取 $b=2,\ \epsilon=0.1$。所选参数与数值序列另行保存；论文示意图没有可供数字化的坐标数据。[矢量图](https://sandboxphysics.com/images/field-theory/wilson-kogut-zh.svg) ·[保存的数值序列](https://github.com/yangzichao/sandboxphysics/blob/main/docs/field-theory/renormalization/wilson-kogut-trajectories.csv)

## 哪些改变会让普适性改变

对称性、维度、相互作用距离，会影响理论能够走向哪些不动点。有变号对称性的标量场，与具有连续旋转对称性的向量场，可能拥有不同的临界行为。长程相互作用也可能让原先无关的项变得重要。如果转变是一阶的，轨迹还可能根本不会靠近这里讨论的临界不动点。

小 $\epsilon$ 计算控制的是略低于四维的邻域。直接代入 $\epsilon=1$，本身不能给出精密的三维指数。数值有限尺寸标度等方法，需要另外处理各自的误差。[Poland、Rychkov、Vichi 的共形自举综述](https://arxiv.org/abs/1805.04405)介绍了另一条路：利用共形不动点处关联函数必须满足的一致性条件，限制可能的理论。它是后续阅读入口，这个实验没有执行自举计算。

## 练习

- 在参数流方程中令耦合为零，解出质量参数随 $s$ 的变化，并说明高斯热本征值是什么。
- 取 $\epsilon=0.06$，计算一阶 $\nu$ 和 $\gamma$。若把它们当作物理预测，应该怎样解释小数位？
- 两个格点作用量有不同的高阶导数项，但对称性相同，且相互作用都是短程的。它们还需满足什么条件，才能拥有相同临界指数？
- 有人将 $\epsilon=1$ 时的一阶公式积分得极其精确，报出许多位小数。指出两种不同误差，并说明减小步长处理了哪一种。

解释性答案

耦合为零时，$dr/ds=2r$，解为 $r(s)=r(0)e^{2s}$。本征值是 $2$；高斯关联长度指数是其倒数 $1/2$。

一阶公式给出 $\nu=0.505$、$\gamma=1.01$。它们是指定截断展开的数值。修正从 $\epsilon^2$ 起出现，系数没有由这次计算确定；增加小数位不会自动增加物理准确度。

调好相关方向之后，两者必须处在同一临界不动点的吸引区域。共同的对称性和短程性提供线索，却不能排除另一个不动点、一阶转变或额外的相关参数。

积分误差来自求解微分方程的数值方法；高圈截断误差来自建立方程和指数公式时的近似。步长变小会减少前者，并不能约束 $\epsilon=1$ 时的后者。

## 动手探索

[粗粒化与重整化参数流 →隔一个站点保留一个场值，把中间的自由度积分掉。用两个长波模式确定参数，再拿没有参与匹配的第三个模式检验预测。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/renormalization-flow/) [有限尺寸标度 →比较五种长度的高斯场。先拿小格点调出一张漂亮的图，再揭开大格点的数据，看原来的预测还能不能成立。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/finite-size-scaling/)

## 来源与核读范围

1. [David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 3, §3.5, Figure 30](https://davidtong.org/pdfs/teaching/statistical-field-theory/sft3.pdf)

   核读四维附近的一圈 Wilson–Fisher 流，第 90—91 页、图 30。Lab 按方程重画相图，另存参数和积分收敛检查。

2. [K. G. Wilson and J. Kogut, The Renormalization Group and the Epsilon Expansion, Physics Reports 12(2), 75–199 (1974)](https://theory.tifr.res.in/~tridib/ReferenceMaterial/WilsonKogut.pdf)

   核读已发表综述第 4 节的式 4.26—4.27、图 4.5（第 106—108 页）及式 4.50（第 111 页）。正文按明确给定的参数复算离散单圈递推与流图结构，不把示意图当作带坐标的原始数据。

3. [K. G. Wilson and M. E. Fisher, Critical Exponents in 3.99 Dimensions, Phys. Rev. Lett. 28, 240 (1972)](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.28.240)

   核对出版方摘要中的磁化率临界指数首阶结果，用于历史对照。出版方全文未能访问，复算范围限于这里明确列出的结果。

4. [D. Poland, S. Rychkov and A. Vichi, The Conformal Bootstrap, arXiv:1805.04405v3 (2019)](https://arxiv.org/abs/1805.04405v3)

   核对摘要、版本和发表记录。作为非微扰临界理论的继续阅读入口；课程不复现 bootstrap 界限或数值岛。

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阅读顺序

[1. 一串振子怎样变成场](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/from-oscillators-to-fields/) [2. 对称性告诉我们什么在流动](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/symmetry-and-causality/) [3. 把每个简正模量子化](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/quantizing-a-field/) [4. 关联函数能预测什么](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/correlators-to-scattering/) [5. 把欧氏场放到格点上](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/euclidean-lattice-and-errors/) [6. 换一种分辨率，保留低能预测](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/keeping-low-energy-physics/) [7. 怎样检验一张漂亮的数据塌缩图](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/finite-size-scaling/) [8. 读懂 Wilson–Fisher 流图](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/wilson-fisher-and-universality/)