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title: "换一种分辨率，保留低能预测"
description: "积分掉一半格点，匹配低动量，再用没有参与匹配的观测量检验预测。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/learn/field-theory/keeping-low-energy-physics/"
last_modified: "2026-10-27"
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[场、尺度与临界现象](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/)

FR01 · L3 · 第 6 章

# 换一种分辨率，保留低能预测

积分掉一半格点，匹配低动量，再用没有参与匹配的观测量检验预测。

先修：第 5 章。从单变量配方推广到分块矩阵。

读完能做什么：推导 Schur 补，分清精确消元与截断后的有效作用量。

把一部分场值积分掉，同时改变剩余场的参数，粗格点模型就能保留原模型的预测。高斯场允许我们把这件事精确算出来。计算分两步：先求留下那些变量的完整概率分布，再决定要不要把它近似成一个更短的公式。误差从第二步开始。

先读[欧氏格点与误差](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/euclidean-lattice-and-errors/)，熟悉高斯作用量、协方差矩阵和 Fourier 模式。这一章要解决的具体问题是：格点少了一半，为什么参数要变，怎样知道新参数是否够用？

## 隔一个点留下一个值

想象给环上的场拍一张照片，再擦掉其中一半的点。留下的点仍有原来的场值。我们希望找到一种概率分布，让这些值出现的概率也与原来相同。

把所有场值排成向量，作用量写成 $S=\frac12\phi^TQ\phi$。正定矩阵 $Q$ 描述各站点之间的耦合。将向量拆成两组：$r$ 是保留的值，$e$ 是消去的值。这里的字母只区分两组变量，不表示空间方向。

按两组变量展开作用量，得到

$$
S=\frac12r^TQ_{rr}r+r^TQ_{re}e+\frac12e^TQ_{ee}e.
$$

固定一组 $r$，仍有许多组 $e$ 与它相配。要知道这组 $r$ 出现的概率，必须把所有可能的 $e$ 都加起来。变量连续时，这个加总就是积分。

高斯积分的诀窍是配方。令 $e_0=-Q_{ee}^{-1}Q_{er}r$，再写 $e=e_0+\eta$。代回去以后，含 $\eta$ 的一次项彼此抵消，留下

$$
S=\frac12r^T\left(Q_{rr}-Q_{re}Q_{ee}^{-1}Q_{er}\right)r+\frac12\eta^TQ_{ee}\eta.
$$

对 $\eta$ 积分只给出一个与 $r$ 无关的因子，它负责归一化。决定不同保留场形状之间相对概率的矩阵是

$$
Q_{\mathrm{eff}}=Q_{rr}-Q_{re}Q_{ee}^{-1}Q_{er}.
$$

这个矩阵叫 Schur 补。被删掉的站点原来会传递关联；新的耦合把它们的影响留了下来。

保留变量的协方差，就是原协方差里对应的那一块。若每隔 $b$ 个站点保留一个，便有

$$
\left(Q_{\mathrm{eff}}^{-1}\right)_{ij}=\left(Q^{-1}\right)_{bi,bj}.
$$

左边先消去变量再求逆，右边先求完整协方差再取出对应元素。两条计算路径应当给出相同结果。

## 一个系数变了，关联仍然相同的例子

考虑最近邻相连的周期链，作用量是

$$
S=\frac a2\sum_i\left[m^2\phi_i^2+\left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_i}{a}\right)^2\right].
$$

采用固定的长度和场强参考单位，数值作用量无量纲。取六十四个站点，格距 $a=1$，质量参数 $m=0.5$。矩阵的对角元为 $d=am^2+2/a=2.25$，相邻元为 $-k=-1/a=-1$。

现在保留偶数站点。固定它们以后，各个奇数站点之间没有直接耦合，可以逐个配方。消去奇数站点后，对角元变成 $D=d-2k^2/d$，相邻元变成 $-K=-k^2/d$。代入数值得

$$
D=1.36111,\qquad K=0.444444.
$$

粗格距为 $A=2a=2$。为了把作用量仍写成熟悉的质量项加梯度项，允许梯度前的系数也改变，记为 $Z_{\mathrm{eff}}$。比较矩阵元素可得

$$
m_{\mathrm{eff}}^2=\frac{D-2K}{A}=0.236111,\qquad Z_{\mathrm{eff}}=AK=0.888889.
$$

原来的质量平方是 $0.25$，现在的系数已经不同。但保留站点上的方差仍约为 $0.970143$，两个相邻保留站点的协方差仍约为 $0.360531$。后者正是细链上相距两个站点的协方差。

这些数值还可以用无限链 Green 函数的周期镜像求和来检验，不必重复矩阵消元。此例的有限体积修正小于所列数字的精度。读数里的“匹配后质量平方”是格点作用量的一个系数；若要知道关联随距离衰减的长度，还需从关联函数另行计算。

## 短公式够用到哪里

刚才的一维最近邻高斯链很特殊，抽稀后仍是最近邻高斯链。如果原作用量还含有一项

$$
\frac{a\kappa}{2}\sum_i\left(\frac{\phi_{i+1}-2\phi_i+\phi_{i-1}}{a^2}\right)^2,
$$

情况就丰富一些。未换成参考单位前，$\kappa$ 的单位是长度平方。这一项惩罚场形状中急剧改变的斜率。积分之后，保留站点之间通常会出现更远的耦合。

完整矩阵当然可以全部留下。但如果只关心较长的波，能不能用少数参数概括它？对含 $N_c$ 个站点的粗环，试一个最近邻形式：

$$
A_{\mathrm{local}}(q)=c_0+4c_1\sin^2(q/2),\qquad q_n=\frac{2\pi n}{N_c}.
$$

$A(q)$ 是精度矩阵的本征值，倒数就是相应归一化 Fourier 模式的协方差。先令 $c_0=A_{\mathrm{exact}}(0)$，再用第一个非零模式确定

$$
c_1=\frac{A_{\mathrm{exact}}(q_1)-c_0}{4\sin^2(q_1/2)}.
$$

两个模式确定两个系数。这两个位置吻合，是计算时已经要求的结果。第二个非零模式没有参与确定参数，才有机会检验预测。它的相对协方差误差为

$$
\delta_2=\left|\frac{A_{\mathrm{exact}}(q_2)}{A_{\mathrm{local}}(q_2)}-1\right|.
$$

被略去的项常常更影响短波。一个很短的作用量，可以很好地回答低能问题。若需要整个频谱，还要保留更多项。

## 拿同一份场样本比较分辨率

打开[粗粒化与重整化参数流](https://sandboxphysics.com/zh/labs/renormalization-flow/)。默认六十四个站点，$a=0.5$、$m=0.4$、$\kappa=0.25$，种子为 $310031$，每隔两个站点保留一个。金色一行直接复制青色一行的对应值。画面轮播的是独立欧氏场样本，样本序号随轮播前进。

默认匹配给出 $m_{\mathrm{eff}}^2\approx0.159681$、$Z_{\mathrm{eff}}\approx1.00750$。留出模式的协方差误差约为 $1.68\%$。这些数值来自确定性的矩阵计算；换种子会换一组画面中的场形状，不会改变这组矩阵结果。

协方差图把这同一组十二份保留场样本分别变成 Fourier 模式功率，再取平均。金色点的误差棒是一个标准误差，由独立样本之间的离散程度估计。青色曲线是精确协方差，虚线是局域模型的预测。匹配时使用精确的零模式和第一模式；换种子会改变采样点及误差棒，精确留出的截断误差保持不变。

先预测：把高阶导数项关掉，留出误差会怎样？选择“局域模型恰好够用”，再用前面的配方解释看到的读数。接着比较“细节藏在短尺度”和“格点过稀的代价”。后一个预设在同一组指定的高斯模型参数下，每隔八个站点才留下一个；留出模式误差约为 $50.7\%$。

保存样本和参数轨迹。文件里有细格点原始场值、四种分辨率下的有效矩阵，以及匹配后的谱。场样本是否来自同一组记录，和短公式是否预测准确，可以分别检查。

这里用的是实空间抽稀，消去的是站点变量。动量壳方法消去的是某一段高动量 Fourier 变量，两种变换并不相同。它们共同要求我们把被积分变量的影响带进新理论。[下一步讨论 Wilson–Fisher 点](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/wilson-fisher-and-universality/)，就要把这个想法用于有相互作用的场。

## 练习

- 一个模型用零模式和第一个 Fourier 模式确定参数。重新画这两个模式，与预测第二个 Fourier 模式相比，哪一种检验更有力？为什么？
- 用例题中的 $D$ 和 $K$ 计算 $1/\sqrt{D^2-4K^2}$。这一步怎样检验“质量系数变了，方差仍保留”的说法？
- 若把周期环换成开放链，抽稀之后，还能否给所有站点使用同一个对角系数和相邻耦合？想一想端点。
- 有人把格距翻倍，却保留细格点的质量和梯度系数，发现协方差变了。他据此说粗模型不可能有效。这个比较哪里需要改进？

解释性答案

第二个 Fourier 模式没有参与确定参数，能检验模型的新预测。重画两个匹配模式可以检查程序和算术，却没有提供新的预测证据。

代入后约得 $0.970143$。这个计算使用平移不变链的 Green 函数，路径不同于对被消去变量积分。它说明，同一个方差可以由不同分辨率下不同的作用量系数给出。

端点附近的邻居数不同。精确积分仍可做，但有效矩阵一般需要单独的边界系数。对周期环使用统一的双参数谱，依赖了平移不变这个条件。

直接保持系数，相当于重新离散化一个表达式，并没有构造原分布在保留变量上的边缘分布。应先积分，或明确选择观测量来匹配，再用未参与匹配的量检验。同时交代体积和边界是否保持相同。

高斯消元由正定二次型配方直接得到。更一般的尺度变换见 [Tong《统计场论》第3章3.1—3.3节](https://davidtong.org/pdfs/teaching/statistical-field-theory/sft3.pdf)。这里的数值和场样本均由已定义的格点作用量生成。

## 动手探索

[粗粒化与重整化参数流 →隔一个站点保留一个场值，把中间的自由度积分掉。用两个长波模式确定参数，再拿没有参与匹配的第三个模式检验预测。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/renormalization-flow/)

## 来源与核读范围

1. [David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 2](https://davidtong.org/teaching/statistical-field-theory/sfthtml/S2)

   核读高斯积分、逆核关联函数、关联长度和欧氏量子力学解释。有限链的归一化按本课程约定另行推导。

2. [David Tong, Statistical Field Theory, Chapter 3, §3.5, Figure 30](https://davidtong.org/pdfs/teaching/statistical-field-theory/sft3.pdf)

   核读四维附近的一圈 Wilson–Fisher 流，第 90—91 页、图 30。Lab 按方程重画相图，另存参数和积分收敛检查。

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阅读顺序

[1. 一串振子怎样变成场](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/from-oscillators-to-fields/) [2. 对称性告诉我们什么在流动](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/symmetry-and-causality/) [3. 把每个简正模量子化](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/quantizing-a-field/) [4. 关联函数能预测什么](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/correlators-to-scattering/) [5. 把欧氏场放到格点上](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/euclidean-lattice-and-errors/) [6. 换一种分辨率，保留低能预测](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/keeping-low-energy-physics/) [7. 怎样检验一张漂亮的数据塌缩图](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/finite-size-scaling/) [8. 读懂 Wilson–Fisher 流图](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/wilson-fisher-and-universality/)