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title: "功—能图像工作台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "画出力随位置的变化，曲线下的面积能预测物体怎么运动吗？能，但还得看速度归零那一点受不受力。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M041 · 功与能量

# 功—能图像工作台

**画出力随位置的变化，曲线下的面积能预测物体怎么运动吗？** 能，但还得看速度归零那一点受不受力。曲线下带符号的面积就是动能变化，由它能知道每一点的速率，也能找出速率在哪里归零。那里受力不为零，物体就折返；力也恰好为零，物体可能一点点逼近那里，永远到不了。

画出沿轨道的力，跟着分段精确求出的运动穿过每次转向。再对采集到的力积分，和另外算出的能量变化对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这是理想的教学模型，力的采集是模拟的。转向等事件怎样处理、怎样采样，页面上都写明了。

物理教程

## 功—能图像工作台

**背景** 同一条力曲线给出两样东西：随时间的运动，以及力对位置的带符号面积，也就是功。

**为什么值得理解** 画出沿轨道的力，跟着分段精确求出的运动穿过每次转向，再用采集到的力样本，和另外算出的能量对照。

先抓重点

- **核心问题**: 带符号的力面积能预测转向吗？
- **一句话直觉**: 随时间求出的运动和对力积分得到的功分开计算，两者应在数值误差内一致。

### 核心数学模型

#### 功是力曲线下的带符号面积

$$
W_{0\to x}=\int_{x_0}^{x}F(\xi)\,\mathrm d\xi
$$

位移或力反向，功就变号。往回走时面积要减掉，不是把绝对面积越加越多。

#### 随时间求解运动

$$
\begin{aligned}m\ddot x&=F(x)\\F(x)&=F_i+a_i(x-x_i)\\x_i&=i\,\mathrm m\end{aligned}
$$

每一段的解是常加速、三角函数或双曲函数形式；每次转向或跨过节点时重新起算。

#### 单独的能量检验

$$
\begin{aligned}K&=\tfrac12m v^2\\U(x)&=-\int_0^x F(\xi)\,\mathrm d\xi\\\Delta K-W&=0\end{aligned}
$$

势能以轨道原点为零。这里用另外算出的力积分，检验随时间求出的解。

#### 只用采集到的力估计功

$$
\widehat W=\sum_i\frac{F_i^{\mathrm{obs}}+F_{i+1}^{\mathrm{obs}}}{2}\,(x_{i+1}-x_i)
$$

遇到不完整的区间，估计器对测得的力插值；它从不读取真实动能。

### 常见难点

#### 速度为零不一定停下

**容易误解** 速度为零的地方都会停下，数据连成的平滑曲线就是精确结果。

**正确理解** 看看静止处的力和事件历史。力的数据太稀疏，会漏掉力曲线的折点。

### 动手实验

1. 01

   #### 画力曲线

   拖动蓝色力节点，改变初速度和质量。

   **你会看到：** 同一条带符号的力，既推动三维小车，也决定做功积分。

2. 02

   #### 找真正的转向

   对比简谐转向、势垒与返回、初始反向运动三个预设。

   **你会看到：** 回复力不为零时，速度穿过零；往回走时，功又一点点退回去。

3. 03

   #### 区分静止和渐近接近

   对比平衡和渐近接近两个预设。

   **你会看到：** 速度和力同时为零，才是平衡。小车慢慢逼近临界的不稳定状态，却始终越不过去。

4. 04

   #### 测量面积

   先用包含力折点的扫描采集，再改成稀疏扫描，并加上噪声。

   **你会看到：** 没有采到的力细节，估计结果补不回来。

物理结论

功有正负；只知道速度为零，还判断不了接下来会怎样。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)